Saat problemlerinde açı özellikleri

Saat, zamanı ölçmeye yarayan alettir. İki farklı zaman arasındaki farkı insanlar tarafından oluşturulan ölçüler dahilinde ölçmeyi sağlar. Mısırlılar, Güneş'in her gün belirli bir düzende doğup battığını keşfetmişti. Bundan yararlanarak güneş saatini icat etmeyi başardılar. Bu saat çeşidinde dik duran bir cismin güneşin geliş açısına göre oluşturduğu gölge boyuna bakılarak saat hesaplanıyordu. Ancak güneş saati, geceleri güneş olmadığından çalışamıyordu. Bunun üzerine Antik Mısırlılar kum saati ve su saatini icat ettiler. Su saatinin temel prensibi, suyun düzenli bir şekilde bir kaba veya bir kaptan dışarı akması üzerine kuruludur. Güneş saatinden sonra, muhtemelen MÖ 16. yüzyılda yine Mısırlılar veya Babilliler tarafından kullanılmaya başlandığı kabul edilir. (Bkz. Saatlerin Tarihsel Gelişim Süreci)

Saat Problemleri:Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır. Saat problemleri ile ilgili aşağıda iki örnek soru çözümü verilmiştir.

Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme

Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle karıştırılabilmektedir. Reusser ve Stebler’e (1997) göre geleneksel sözel problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur.
Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Cor - te, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur.

 “228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?” (Vers - chaffel ve De Corte, 1997, s. 584)

 Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden farklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. Yani 228’in 24’e bölümü sonucu kalan 12 kişi için asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğ - rencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece bu tür sözel problemler matematiksel modelleme için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiştir. Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir.
Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr (2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda hazırlanan matematiksel modelleme ve problem çözmenin bir karşılaştırması aşağıda verilmiştir.

Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski’den [2007] derlenmiştir.)

Matematiksel Modelleme Yaklaşımları

Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b) bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir (Haines ve Crouch, 2007).

Matematiksel modelleme alanında yapılan çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir (Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman, Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006).
International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ve the International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren Matematiksel Modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: ( i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, ( ii ) bağlamsal modelleme, ( iii ) eğitimsel modelleme, ( iv ) sosyokritik modelleme, ( v ) epistemolojik veya teorik modelleme ve ( vi ) bilişsel modelleme. Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel modellemenin farklı bir yönünü ön plana çıkarmaktadır.
Gerçekçi veya uygulamalı modelleme yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece öğrencilerin matematiksel kavramları uygun bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı öğrenebilecekleri varsayılır.
Eğitimsel modelleme ise gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak öğrencilere kavramların öğretilmesini amaçlamaktadır.
Sosyokritik modelleme yaklaşımı ise matematiğin sosyokültürel ve etnomatematik boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır. Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir. Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin gelişmesine katkı sunacağı varsayılır.

Epistemolojik veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir. Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, sistematik bilimsel bir analizden ziyade araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir. Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma olduğunu bu araştırmacıların kendileri de belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların yapılması gerektiğini önermektedirler. Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır.
Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanım amacı bakımından daha basit bir sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak bakıldığında matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı yaklaşımdan söz etmek mümkündür: ( i ) matematik öğretiminin amacı, ( ii ) matematiği öğretmek için kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gra vemeijer, 2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark., 2007). 

Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri kullanarak matematiksel modelleme yapabilme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematik sel kavram ve modeller verildikten sonra gerçek hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda matematikten gerçek hayata (matematikten gerçek hayata) doğru bir yönelim vardır. 

İkinci yaklaşımda ise matematiksel modelleme matematiksel kavram ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan matematiğe doğru bir yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır “obje” olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve genelleştirilmesini ifade eden “sürece” daha çok vurgu yapılmaktadır.  Yazının tam PDF metni için tıklayınız.

