Vektörün Normu (Uzunluğu)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz. A vektörünün uzunluğu (normu), ||A|| sembolü ile gösterilir."i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. 

O halde: (i, j, k) standart birim vektörler olmak üzere; A(a,b,c) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte üç boyutlu uzayda yazılırsa; A(a,b,c)=a.i+b.j+c.k şeklinde yazılır ve bu A vektörün normu; ||A|| ile gösterilir. Bir A vektörünün normu hesaplanırken, temel standart birim vektörü katsayıları olan (a,b,c) sayılarının karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

İki boyutlu uzayda, B(x,y) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte yazılırsa; B(x,y)=x.i+y.j şeklinde yazılır. ve bu vektörün normu temel birim katsayıları (x,y) karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

Teorem: Bir V iç çarpım uzayında, vektör normu için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Vektörün normu ile ilgili verilen özelliklerden iv) maddenin ispatı için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden yararlanmak gerekecektir. Cauchy Schwarz Eşitsizliği ile ilgili ayrıntılı yazıya ulaşmak için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız. (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)

Vektörlerin Lineer Bağımlılığı

Uzayda doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır. Yani biri diğerinin bir reel katı olarak yazılabilir.Uzayda, doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır. Yani biri diğerinin katı olarak yazılamaz.Uzayda üçten fazla vektör lineer bağımsız olamaz.Uzayda, u, v ve w vektörleri verildiğinde w=a₁.u +a₂.v olacak şekilde, a₁, a₂ ∈ R sayıları bulunabiliyorsa bu üç vektöre lineer bağımlı, bulunamıyorsa lineer bağımsız vektörler denir.
u,v,ve w vektörlerinin lineer bağımsız olması için gerek ve yeter şart det(u,v,w) değerinin sıfırdan farklı olmasıdır. Uzayda lineer bağımsız vektörler ikişer ikişer birbirlerine dik ise bu sisteme dik koordinat sistemidenir. Uzayda bütün yer vektörlerinin kümesi R³ ile gösterilir.

 

Vektörlerin lineer birleşimi yazılırken herbir vektör yukarıdaki tanım gereği lineer birleşimi olarak yazabilmek için vektörlerin eşitliğinden yararlanılır. Bir vektörün diğer vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılabilmesi için  diğer vektörlerin uygun katsayılarla çarpımı olacak şekilde belli reel katsayılarının bulunması gereklidir.