Matematik Konuları Arşivi

TYT Matematik Konuları: Temel kavramlar, sayı basamakları, bölme–bölünebilme, obeb–okek, rasyonel sayılar, ondalık sayılar, üslü sayılar, köklü sayılar, mutlak değer, oran–orantı, denklemler, eşitsizlikler, basit cebirsel işlemler, problemlerin tamamı (sayı, yaş, hareket, karışım, işçi-havuz, yüzde–kar–zarar, tablo–grafik), fonksiyonlara giriş, grafik yorumlama, temel geometri (açılar, üçgenler, çokgenler, dörtgenler), çember–daire, analitik geometriye giriş, veri analizi ve istatistik.

AYT Matematik Konuları: Sayı kümeleri, karmaşık sayılar, polinomlar, ikinci dereceden denklemler, ileri eşitsizlikler, parabol, mantık, modüler aritmetik, fonksiyonlar (türler, bileşke, ters, grafik), trigonometrinin tamamı (açılar, radyan, trigonometrik fonksiyonlar, denklemler, kimlikler), analitik geometri (nokta, doğru, çember, parabol), logaritma (tanım, kurallar, denklemler), diziler (aritmetik, geometrik, genel terim), limit, süreklilik, türev (kurallar, grafik, artan–azalan, max–min), integral (belirsiz, belirli, alan), kombinasyon–permütasyon–binom, olasılık, gelişmiş istatistik.

Sitemizde yukarıda belirtilen Matematik konularıyla ilgili mevcut yazılara aşağıdaki bağlantılara tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Çemberlerin birbirine göre durumları

Düzlemde verilen iki çemberin birbirine göre 3 temel durumu vardır. İki çemberin merkezleri arasındaki mesafeye d ve yarıçaplarına r₁ ve r₂ dersek buna göre çemberlerin durumlarını şöyle açıklayabiliriz: 

1) Çemberler birbiriyle kesişmez.Yani çemberlerin hiç ortak noktaları yoktur. d>r₁+r₂ 

Çemberle doğrunun birbirine göre durumları

Bir düzlemde verilen bir çember ile bir doğru arasında üç temel durum vardır: 

1) Doğru Çemberi Kesmez (Çemberle doğrunun ortak bir noktası yoktur. Dıştan Ayrık) 

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi boş küme ise doğru çemberin dışındadır. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d>r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi kesmez, doğru bu durumda çemberin dışında yer alır. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında,  elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri, sıfırdan küçük olur. Yani düzlem geometride denklemin reel kökü olmaz.

2) Doğru Çembere teğet olur. (Çemberle doğrunun ortak sadece bir noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi sadece tek nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d=r ilişkisi vardır Böylece doğru çembere teğet olur. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfıra eşit olur. Yani denklemin tek kökü olur.

3) Doğru Çemberi iki farklı noktada keser. (Çemberle doğrunun iki ortak noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi iki farklı nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d<r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi keser. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfırdan büyük olur. Yani denklemin iki farklı kökü olur.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometri, matematikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir bilim dalıdır. Trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik konusudur. Pratikte trigonometri, karmaşık geometri problemlerini çözmede, açıları ve mesafeleri hesaplamada, dalga analizinde, mühendislik projelerinde, bilgisayar grafiklerinde, astronomik hesaplamalarda ve fizik problemlerinde yaygın olarak kullanılır. Astronomi, jeodezi, coğrafya ve mimarlık gibi birçok alanda da trigonometriye çok fazla ihtiyaç duyulmaktadır.

Trigonometri, grafik çizimi, açı hesabı ve doğrusal olmayan farklı tipteki problemleri çözmede çok faydalıdır ve özellikle dalgalı hareketleri, periyodik olayları veya dairesel hareketleri modellemek için kullanılır. Bu nedenle ses mühendisliği, elektrik mühendisliği, havacılık, denizcilik gibi alanlarda trigonometri önemli bir rol oynar. Ayrıca trigonometri, GPS ve uydu iletişimi gibi modern teknolojilerde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu nedenle, trigonometri pek çok alanda hayati bir öneme sahiptir.

Çember ve daire nerede kullanılır?

Çember ve daire, günlük hayatta birçok farklı alanda kullanılmaktadır. İşte çember ve dairenin kullanıldığı bazı alanlar:

1. Matematik: Çember, geometrinin temel şekillerinden biridir ve birçok matematiksel problemde ve formülde yaygın olarak kullanılır.