Ayhan Kürşat ERBAŞ
Orta Doğu Teknik Üniversitesi

Şapka Problemi

Şapka Problemi, Amerika’da bayağı heyecan ortamı oluşturmuş ve Amerika’nın en saygıdeğer gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times’ta uzun bir yazıya da konu olmuş bir problem çeşididir. Şapka Problemi adıyla bilinen bu problem şöyle. "Bir odaya n kişi girecek. Odada bu kişilerin başlarına, yazı tura atarak ya beyaz ya da siyah şapka konacak. Yani herkesin başında yüzde elli olasılıkla beyaz şapka olacak, yüzde elli olasılıkla siyah şapka. Herkes başkasının başındaki şapkanın rengini görecek, ama kimse kendi başındaki şapkanın rengini göremeyecek. Oyuncular aynı anda ya kafalarındaki şapkanın rengi konusunda bir tahminde bulunacaklar ya da pas geçecekler. Eğer hiçbiri yanılmazsa (pas geçen hiç yanılmaz) ve aralarından en az biri doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar alacak. Yoksa her biri hava alacak.
Örneğin biri dışında hepsi pas geçerse ve o pas geçmeyen (rastgele bir renk tahmininde değil!) sadece siyah ya da beyaz tahmininde bulunursa, yüzde 50 olasılıkla her oyuncu 1 milyon dolar alacak, yüzde elli olasılıkla kimse para kazanamayacak. Eğer iki kişi pas geçmeyip tahminde bulunursa, o zaman yüzde 25 olasılıkla oyuncular parayı kazanacaklar (1 milyon doları cebe indirmek için tahminde bulunan iki kişinin de doğru tahminde bulunması gerekiyor.) Demek ki sadece bir kişinin pas geçmeyip tahminde bulunduğu strateji iki kişinin tahminde bulunduğu stratejiden daha iyi, hatta iki kat daha iyi. Herkes pas geçerse, kimse doğru tahminde bulunmadığından, kimse para kazanamayacak."

Bu n kişi odaya girmeden önce toplanıp en iyi strateji hakkında kafa yoruyorlar. En iyi stratejilerinin (varsa) en az % 50 olduğunu gördük. Yüzde elliden daha iyi bir strateji var mı? Amerika’nın birçok ünlü matematikçisi, (ki birçoğu Amerikalı değildir) siz bu yazıyı okuduğunuz sırada belki de, bu konu üzerinde kafa yoruyor. Oyunun kodlar teorisiyle ilgisi var, yani bilgisayarlarla, şifrelemeyle, bilgi yollamayla, yani çağımızla...
Birçok matematikçi, problemi ilk duyduğunda, en iyi stratejinin yukarda açıkladığım yüzde elli parayı kazandıran strateji olduğunu düşünüyormuş. Ama daha sonra daha iyi stratejilerin varlığını kavrıyorlarmış. Problemi ilk kez Kaliforniya Üniversitesi’nden Dr. Todd Ebert doktorasını yazarken bulmuş. Soruyu öğrencilerine sormuş. Bir sabah uyandığında, internet’te herkesin bu problemle uğraştığını görmüş... Yine Kaliforniya üniversitesinden Prof. Berlekamp n = 3 olduğunda, yüzde 75 kazandıran bir stratejinin olduğunu bulmuştur.
Biz de bunu örneklerle bulalım. Şöyle düşünelim. Üç şapkanın üçünün de aynı renk olma olasılığı 1/4’tür, çünkü 1/8 olasılıkla üç şapka beyaz, 1/8 olasılıkla üç şapka siyah olacaktır. Dolayısıyla üç şapkanın renk dağılımının 2-1 olma olasılığı 3/4’tür. Demek ki, karşısındaki iki şapkanın aynı renkte olduğunu görenler aksi tahminde bulunurlarsa, yani iki siyah şapka gören beyaz, iki beyaz şapka gören siyah derse ve diğerleri pas geçerse, 3/4 olasılıkla doğru tahminde bulunulacaktır. Bunu şöyle de gösterebiliriz. Oyunculara 1, 2, 3 diyelim ve bu stratejiyle oynanan oyunun akışına bakalım:

