Mantık doğruluk tabloları

Mantıkta doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir ve önermeler genellikle p, q, r, s,... gibi küçük harflerle gösterilir. Verilen bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1”, yanlış ise doğruluk değeri “0” dır. Böylece bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna göre iki farklı doğruluk durumu vardır. Dolayısıyla birden fazla önerme olursa doğruluk durumu 2'nin kuvvetleri biçiminde değişiklik gösterir. n tane önermenin, 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır. Bir mantıksal ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu gösteren tablolara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tablosu, bir veya daha fazla basit ya da bileşik önermenin tüm olası doğruluk durumlarını ve bu durumlara karşılık gelen sonuçlarını tek parçada gösteren bir tablodur. Bağlaçların durumlarına göre oluşturulan önermelerin doğruluk durumları kolayca doğruluk tablosunda test edilebilir. 

Çift yönlü koşullu önerme

Çift yönlü koşullu önerme, "ancak" bağlacı ile kurulan bir önermedir. İki taraftan da koşulun sağlanmasını gerektirir. p ↔ q şeklinde sembolle gösterilir."p ancak ve ancak q ise" şeklinde okunur. p ↔ q önermesi esasında iki taraftan "ise" bağlacı ile kurulmuş koşullu önermenin "ve" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşmuştur. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)  Örneğin "Sınavı kazanırsan, ancak ve ancak üniversiteye gidebilirsin." önermesi çift yönlü koşullu önermeye örnek olarak verilebilir. 

"Ahmet derse gelirse, Ayşe de gelir." ve "Ayşe derse gelirse, Ahmet de gelir."cümlelerini tek bir ifadede birleştirebiliriz: "Ahmet ancak ve ancak Ayşe derse gelirse gelir." Bu cümlede iki farklı önerme vardır. p:"Ahmet derse gelir." ve q:"Ayşe derse gelir." Bu önermelerin birleşimi ile "ancak" bağlacı ile kurulmuş bir önerme olur. Mantıksal gösterimi: p ↔ q şeklindedir. Ahmet derse gelirse Ayşe ders gelir ve Ayşe ders gelirse Ahmet derse gelir." cümlesine eşdeğerdir. Cümlenin ifade ettiği anlam mantık açısından bir zorunluluk bildirip "Ahmet ve Ayşe'nin ikisi birlikte gelir ya da ikisi de gelmez" anlamındadır.
"Ancak ve ancak" bağlacında, iki önermenin her ikisi doğruysa ya da her iki önermenin her ikisi yanlışsa sonuç doğru olur, önermelerden biri doğru diğeri yanlış ise sonuç yanlış olur. (1↔1 ≡ 1)   (0↔0 ≡ 1) p p→q koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. (p → q) ≡ 1 Çift yönlü koşullu önermeye, "Çift gerektirme" de denilir. (p ↔ q ≡ 1)

"Bugün ancak ve ancak pazartesiyse ders vardır." (p ↔ q) önermesinde doğruluk durumu şu şekilde yazılabilir. Öncelikle burada iki farklı önerme vardır. p: "Bugün pazartesidir." q: "Ders vardır." Ancak ve ancak bağlacında kural "p ↔ q için p ve q aynı doğruluk durumuna sahipse önerme doğru değilse yanlıştır. Buna göre bu önermelere bağlı olarak (p ↔ q) önermesinin doğruluk durumunu inceleyelim: 

1 ↔ 1≡ 1 "Eğer bugün pazartesi ve ders varsa" önerme doğru olur.

1 ↔ 0≡ 0"Eğer bugün pazartesi ama ders yoksa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 1≡0"Eğer bugün pazartesi değil ama ders varsa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 0≡ 1 "Eğer bugün pazartesi değil ve ders de yoksa" önerme doğru olur.

 Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Koşullu Önerme

Koşullu önerme, mantıkta bir şarta bağlı olarak kurulan önermelerdir. Şartın gerçekleşme durumuna göre koşullu önermenin doğruluk durumu değişiklik gösterir. p → q şeklinde yazılır ve şu anlama gelir: "p doğruyken q önermesi yanlış ise bileşik önerme yanlış, diğer tüm durumlarda önerme doğru olur. "Yağmur yağarsa yerler ıslanır" önermesi bir koşula bağlı olduğundan ise bağlacı ile kurulmuş bir bileşik önermedir. "yağmur yağıyorsa" (p), "yerler ıslaktır" (q) gibi iki ayrı önerme birbirine bağlaçla (ise) bağlanmıştır. "yağmur yağıyorsa" (p ≡ 1) "yerler ıslanmaz" (q≡0) durumu mümkün olmadığından yani 1 → 0 ≡ 0 olacağından bu durumda bileşik önerme yanlış olur. Bunun harici tüm durumlarda önerme doğru olur.

 Tabloda verilen tüm durumları inceleyelim.

1 → 1 yağmur yağıyor, yerler ıslanıyor → Beklendiği gibi, önerme doğru 

1 → 0 Yağmur yağıyor ama yerler ıslanmıyor → Beklenen olmadı, önerme yanlış.

0 → 1 Yağmur yağmıyor ama yerler başka bir sebeple ıslanmış → Yine de önerme doğru sayılır.

0 → 0 Yağmur yağmıyor, yerler ıslanmıyor → Koşul gerçekleşmediği için önerme doğru kabul edilir.

---

Koşullu önermelerin mantığında, sadece koşul gerçekleşip sonuç gerçekleşmezse önerme yanlıştır. Bunun (1 → 0 ≡ 0) haricindeki tüm durumlarda önerme doğru olur.  Ayrıca bir koşullu önermenin karşıt tersi de kendisine doğruluk durumu bakımından denk olur. Örneğin "Eğer yağmur yağarsa, zemin ıslanır." (A → B) "Eğer zemin ıslanmıyorsa, yağmur yağmamıştır." (B^' →A^') Bu iki cümle birbirinin denk önermeleridir (A → B) ≡ (B^' →A^') çünkü her durumda, biri doğruysa, diğeri de doğru olur; biri yanlışsa, diğeri de yanlış olur. 

Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi bulunabilir. Buna göre "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." (p → q) önermesini inceleyelim: 

(p → q): "Yağmur yağarsa yerler ıslanır."

Koşullu Önermenin karşıtı (Converse) (q → p)
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde iki önermenin yerleri değiştirilir. Yani sonuç ile koşulun yerleri değişir.  Karşıt önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

(q → p): "Yerler ıslanırsa, yağmur yağar."

Koşullu Önermenin tersi ((Inverse) (p' → q')
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin yerleri değiştirilmeden olumsuzları alınır. Yani her iki tarafın sadece değili alınır. Ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

 (p' → q'): "Yağmur yağmazsa, yerler ıslanmaz." 

Koşullu Önermenin karşıt tersi (Contrapositive) (q' → p') "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin hem yerleri değiştirilir hem de olumsuzları alınır.  Karşıt ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğerdir. Bu önerme, orijinal önerme ile mantıksal olarak denk kabul edilir..Yani biri doğruysa diğeri de kesinlikle doğrudur. (p → q) ≡ (q^' →p^')

(q' → p') "Yerler ıslanmazsa, yağmur yağmaz."

"İse" bağlacı ile kurulmuş bi koşullu önerme "veya" bağlacı kullanılarak da yazılabilir. Her ne kadar günlük kullanımda böyle bir kullanım yaygın olmasa da mantıksal açıdan (p → q) ≡ (p^' ∨ q) önermesi birbirine doğruluk durumu bakımından denktir. "Eğer çalışırsan, başarılı olursun." (p → q) önermesi (p: çalışırsın, q: başarılı olursun) "Veya" bağlacıyla "Çalışmazsan veya başarılı olursun." (p' ∨ q) şeklinde yazılır.