2. Saatler: Saat kadranı bir çember şeklinde olduğundan, saatin zamanı göstermesi için çemberi temel alır. Saat çerçevesi 360⁰ lik açı 12 eşit parçaya bölünerek saat kısımları işaretlenir. Dairesel şekil, doğrusal olarak kabul edilir ve ibrelerin hareketleriyle uyumludur. Çünkü, ibreler de dairesel bir şekilde, saatin her yerinde aynı mesafeyi koruyarak hareket etmek zorundadır. Bu sebeple saatler yuvarlak olarak tasarlanmıştır. Modern saat ürünlerinin geçmişteki güneş saatlerinden alınan ilhamla yuvarlak şekilde dizayn edildiği de söylenebilir. 

3. Trafik işaretleri: Trafik ışıkları ve yol işaret levhaları, uyarı levhaları genellikle çember ve daire şeklinde düzenlenir. Araçların tekerlekleri çember şeklindedir. 

Dörtgenler nerede kullanılır?

Dörtgen şekiller, günlük hayatta pratiklik sağlamak için sıkça kullanılır. Örneğin, ev dekorasyonunda halı, perde, duvar tabloları gibi dekoratif eşyaların dikdörtgen formdaki olması genel bir tasarım tercihidir. Ayrıca günlük eşyalarımızın yerleştirilmesi için kullanılan çekmeceler, raflar, kutular da özel dörtgen formlarında olabilir. Böylece eşyalar geometrik olarak daha düzenli bir şekilde saklanabilir. Dörtgen şekilleri aynı zamanda inşaat sektöründe yapıların planlanması ve tasarımında da sıkça kullanılmaktadır. Dörtgenler, günlük hayatta birçok farklı alanda kullanılır. İşte bazı örnekler:

1. Evler, mobilya ve dekorasyon: Evlerde mobilyaların tasarımında, halı ve perde kesiminde, pencere ve kapı açıklıklarında dörtgenler sıkça kullanılır. Parkeler, fayans ve seramikler genellikle özel dörtgen formunda kesilir. Priz ve anahtar yuvaları, asma ve gergi tavan, aydınlatma ve avize tasarımlarında dörtgen biçimleri kullanılır. 

Analitik geometri ne işe yarar?

Analitik geometri, matematiksel ve geometrik problemleri cebirsel yöntemlerle çözmeye yardımcı olan bir alanıdır. Bu konsept, noktaların ve şekillerin koordinatlarını açıklayarak, bunların birbiriyle olan ilişkilerini analiz etmeyi sağlar. Özellikle fizik, mühendislik ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda kullanılan analitik geometri, karmaşık problemleri daha kolay bir şekilde çözmeyi ve görselleştirmeyi sağlar. Bu sayede, uzayda ve düzlemdeki objelerin konumlarını, uzaklıklarını ve ilişkilerini anlamada büyük bir kolaylık sunar.

Çember ve Daire Ünitesi Konu Başlıkları

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesinin oluşturduğu geometrik şekile verilen isimdir. Düzlemde bir çemberin çevrelediği iki boyutlu yüzeye de daire denir. Çember tanımında bahsi geçen sabit nokta, çemberin merkezidir. Çemberin merkezi ile çember üzerinde alınan herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasına "yarıçap", yarıçapın iki katı uzunluğa da "çap" denir.  Genellikle,yarıçap r (küçük r harfi), çap ise 2r ile gösterilir. Matematikte çevrel çemberin yarıçapını R (büyük R harfi) ile gösteririz. Bu nedenle sıradan bir çemberin yarıçapını R şeklinde büyük harfle gösterek kullanmak hatalıdır. Yarıçap ve çapların uzunlukları sabitdir. 

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ise "kiriş" adı verilir. Kirişlerin uzunlukları farklı olabilir. Bu anlamda, merkeze göre birbirine simetrik olan iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğu aynı zamanda çapa eşittir. Çap en uzun kiriştir. 

Çemberin iki noktası arasında kalan parçaya "çember yayı" (çember parçası) denir. Çember üzerindeki iki farklı noktadan geçen doğruya "kesen" adı verilir. Bir kesenin, çember içerisinde kalan parçasına da "kiriş" denir. 