Eğer n = 15 ise, 15/16 olasılıkla kazandıran bir strateji bulunmuş olur. Oyuncu sayısı arttıkça, bilinen bir stratejinin kazanma olasılığı artıyor, hatta n sonsuza gittiğinde bu bilinen stratejinin olasılığı 1’e yakınsadığı görülmüştür.
Bu problem farklı bir uslüple şu şekilde bir fıkraya dönüştürülerek tekrar sorulmuş ve şu şekilde çözülmüştür. Burada kişi sayısı sınırlandırılıp 3 kişi ile problem tekrar yazılmıştır. Yazılan bu problem üç mahkum problemi ve şapka rengi ile çözüme kavuşturulmuştur.
"Zalim bir kralın ülkesinde üç akıllı adam varmış. Adları Temel, Dursun ve Hasan. Bu akıllı adamlar, kralın halka yaptığı baskıyı her fırsatta eleştirirlermiş. Ama kralın adamları bu eleştirileri günü gününe krala rapor ederlermiş. Sonunda kral, bu söylemlerin halkı bilinçlendireceği ve giderek tahtının tehlikeye gireceği kuşkusuna kapılmış. Bu üç akıllı adamı yakalatıp zindana attırmış. Ne var ki, halk bu üç akıllı adamı sever olmuş, onların söylemleri kulaktan kulağa yayılmaya öyle başlamış ki sormayın; günümüzün telekulakları bile o söylentilerin yanında hiç kalır. Herkes bu üç akıllı adamın aklını anlata anlata bitiremez olmuş. Onlar bir söz etmişse, halk bin sözü yanına katıp onlara maletmiş. Kral da en az tutuklular kadar akıllıymış. Bakmış ki onları hemen asmak halkın galeyanına neden olacak. Günlerce düşündükten sonra, aklına bu üç akıllı adamın kendisi kadar akıllı olmadıklarını halka gösterecek bir yol bulmuş. Hemen ülkenin dört bir yanına haber salmış. Haberciler vardıkları her yerde şöyle demişler:
-Haşmetli kralımız, bu üç asiyi kendisinden daha akıllı iseler affedecek! Akıllı olup olmadıklarını sarayın önünde halkın önünde sınayacak…
Bu haberi alan halk sınama günü sabahın erken saatlerinde sarayın önündeki meydanı doldurmuş, olup bitecekleri merakla beklemeye başlamış. Muhafızlar önce üç tutukluyu meydana getirmişler. Sonra kral sarayın balkonundaki yerine oturmuş. Tutukluların oturması için üç sandalye getirilmesini emretmiş. Sandalyeler hemen meydana getirilmiş. Kral tekrar emretmiş:
-Sandalyeleri bir doğrultuda arka arkaya dizin ve tutukluları, yüzleri bana bakacak konumda oturtun. Önde oturan arkasındakini göremesin. Tutuklular sağa, sola, geriye bakamayacaklar; yalnızca önde oturanları görebilecekler. Seyircilerden hiçbir işaret veya ses çıkmayacak. Bu kuralı bozan tutuklunun veya seyircinin başını hemen uçurun.
En arkadaki sandalyeye Temel, ortadakine Dursun, öndekine de Hasan oturtulmuş. Kral bütün haşmetiyle yerinden kalkmış,
-Tutukluların gözlerini bağlayın, demiş. Tutukluların gözleri bağlanmış. Sonra ağır ağır yürüyerek tutukluların yanına gelmiş ve demiş ki,
-Elimde 5 şapka var, ikisi mavi üçü kırmızı. Herbirinizin başına birer şapka koyacağım. Şapkalardan ikisi bende kalacak. Sonra gözlerinizi açtıracağım. Kendi başınızdaki şapkayı ve arkanızdakinin şapkasını göremeyeceksiniz. Ancak önünüzdekilerin şapkalarını görebilirsiniz. Üçünüzden biri, başındaki şapkanın rengini bilirse, üçünüzü de affedeceğim. Hiçbiriniz bilemezseniz, üçünüz de idam edileceksiniz. Süreniz 15 dakikadır. Bu süre içinde yanıt alamazsam, soruyu yanıtlayamadığınız hükmüne varacağım.
Her bir tutuklunun başına birer cellat dikerek, kral yerine oturmuş ve adamlarına işaret ederek tutukluların gözlerini açtırmış. O andan itibaren zaman işlemeye başlamış. Meydanda büyük bir sessizlik başlamış. Herkes üç akıllı adamın soruyu çözüp çözemeyeceğini merak ve heyecanla bekler olmuş. Kimisi de başarmaları için içlerinden dilekler tutmuş. Dakikalar hızla geçiyormuş. 10, 11, 12, 13 ve 14 ncü dakikalar heyecen içinde geçip gitmiş. Son 60, 30, 20, 10 ve 5 saniyeler artan heyecanla geride kalmış. Sonra, meydandaki umutsuz kalabalığa ölüm sessizliği çökmüş. Kalabalık artık üç akıllı adamdan yanıt gelemeyeceği kanısıyla, içlerinden saniyeleri sayar olmuşlar. Bu son saniyeler meydandakiler için sanki bir ömür kadar uzun gelmiş. Artık, herkes gözlerini kapatmış, kralın üç cellata vereceği işareti korkuyla bekler olmuşken, Hasan yerinden fırlamış ve “-Buldum!.. Benim şapkanın rengi ... dır” diye bağırmış.
Acaba Hasan nasıl bir akıl yürütmeyle üç kişiyi cellatın elinden kurtarmıştır?