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

"VE" BAĞLACI: (mantıksal olarak ∧ sembolü ile gösterilir), iki önermenin birlikte doğru olması durumunda doğru olan bir mantıksal bağlaçtır. Başka bir deyişle, A ∧ B ifadesi (A ve B), her ikisi de doğruysa doğru olur; ancak biri bile yanlışsa, tüm ifade yanlıştır. "Ve" bağlacı, doğru bir sonucu elde etmek için her iki hükmün de yerine gelmesi gerekir. Bu bağlacın kullanıldığı bir bileşik önerme, yalnızca her iki önerme de doğruysa doğru olur. Bu nedenle kesin ayrım yapılması gereken durumlarda sıklıkla kullanılır.

"Evin içinde ışık yanıyor ve dışarıda güneşli bir hava var."
(Bu cümlede, "ışığın yanması" ve "dışarıda güneşli bir hava olması" koşulları, her ikisi de doğru olduğunda, tüm önerme doğru olur.)

"Bugün yağmur yağıyor ve hava -4 derece."
(Bu örnekte, hem "yağmur yağması" hem de "havanın -4 derece olması" durumunun doğru olması durumunda tüm önerme doğru olur.) 

Önerme Nedir?

Mantıkta en küçük birim önermedir. Önerme, mantığın temel yapı taşlarından biridir ve genellikle sembolik mantıkta incelenir. Önerme, mantıkta, doğru ya da yanlış olabilen, bir düşünceyi ifade eden ve bir değer taşıyan cümle veya ifadedir. Başka bir deyişle, bir önerme, belirli bir durumu veya gerçeği belirten bir ifadedir ve bu ifade doğru ya da yanlış olabilir. Ancak bir önerme; soru, istek, emir ya da ünlem cümlesi gibi doğruluğu değerlendirilemeyen bir şey olamaz. “Bugün hava güneşlidir.” bir önermedir, çünkü bu ifade herhangi bir gerçekliğe karşılık gelir ya da gelmez; bu da onun doğru ya da yanlış olması anlamına gelir. Ancak “Merhaba!”, “Lütfen kitabı uzatır mısın?” gibi ifadeler bir önerme değildir, çünkü bu cümleler, hüküm belirtmezler ve doğruluk değeri taşımazlar. Bir önermeyi oluşturan şey, anlamının açık ve çelişkisiz olmasıdır. Belirsiz, çok anlamlı ya da mecazi dil kullanmak mantık için sorunludur, çünkü mantık olabildiğince net, tanımlı ve kesin yargılarla çalışır.

Mantık, düşüncenin içeriğiyle değil, onun biçimiyle, yani yapısıyla ilgilenir. Bir düşünce doğru olabilir ama mantıklı olmayabilir; ya da bir düşünce mantıksal olarak kusursuz olabilir ama içerdiği bilgi gerçek dışı olabilir. Mantık bu iki alanı  birbirinden ayırır: doğruluk (truth) ve geçerlilik (validity). Mantıkta "Geçerlilik", bir düşünce zincirinde yani çıkarımda, öncüller doğru olduğunda sonucun da zorunlu olarak doğru olması hâlidir. Yani, eğer önermeler doğruysa ve aradaki bağ mantıksal kurallara uygunsa, sonuç tartışmasız biçimde doğrudur. Bu durumda çıkarım geçerlidir, çünkü biçimsel yapısı sağlamdır. 

Mantıkta "Doğruluk" (veya gerçeklik), bir önermenin gerçek dünyadaki gerçek durumu yansıtıp yansıtmadığı ile ilgili bir kavramdır. Başka bir deyişle, bir önerme doğru olduğunda, onun içeriği gerçek dünya ile uyumludur. Eğer bir önerme gerçek dünyada doğruysa, doğru olarak kabul edilir; eğer gerçek dünyada yanlışsa, yanlış olarak değerlendirilir. Örneğin, "2 + 2 = 4" önermesi doğru bir önermedir, çünkü bu matematiksel bir gerçeği yansıtır. Örneğin, "Ay, Mars'ın uydusudur." önermesi ise yanlış bir önermedir.