Çember, bulunduğu düzlemi; çemberin iç bölgesi, dış bölgesi ve kendisi olmak üzere üç bölgeye ayırır. Çemberin kendisi ve iç bölgesinin birleşiminden daire oluşur.

Çemberin merkezi, merkez açının köşesidir. Çevre açının köşesi, çemberin üzerindedir. Merkez açının içinde kalan çember parçasına, "merkez açının gördüğü yay"; çevre açının içinde kalan çember parçasına, "çevre açının gördüğü yay" denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı kadardır. Merkez açının kenarlarının, çemberi kestiği noktaların arasındaki yaylardan birisi "majör", yani büyük çember yayı, diğeri de "minör", yani küçük çember yayıdır. Merkez açının gördüğü yay, minör yaydır. Merkez açının ölçüsü, 0 ile 180 derece arasında, çevre açı yaylarının ölçüleri ise, 0 ile 360 derece arasındadır. Tüm çemberin ölçüsü 360 derecedir. Radyan cinsinden ölçüldüğünde 2π radyan olur. 

Çemberde açı özellikleri

Çemberde teğet ve kiriş özellikleri

Çemberde Kiriş Özellikleri

Çemberde kiriş uygulamaları

Kirişler Dörtgeni

Çembere teğet çizmek

Çemberde Teğet Özellikleri

Çemberde teğet uygulamaları

Teğetler Dörtgeni

**Çemberde kuvvet fonksiyonu

**Koordinatları verilen noktanın çembere göre kuvveti

**Çemberler yardımıyla fraktal oluşturma

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alanı

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Birim Çember

**Açı Ölçü Birimleri

Sinüs teoremi ve ispatı

Çemberin çevresi ve ispatı

Çemberin çevresinin iple sarılması

**Çemberin çevresi integralle ispatı

Dairenin alanı ve ispatı

Dairede çevre ve alan özellikleri

**Dairenin alanın integralle ispatı

**Pi sayısı

**Pi sayısının tarihçesi

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Dairede çevre ve alan özellikleri

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin çevresi ve ispatı) Dairenin alanı; pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımı ile bulunur. Dairenin alanını bulabilmek için, bir düzgün çokgenin düzenli olarak kenar sayısı arttırılarak çokgen limit değerinde çembere yaklaştırılır. (Bkz. Dairenin alanı)

Dairenin alanı integralle ispatı

Bir düzgün çokgende kenar sayısı ne kadar fazla olursa, düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Bu durumda bir düzgün çokgende kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, (limit değeri) düzgün çokgen artık çembere dönüşmüş olur. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur.  (Bkz. Dairenin Alanı) Bu şekilde dairenin alanın hesaplanmasında, limit yaklaşımı metodu kullanılır. 

Benzer şekilde dairenin alanı, elipsin alanında olduğu gibi integral yardımıyla da hesaplanabilir.  (Bkz. Elipsin alan ispatı) Bu yöntem ile dairenin alanı hesaplanırken; belirli integral ve açısal (kutupsal) dönüşüm kullanılır.

Dairenin alanı ve ispatı

Dairenin alanı; pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımı ile bulunur. Dairenin alanını bulabilmek için, bir düzgün çokgenin düzenli olarak kenar sayısı arttırılır. Kenar sayısı ne kadar fazla olursa düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur. 

Bir daire esasında daire dilimlerinin toplamından meydana gelmiştir. Bu daire dilimleri, yan yana hiç boşluk kalmayacak şekilde sıralandığında, bir dikdörtgen meydana gelir. Ortaya çıkan bu dikdörtgenin alanı hesaplandığında dairenin alanına ulaşılır. 

Dairenin alan hesabı için, yukarıda anlatılan özellikle ilgili olarak hazırlanmış animasyonu, aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz. (Daire Alanı-Youtube)

Yukarıdaki örnek matematiksel olarak ifade edilirse; Bir düzgün çokgende kenar sayısını ne kadar arttırırsak, o çokgen o kadar çembere benzer. Yani çokgenin kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, çokgen (limit değeri) artık çembere dönüşmüş olur. Bu şekilde dairenin alanı hesaplanırken, limit yaklaşımından yararlanılır. (Bkz. sinx/x limiti)