Problem Çözümü: Önce şunu anımsayalım. Genç asilerin üçü de çok akıllıdır. Her birisi, öteki ikisinin sağlam mantık yürüteceğine güveniyor. Bu bir grup oyunudur. Oyunda, her oyuncu, öteki oyuncuların ne yapacağını bilerek kendi davranışına yön verir. Hasan da öyle yaptı. Kendisinin arkasında oturan iki akıllı adamın neden karar veremediğini düşündü ve doğru sonuca ulaştı. Hasanın nasıl akıl yürüttüğünü anlamak için, ortaya çıkan olasılıkları listeleyelim. Üç kırmızı şapka ile iki mavi şapka Temel, Dursun ve Hasan’ın başlarına 7 farklı biçimde konulabilir. Oturuş sırasına göre bu yedi olasılığı listeleyelim:

 

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	kırmızı
mavi	kırmızı	kırmızı
kırmızı	mavi	kırmızı
mavi	mavi	kırmızı
kırmızı	kırmızı	mavi
kırmızı	mavi	mavi
mavi	kırmızı	mavi

                 

Şimdi bu listedeki olasılıkları Hasan’ın akıl yürütmesiyle birer birer inceleyelim.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	kırmızı

Hasan şöyle düşünüyor: Eğer şapkalar bu biçimde sıralanmışsa, ne Temel ne de Dursun karar verebilir. Çünkü, Temel’in şöyle düşüneceğini bilir: “önümde iki kırmızı şapka var, benim şapkam kırmızı da olabilir, mavi de... o halde ben karar veremem.” Dursun’a gelince, o da önünde bir kırmızı şapka görüyor. Kendi başındaki geride kalan 2 kırmızı ve 2 mavi şapkadan herhangi birisi olabilir. Öyleyse o da karar veremez. Bunu aklının bir köşesine yazıyor: İki arkadaşı karar veremediklerine göre, kralın adamları şapkaları 1-inci biçimde koymuş olabilirler. Ama öteki olasılıkları incelemeden karar vermez.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	mavi

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık olsaydı, bir kırmızı şapka ile bir mavi şapka gören Temel karar veremezdi. Ama Dursun doğruyu bulabilirdi. Çünkü, akıllı Dursun şu aklı yürütecekti: “Eğer benim şapkam mavi olsaydı, Temel iki mavi şapka göreceği için, kendi şapkasının kırmızı olduğuna karar verecekti. Temel bunu yapmadığına göre, benim şapkam mavi olamaz, kırmızıdır” kararına varacak ve bunu krala söyleyecekti. Dursun bunu yapmadığına göre, şapkalar bu biçimde dizilmiş olamaz. Böylece Hasan şapkaların bu şekilde dizilmediği kararına varır ve 5-inci olasılığı elemiş olur. Sonraki durum olan 6. olasılığı inceleyelim.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	mavi	mavi

 

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık olsaydı, önünde iki mavi şapka gören Temel hemen kararını verirdi. Öyleyse, şapkalar 6-ıncı biçimde sıralanmış olamaz.

