Karekök yaklaşık değeri

Etiketler : babil karekök köklü ifadeler matematik

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayıya en yakın ardışık tam kare sayılar kullanılır. Bu yöntemde önce sayının altındaki ve üstündeki en yakın tam kare sayılar bulunur. Daha sonra verilen sayının, bu iki tam kare arasındaki konumu oranlanır. Aynı oranın karekök değerleri arasında da geçerli olacağı düşünülerek alt karekök değerine bu oran eklenir. Böylece karekökün yaklaşık değeri hızlı ve pratik bir şekilde elde edilmiş olur. Bu yöntem, karekökü yaklaşık hesaplamak için kullanılan en eski sayısal yaklaşım tekniklerinden biridir ve temeli “doğrusal ara değer bulma (interpolasyon)” fikrine dayanır. Yöntemin tam olarak ne zaman ortaya çıktığı belli değildir. Babil, Çin, Mısır, Hint gibi farklı uygarlıklar, karekök ifadelerinin yaklaşık değerlerini bulmak için benzer metotları kullanmışlardır. (Bkz. Babil Metodu)

Örneğin √50 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 50 sayısının altında 49 = 7², üstünde ise 64 = 8² olacak şekilde 7 ve 8 sayıları vardır. Bu nedenle √50 sayısının 7 ile 8 arasında bir değer olduğu anlaşılır. Alt tam kare (49 = 7²) ile üst tam kare (64 = 8²) arasındaki fark 15 birimdir. Yani Bu sayıları bir sayı doğrusunda yerleştirdiğimizde bu aralık 64−49=15 eşit parçalık bir aralık gibi düşünülür. 50’nin 49’dan uzaklığı, 1 fazla ve 50 ile 64 arasındaki toplam fark 14 olacağından, 50 bu aralığın yaklaşık 1/15’i kadar 7 sayısından ileride olur. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 7’ye 1/15 eklenir ve yaklaşık ≈7,067... sonucu elde edilir. Bu değer gerçek değere (7,0710678118654755...) oldukça yakın olduğundan bu yöntem, hesaplamalarda sık kullanılır. Bu yaklaşımda karekök eğrisi kısa bir aralıkta düzmüş gibi kabul edilir; yani fonksiyondaki değişimin doğrusal olduğu varsayılır.

Örneğin √77 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 77 sayısının altında 64 = 8², üstünde ise 81 = 9² tam kare sayıları seçilir. Bu nedenle √77 sayısının 8 ile 9 arasında yaklaşık bir değeri olduğu anlaşılır. 77, 64’ten 13 fazla olduğundan ve 64 ile 81 arasındaki toplam fark 17 olduğundan, 77 bu aralığın yaklaşık 13/17’si kadar ilerisindedir. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 8’e 13/17 eklenerek ≈8,7647... değeri bulunur. Bu değer √77 sayısının gerçek değerine (8,7749643874...) oldukça yakındır.

 

Örneğin √129 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 129 sayısının altında 121 = 11², üstünde ise 144 = 12² tam kare sayıları seçilir. Bu nedenle √129 sayısının 11 ile 12 arasında yaklaşık bir değeri olduğu anlaşılır. 129, 121’den 8 fazla olduğundan ve 121 ile 144 arasındaki toplam fark 23 olduğundan, 129 bu aralığın yaklaşık 8/23’ü kadar ilerisindedir. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 11’e 8/23 eklenerek ≈11,3478... değeri bulunur. Bu değer √129 sayısının gerçek değerine (11,3578166916...) oldukça yakındır. 

 

Örneğin √348 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 348 sayısının altında 324 = 18², üstünde ise 361 = 19² tam kare sayıları seçilir. Bu nedenle √348 sayısının 18 ile 19 arasında yaklaşık bir değeri olduğu anlaşılır. 348, 324’ten 24 fazla olduğundan ve 324 ile 361 arasındaki toplam fark 37 olduğundan, 348 bu aralığın yaklaşık 24/37’si kadar ilerisindedir. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 18’e 24/37 eklenerek ≈18,6486... değeri bulunur. Bu değer √348 sayısının gerçek değerine (18,6547581062...) oldukça yakındır. 

 

Örneğin √843 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 843 sayısının altında 841 = 29², üstünde ise 900 = 30² tam kare sayıları seçilir. Bu nedenle √843 sayısının 29 ile 30 arasında yaklaşık bir değeri olduğu tahmin edilir. 843, 841’den 2 fazla olduğundan ve 841 ile 900 arasındaki toplam fark 59 olduğundan, 843 bu aralığın yaklaşık 2/59’u kadar ilerisindedir. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 29’a 2/59 eklenerek ≈29,0339... değeri bulunur. Bu değer √843 sayısının gerçek değerine (29,0344622819...) oldukça yakındır.

 

Örneğin √1973 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 1973 sayısının altında 1936 = 44², üstünde ise 2025 = 45² tam kare sayıları seçilir. Bu nedenle √1973 sayısının 44 ile 45 arasında yaklaşık bir değeri olduğu tahmin edilir. 1973, 1936’dan 37 fazla olduğundan ve 1936 ile 2025 arasındaki toplam fark 89 olduğundan, 1973 bu aralığın yaklaşık 37/89’u kadar ilerisindedir. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 44’e 37/89 eklenerek ≈44,4157... değeri bulunur. Bu değer √1973 sayısının gerçek değerine (44,4184646293...) oldukça yakındır.

Pratikte bu yöntem, bir irrasyonel sayının (özellikle kareköklerin) değerini tam karelere yakınlık kullanarak yaklaşık bulmaya dayanır. Mantık şudur: Bir sayının karekökünü hesaplamak zor ise, o sayıya en yakın tam kare sayı seçilir. Bu tam kare sayı b olsun, ilgili sayı ise a olsun. Yaklaşık değer daha pratik bir şekilde şu formülle bulunur: √a ≈ (a + b) / (2√b). Burada √b zaten tam sayı olduğu için işlem daha da kolaylaşır. 

Şimdi bu formülü √97 için uygulayalım. 97 sayısı 100’e çok yakındır. 100 bir tam kare (10²) sayıdır. Bu yüzden a = 97, b = 100 ve √b = 10 alınır. Formülde yerine koyarsak √97 ≈ (97 + 100) / (2·10) olur. Önce payı toplarız: 97 + 100 = 197. Paydayı hesaplarız: 2·10 = 20. Şimdi bölme işlemi yapılır: 197 / 20 = 9.85. Sonuç olarak √97 ≈ 9.85 olarak bulunur. Gerçek değer de 9,84885780179610472... olduğu için bu yöntem oldukça yakın bir sonuç verir.

 

97 sayısının karekökünü genel doğrusal yöntemle yaklaşık bulmak için, 97’ye en yakın tam kare sayılara bakılır. 97’nin altındaki en yakın tam kare 81’dir (9²), üstündeki en yakın tam kare ise 100’dür (10²). Bu nedenle √97 değeri 9 ile 10 arasındadır. Şimdi aralık içindeki konumunu bulalım. 100 ile 81 arasındaki fark 19’dur. 97, 81’den 16 fazladır. Yani 97, bu aralığın 16/19’luk kısmında yer alır. Karekök de aynı oranda artacağı için bu oran 9’a eklenir: 9+(16/19) işleminde 16/19≈0.8421 olduğundan: 9+0.8421=9.8421 olur. Sonuç olarak:√97≈9.8421 Gerçek değer 9,84885780179610472... olduğundan bulunan sonuç oldukça yakındır.