Daire alanındaki mantıkla, benzer şekilde silindirin hacmine de ulaşılır. Yani bir silindir taban dairesi baz alınarak, çok sayıda silindir dilimine ayrıldığında, bu dilimler boşluk kalmayacak şekilde dizilirse ortaya bir dikdörtgen çıkar. Silindirdeki dilim sayısı sonsuz olduğunda, silindirin toplam hacmi, ortaya çıkan dikdörtgenin alanına eşit olacaktır. Konu ile ilgili hazırlanmış silindir hacim materyalini inceleyebilirsiniz.  (Bkz. Silindirin Hacmi Materyali) 

Yarıçapı, r olan dairenin alanı, integral yardımıyla da hesaplanabilir. Bunun için 4 tane eş daire dilimlerinden birinin alanı integralle hesaplandıktan sonra, çeyrek daire diliminin alanı bulunur.  Bulunan bu sonuç, 4 ile çarpılarak tüm dairenin alanı hesaplanmış olur. İntegral hesabında açısal (kutupsal) dönüşüm uygulanır.

Daire diliminin alanı bulunurken, dilimin gördüğü merkez açının ölçüsü bilinmelidir. (Bkz. Çemberde Açılar) Bunun için ya merkez açının ölçüsü verilmeli ya da bu daire dilimini çevreleyen yayın uzunluğu bilinmelidir. Buna göre, oran-orantı yardımıyla daire diliminin alanı hesaplanır.

Çemberin çevresinin iple sarılması

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin çevresi ve ispatı) Bazı durumlarda birleştirilmiş çemberlerin çevrelerinin  bir kayış ya da ip benzeri araçlarla çevrelenmesi ve gergin biçimde sarılması istenebilir. Bunların çevre uzunluğunun hesaplanmasında çemberin çevre formülü ve oluşacak çokgenlerin çevre formüllerinin toplamının bilinmesi gerekir. 

n tane eş çemberin çevresine gergin sarılan ipin uzunluğu çemberin merkezlerinin birleştirilmesi ile elde edilen n-genin çevre uzunluğu ile bir çemberin çevre uzunluğunun toplamına eşittir. Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere, bir çemberin ertafında sarılacak gergin ipin uzunluğu, 2πr kadardır. 

Aşağıda verilen çeşitli çemberler için çevrelerine gergin ipler sarılmıştır. Bu çemberlerin etrafına sarılan gergin iplerin uzunluklarının nasıl olacağına dikkat ediniz.

Çemberin çevresi integralle ispatı

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin Çevresi) Çemberin çevresi, yay uzunluğunun toplamını veren integral bağıntısı ile de hesaplanabilir. Bunun için Çember üzerinde alınan rastgele bir P noktasının kutupsal biçimi yazıldıktan sonra çemberin yay uzunluğunun toplamını veren integral yazılır. Aynı metod dairenin alanını veren bağıntı içinde kullanılır. (Bkz. Dairenin Alanı integral ispatı)

Çemberin çevresi ve ispatı

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. Çevre formülünün hesabı yapılırken, Archimedes’in (Arşimet) π sayısının değerini elde etmek için kullandığı yaklaşımdan yola çıkılarak ispatlama yapılabilir. Bu yaklaşımda pi sayısı şu gerçeğe dayanır: Bir çemberin çevre uzunluğu, n kenarlı düzgün kirişler ve teğetler dörtgenlerinin çevre uzunlukları arasındadır ve n arttırılarak iki çevre uzunluğu arasındaki sapma azalır. Bu gösterim, çokgenler ile çemberin çevre uzunluğu arasındaki fark yavaş yavaş tüketidiği için "tüketme yöntemi" olarak bilinir. Tüketme yöntemini kullanan Archimedes, π sayısının olduğu aralığı 3+10/71< Pi sayısı<22/7 olarak hesaplamış ve buna göre pi sayısının yaklaşık değerini de 3,14 olarak bulmuştur. 

Archimedes’in Pi saysısının bulunması için gösterdiği bu yaklaşımı, çemberin çevresi için kullandığımızda, çemberin içine çizilen kirişlerin oluşturduğu düzgün çokgenlerin kenar sayısı, ne kadar çok arttırılırsa çokgenin çevresi ile çemberin çevresi birbirine o kadar yakın olur. Buna göre düzgün çokgenin kenar sayısı, sonsuza yaklaştığında ise düzgün çokgen, artık çembere dönüşmüş olur ki bu durumda düzgün çokgenin çevresinin limit değeri, çemberin çevresini verir.