Temel	Dursun	Hasan
mavi	kırmızı	mavi

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık 5-inci olasılığa benziyor. Bu olasılık olsaydı, Temel karar veremezdi, ama Dursun doğruyu bulabilirdi. Dursun bunu yapmadığına göre, şapkalar bu biçimde dizilmiş olamaz. Böylece Hasan şapkaların bu şekilde dizilmediği kararına varır ve 7-inci olasılığı da elemiş olur. Hasan son kararını verebilmek için, aklının bir köşesine not ettiği olasılıkları tekrar gözden geçirir. İlk dört olasılıkta, Hasan’ın şapkası hep kırmızıdır. Hasan’ın şapkasının mavi olduğu son üç olasılıkta ya Temel ya da Dursun, kesinlikle kendi şapkalarının rengini bulmaktadırlar. Çok akıllı arkadaşları daha önce karar vermediklerine göre, Hasan, kendi şapkasının renginin mavi olmadığına karar verir. Yerinden fırlayıp -Buldum!.. Benim şapkanın rengi kırmızıdır. diye bağırır ve üç kişiyi cellatların elinden kurtarır."

 

Problem çözümü esas olarak Dilara Yaman’a aittir. Kendisine teşekkür ederiz.

Kaynakça: 
http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/zv/2008/hatcevap.htm
http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/24_28_sapka.pdf
 www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_sapka_Problemi.doc  

Matematik Derslerinde Problem Çözme

"Problem çözmenin matematik öğretiminde, iki önemli ürünü vardır. Birincisi öğretilen konuya özel strateji ve kuralların gelişimi, ikincisi ise bir kuralı, formülü geliştirmek için kullanılabilecek düşünme yolları ve genel yaklaşımların gelişmesidir. Öğrenciler problem durumlarında çalışarak, yeni stratejiler oluşturmayı ve eski stratejileri düzenleyerek yeni tür problemleri çözmeyi öğrenirler. Bu tarz matematik öğretiminde, kavramsal ve işlemsel bilgilerin kaynaştırıldığı gözlenmiştir (Olkun ve Toluk 2004: 44). İşlemsel bilgide, bir kavram ya da işlemin nedenini bilmeye gerek görmeden yalnızca nasıl kullanılacağını bilmek durumu söz konusu iken, kavramsal bilgide kavrama durumu öne çıkmaktadır (Baki 1997). 

 

Problem çözmede de kavrama durumu söz konusu olduğundan kavramsal bilgi basamağına hizmet etmektedir. Nitekim bilişsel alan kuramcılarına göre problem çözmede kavrama ve anlama önemlidir. Problem çözme bireyin geçmiş yaşantıları ile ilgilidir (Kennedy 1980: 28). Matematikte kalıcı ve işlevsel bir öğrenme ancak işlemsel ve kavramsal bilginin dengelenmesiyle mümkün olabilir (Baki 1998). Matematikte kavramsal bir öğrenmenin ağırlıkta olması gerekirken işlemsel öğrenmeye daha çok ağırlık verilmiştir. Yani matematikte işlemsel ve kavramsal öğrenme dengelenmemiştir. İşlemsel ve kavramsal öğrenme dengelenmediğinden konular kavrama düzeyinde öğrenilememiştir (İşleyen ve Işık 2003: 91–99).

Öğrenciler için asıl zor olan anlatılan konularla ilgili kavramların öğrenilmesidir, algoritmik hesaplamaların öğrenilmesi değildir. Buna rağmen, Amerika da ki öğrenciler başta olmak üzere dünyadaki öğrencilerin hemen hemen bütün matematiksel deneyimleri hesaplamalardan ibarettir (Sabella ve Redish 1995: 1–6). İlköğretim okullarında da yalnız işlemsel bilgiyi gerektiren alıştırmalar üzerinde fazla durulduğu görülmektedir. Oysa hem işlemsel bilgiyi hem de kavramsal bilgiyi gerektiren problemler ile ders anlatılırsa matematik dersinde kavramsal bilgi ile işlemsel bilgi dengelenmiş olur. 

Çocukların çoğu problem çözerken bilgileri örgütlemede, sistemleştirmede ve kullanmada güçlük çekebilirler. Özellikle, problem çözülürken işlemlerin yapılması aşamasında hatalı yaklaşımlar sergileyebilirler. Bu noktada sınıflarda öğretmenlere önemli görevler düşmektedir. Öğretmenin, çocukları problemleri çözerken, gözlerken, onları sesli düşündürürken ya da çocuklar tarafından çözülen problemleri kontrol ederken, çocukların yaptıkları hata çeşitlerini görme şansı artmaktadır. Çünkü çocukların problemin çözümü aşamasında yaptığı hataların analizine göre doğru bakış açısı kazandırıcı düzeltme yollarına gidebilir. Sınıfta problem çözmenin değerlendirilmesi oldukça karmaşıktır ve kolay bir iş değildir. Probleme basitçe cevap bulmak iyi problem çözme becerilerinin kanıtı sayılamaz. Bazı öğrenciler yanlış bir mantık kullanarak doğru cevabı bulabilirler, diğer taraftan bazı öğrenciler mükemmel stratejiler kullanırlar ama basit hatalar yaptıklarından sonuca ulaşamazlar. Problem çözmenin hedefleri sürecin tüm aşamalarında düşünmeyi gerektirir. Bu da problem çözmenin sadece sonuca ulaşma becerisi olarak bilinmemesi için iyi bir gösterge kabul edilebilir (Çakmak, 2003).

Sonuç Olarak: Etkili matematik öğretimi için öğrencilerin ezberden uzak bir şekilde matematikteki işlemleri, kavramları ve yapıları anlamlı olarak öğrenmelidirler. Matematik dersinde anlamlı öğrenmeyi gerçekleştirebilmek için, öğrencilerin anlatılan konuyla ilgili kavramları anlamalarına, bu kavramlar arasında yapılan işlemleri görmelerine ve kavramlarla işlemler arasındaki bağlantıları kurabilmelerine yardımcı olabilecek problemlerin ders anlatımlarında kullanılmasını önemsemeliyiz. Ders anlatımında problemlerin çözümüne yer verildiği gibi problem kurma çalışmalarına da yer verilmelidir. Çünkü problem kurma, öğrencilerin matematiksel durumları anlamalarına, problemlerde verilen kavramları yorumlamalarına ve sembolleri sözel ifadelerle söyleyebilmeyi sağlamaktadır. Yukarıda da bahsedildiği gibi; matematik derslerin de kavramsal ve işlemsel bilgi öğretimi dengelenmelidir. Bu bakımdan işlemsel bilgiyi gerektiren alıştırmalara da yer verilmeli, özellikle anlatılan konunun pekiştirilmesi aşamasında, bunun yanında kavramsal ve işlemsel bilgileri içeren problemlere de gerektiği kadar yer verilmelidir." 

Yasin SOYLU-Cevat SOYLU

Bu yazının tamamı İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi Cilt: 7 Sayı:11 Bahar 2006 alınmıştır. Yapılan araştırmaya ve kapsamlı değerlendirme metnine ilgili kısımdan ulaşılabilir. Yayının web adresi http://web.inonu.edu.tr/~efdergi/dergi/soylu_soylu.pdf şeklindedir. Tam metne adresten ve üniversite dergisinden ulaşabilirsiniz.

Test Çözerken Nelere Dikkat Etmeliyiz?

"Bana bir problem ve 1 saat süre verilse bu sürenin 45 dakikasını problemi anlamaya 10 dakikasını çözüm yolları üretmeye 5 dakikasını çözmeye ayırırım" Einstein

Test tekniğini kavramak hem öğrenciyi daha doğru sonuçlara yönlendirir hem de testi çözerken hız kazandırır. Sınavda sorular test tekniğine göre sorulduğundan dolayı test tekniğini kazanılmalıdır. Bunda mutlaka bilgiye ihtiyaç vardır ama aynı zamanda yorum gücünü kazanmak, süreyi iyi kullanmak, kıyas yapabilmek ve farklı olanı diğer benzer olanlardan ayırabilme yeteneğini geliştirmek konu bilgisi ile birlikte olması gerekli önemli yardımcılardandır.Test tekniğine alışmak için bol bol soru çözülmelidir. 

Test çözülecek konu bütün ayrıntılarıyla bilinmeden teste geçilmemelidir. Eğer konu önceden çalışılmış ise teste geçmeden evvel konu tekrar edilmelidir. Böylece unutulmuş olabilecek bazı konular ve formuller hatırlanacak ve testteki sorular duraksanmadan çözülecektir. Diğer türlü konu tekrar edilmeden yapılacak olan test çözümü önceden öğrenilen konu ile ilgili karışıklıklara sebep olucak ve öğrenci kesin bildiğinden bile şüphe eder hale gelecektir.

Konu bütün yönleriyle bilinmeden test çözümü vakit kaybıdır. Öğrencinin yanlışının çok çıkmasına ve moralinin bozulmasına neden olur.Yeni öğrenilmiş konularla ilgili test çözerken kolay sorulardan zor sorulara doğru bir yol izlenmelidir. Bunun içinde kaynak test seçimi çok önemlidir.Öğrenilen konu ile ilgili yeteri miktarda soru çözülmelidir. Bu miktar dersin çeşidine göre hatta aynı dersin farklı iki konusuna göre bile farklılık gösterir.Farklı kaynaklardan öğrenci mümkün olduğunca faydalanmalıdır fakat amaca hitap etmeyen soru kaynakları boşa zaman harcanmasına ve gereksiz bilgilerin öğrenilmesine neden olabilir.

Bütün çalışmalarda sorular zaman tutarak çözülmelidir. Test sorularında ve sınavlarda asıl rakibin verilen süre olduğu unutulmamalıdır. İlk kez fazla miktarda soru çözmeye başlayan bir öğrenci için hedef en kısa zamanda bir soruya en fazla 1 dakikalık zaman ayıracak şekilde soruları doğru cevaplandırmak olmalıdır. Kaliteli dökümanlardaki soruların büyük bir çoğunluğu bir dakikanın altında çözülebilecek sorulardan oluşmaktadır. Öğrenci bu seviyeye çıkabilmesinin tek yolunun bol bol soru çözmek olduğunu bilmelidir.

Test çözerken öğrenci kendini gerçek sınavdaymış gibi düşünmelidir. Sürekli olarak kısa süreli molalar vermek yerine bir oturuşta ara vermeden çözmeye çalışmalıdır.Soru kökleri iyi okunmalı, soruda ne istendiği iyi anlaşılmalıdır.Böylece soru soru olmaktan çıkıp ipucu olacaktır. Zaman kazanmak için soruyu sonuna kadar okumadan cevap seçeneklerine geçmek öğrenciyi yanıltırSoru kökleri okunurken olumlu veya olumsuz ifadelere dikkat edilmelidir.Soru kökündeki verilen bilgilerin hiçbirisi gereksiz yere verilmez. Bu bilgileri kullanan öğrenciler bu bilgileri kullanmayanlara göre başarılı olurlar çünkü verilen bu bilgiler aslına problemin çözümüne katkısı olan ipuçlarıdır.

SORUDA GEREKSİZ BİLGİ YOKTUR. Sözgelimi, bir geometri sorusunda iki uzunluğun paralelliği verilmişse bu bilgi o sorunun çözümünde mutlaka kullanılacak demektir. Öğrenci soruda verilen bilgileri değerlendirdikten sonra isteneni belirlemeli ve aradaki ilişkiyi belirlemelidir.Her testte öğrenci bilgi düzeyinin altında ve üstünde sorularla karşılaşılır. Ancak testin geneli itibariyle standart bir bilgi birikimiyle çözülebilecek sorular ağırlıktadır.

Öğrenci sorulara önyargılı yaklaşmamalıdır. "Bu soru çok zor ya kesinlikle yapamam abi.. veya tam tersi bu soru çok kolay cevap A şıkkı" gibi zaman kazanmaya yönelik aceleci davranışlar kazanmak yerine kaybetmeye sebep olabilir.Hatalı okuma alışkanlıkları da öğrencinin önemli sorunlar yaşamasına neden olabilir.

Olumsuz bir ifadeyi olumlu olarak okumak soruyu veya cevabı hatalı düşünmeye ve yanlış seçeneği belirlemeye sebep olabilir.Seçeneklerden hiçbirisiyle alakalı olarak tahmin yürütülemiyorsa veya sorunun ait olduğu konu bilinmiyorsa cevaplandırılmamalıdır. Yani bilinmeyen sorular boş bırakılmalıdır. Bazen seçeneklerdeki yanlışları bulmak bir doğruyu bulmaktan daha kolaydır. Yanlış seçenekler elenerek doğru cevaba ulaşmak bazen daha az vakit alır.Testlerde öğrenci kendini en iyi hissettiği dersin sorularıyla başlamalıdır. Öğrenci test çözerken seçeneklerdeki kendi görüşü olan seçeneği değil soruda istenilen doğru cevabı bulmaya çalışmalıdır. Özellikle sözel derslerin sorularını ilgilendiren önemli bir durumdur.Yine sözel derslerin testlerinde karşılaşılan bir durum olarak bütün seçenekler okunmadan şıklar işaretlenmemelidir. Çünkü bazı sorularda doğru cevap değil en doğru cevap sorulur. Bu tip soruların doğru cevapları kesinlik sırasına göre sıralanabilir olmaktadır.Her sorunun çözümünden sonra o sorunun sağlaması yapılmalıdır.

Özellikle uzun çözüm gerektiren sayısal derslerin sorularında işlemin sonucu bulunduktan sonra bir kere daha soruda ne istendiği kontrol edlmelidir ki çok basit hatalara düşülmesin.Öğrenci sınav esnasında veya test çözerken hızını belirli aralıklarla kontrol etmelidir. Yorulduğunu hissettiği anlarda kısa molalar vermelidir. Fakat test çözerken değilde çalışmaya başlayacağı zaman kendisini yorgun ve isteksiz hisseden bir öğrenci çalışma saatlerini yanlış seçmiş demektir. En kısa zamanda haftalık çalışma planında değişiklikler yapmalıdır. 

Çözülen her testte seçenekler cevap kağıdına işaretlenirken kaydırma yapmak gibi basit ve dikkatsizlik sonucu oluşan durumlara düşülmemelidir.Karşılaşılan zor sorularla öğrenci inatlaşıp zaman kaybetmemelidir. Zamana karşı bir yarış içine girilmelidir. Ayrıca zor soruyu yapanlar değil çok soruyu doğru biçimde cevaplandıranlar sınavı kazanır.Sözel derslerdeki özellikle Türkçe dersine ait olan paragraf sorularında ilk önce soru kökünü okunmalı daha sonra paragraf okunmalıdır. Böylece paragraf okunurken cevap araştırılmış olunacaktır. Diğer türlü paragraf okunduktan sonra soru kökü okunacak daha sonra soruda sorulan sorunun cevabını bulmak için paragrafın tekrar okunması gerekecektir.Öğrenci sınavlarda çevresindeki kişilerin hangi testi çözdüğü veya kaç soruyu cevapladığıyla veya bu benzeri kendisine vakit kaybettirecek ve motivasyonunu bozacak davranışlarda bulunmamalıdır.Test hızı ancak ancak bol bol soru çözerek arttıralabilir. Bu yüzden öğrenci soru çözümüne mümkün olduğunca vakit ayırmalıdır.Cevap anahtarı olan testler çözülürken testin tamamı bitmeden cevap anahtarı kontrolü yapılmamalıdır. Bu öğrencinin konsantrasyonunu bozar ve de aşırı derecede vakit kaybına neden olur.

Alışkanlık yaptığı takdirde ise öğrencinin akıcı bir biçimde soru çözmesini engeller. 

Boş bırakılan sorular yanlarına boş manasına gelen işaretler konup geçilmelidir. Yapılamayan soruların cevabını öğrenip tekrar çözmeye çalışmak hatalıdır ve öğrencinin vaktini yer. En son cevap anahtarı kontrol ederken boş bırakılan sorularla ilgilenmelidir.Soruların çözümünden sonra mutlaka ve mutlaka cevap anahtarı kontrolü yapılmalıdır. Doğrular yanlışlar ve boş sorular belirlenmelidir. 

Yanlış yapılan veya boş bırakılan soruların tamamı mutlaka incelenmelidir. Hata bilgi eksikliğinden mi yoksa dikkatsizlikten mi kaynaklanıyor belirlenmeli ve bu soruların çözümleri mutlaka öğrenilmelidir.Sınavda veya test çözerken yapılan hatalar öğrencinin moralini bozmamalı veya üzüntüye neden olmamalıdır. Yapılan hataların doğruya ulaşmak için bir fırsat olduğunu bilmelidir.

Hata yapmak doğaldır ama aynı hatayı tekrar tekrar yapmamalıdır.