Çemberin çevresi, yay uzunluğunun toplamını veren integral bağıntısı ile de hesaplanabilir. Bunun için Çember üzerinde alınan rastgele bir P noktasının kutupsal biçimi yazıldıktan sonra çemberin yay uzunluğunun toplamını veren integral yazılır. Aynı metod dairenin alanını veren bağıntı içinde kullanılır. (Bkz. Dairenin Alanı integral ispatı)

O merkezli, r yarıçaplı dairede AOB merkez açısının gördüğü yay uzunluğunun ölçüsü |AB|;  oran ve orantı yardımıyla bulunur. Daireyi sınırlayan çember, ölçüsü 360° olan bir yay olarak kabul edilebilir. Buna göre orantı yapılırsa merkez açıya karşılık gelen yayın uzunluğu bulunmuş olur.

Çokgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Düzlem üzerinde dört farklı noktanın ardışık sırayla birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekle dörtgen ismi verilir. Dörtgenler çokgenlerin özel bir çeşidi olduğu için farklı başlıklar altında özellikleri incelenebilir. Çokgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Çokgenler ve Genel Özellikleri

Dörtgenlerde Açı Özellikleri ve ispatları

Dörtgenlerde Uzunluk Teoremleri ve İspatları

Dörtgenlerde Alan Bağıntıları

**Dörtgenlerin vektörel alan formülleri

Yamukta Özellikler ve İspatları

Yamukta alan bağıntıları

Paralelkenar ve Özellikleri

Paralelkenarda Alan Hesabı

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Dikdörtgen ve Özellikleri

Karenin Özellikleri

Deltoidin Özellikleri

Teğetler Dörtgeni

Kirişler Dörtgeni

Katı Cisimlerin Alan ve Hacim Formülleri

Piramitin Alanı ve Hacmi

Prizma ve Piramitlerde Euler Bağıntısı

**Çok Yüzlüler ve Çeşitleri

**Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

**Platon Katı Cisimleri

Çokgenlerle Fraktal Oluşturma

Çokgenlerde Kaplama Teknikleri

Çokgenlerle Desen-Kaplama Oluşturma

**Geometrik Cisimlerin Birim Küp Kodlaması

Geometrik Cisimlerde Simetri

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Deltoid ve Özellikleri

Çocukluğumuzda mutlaka uçurtma yapmayı denemiş veya satın alınan bir uçurtmayı uçurmak için yoğun çaba sarf etmişizdir. Hazır olarak alınanlarda belli bir denge olduğu için, daha kolay uçabilmektedir. Kendi yaptıklarımızın da sağlıklı bir şekilde uçabilmesi için belli özellikleri olmalıdır. İşte çocukluğumuzun güzel hatıralarında saklanmış, gökyüzünde sıklıkla karşılaştığımız bu geometrik şeklin adı deltoid'tir.  

Karenin Özellikleri

Kare, matematikteki en temel geometrik şekillerden birisidir. Pek çok yerde kullanımı mevcuttur. Özellikle seramik/fayans döşeme ve kaplamalarında, mobilya tasarımlarında sıklıkla kare tercih edilir. Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare (murabba) denir. 

Kare, bir düzgün çokgen örneğidir.  Kare esasında özel bir dikdörtgen çeşididir. Aynı zamanda eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgende ve dikdörtgende yer alan tüm özellikleri sağlar. Bütün iç ve dış açıları 90 derecedir. iç açıları ve dış açıları ölçüleri toplamı 360 derece olup tamamı 90 derecedir. Köşegenleri dikdörtgendeki gibi birbirine eşittir ve birbirini ortalar. Köşegenlerin kesim noktası, karenin ağırlık merkezi (denge noktası) olur.

Dikdörtgen ve Özellikleri

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay, yükseklik ve açıortaydır. Taban açıları birbirne eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende, eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları birbirine eşittir. İkizkenarlara ait, yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları, karşılıklı olarak birbirine eşittir.  

Paralelkenarda Alan Hesabı

Bir paralelkenarda, alan hesabı için taban uzunluğu ve yükseklik bilinmelidir. Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenar içerisinde bir köşeden karşı kenara dik uzaklık olarak çizilebileceği gibi, o kenarın uzantısına da çizilebilir. 

Paralelkenar Özellikleri

Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. 

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

(Bkz. Üçgen eşitsizliği)

Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte: 

||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y| 

şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır. 

Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır.