Euclid ve Elements

Etiketler : geometri matematikçiler öklid

Euclid (Öklid), çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnek olmuştur. Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı bilinen 13 ciltlik eseriyle ünlüdür. Bu kitap, geometriyi ispat bağlamında aksiyomatik olarak işleyen, bilinen ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan Elementler kitabının bazı yetersizliklerine rağmen, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir. Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin pek bir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; Iskenderiye'de dönemin saygın matematik öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!'' levhası asılı olduğu rivayet edilir. 

Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy , okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına, "Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?'' diye sorduğunda, Öklid "Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur'' der. 

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmiştir. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardır. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt akli yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuş bir çalışma olarak önemlidir. Bu kitap vesilesiyle Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir ilme dönüşmüştür. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, akıl ölçütleriyle denetlenebilir olmuştur. Bu yaklaşımda Öklid geometrisinin değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, geometrik yöntemlerle çözümlenmesi sürecini başlatmıştır. Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneğe dönüşmüştür. Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşünce uğraşı olduğu için önemlidir. Matematiğin sadece soyut bir akıl yürütme aracı değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. 

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama şu sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir? Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşünce ortamı göz önüne alındığında, başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir: 

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek; 

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak; 

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere göreceli zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek); 

4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak 

Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Antik Yunan bilginleri somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a²+b²=c² eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler).

Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi "aksiyom" dediği genel ilkeden, beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkeden oluşan, on öncüle yer vermiştir. (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Öklid'in Elementler adlı eserinde yer alan beş postulat ve beş ortak kavram (aksiyom) klasik biçimleriyle şöyledir:

Postulatlar (Geometriye Özgü İlkeler)

Herhangi bir noktadan başka bir noktaya bir doğru parçası çizilebilir.

Bir doğru parçası, her iki yönde de sınırsız olarak uzatılabilir.

Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember çizilebilir.

Bütün dik açılar birbirine eşittir.

Bir doğru, iki doğruyu kestiğinde aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o tarafta uzatıldıklarında mutlaka kesişir. (Bu, ünlü paralellik postulatıdır.)

 

Aksiyomlar (Ortak Kavramlar)

Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir.

Eşitlere eşitler eklenirse, elde edilenler de eşit olur.

Eşitlerden eşitler çıkarılırsa, kalanlar da eşit olur.

Birbirleriyle çakışan (üst üste gelen) şeyler birbirine eşittir.

Bütün, parçasından büyüktür.

Bu on temel ilke, Öklid geometrisinin üzerine inşa edildiği kabullerdir. Özellikle beşinci postulat, yüzyıllar boyunca en çok tartışılan önerme olmuş ve sonunda Öklid dışı geometrilerin (Lobaçevski ve Bolyai'nin hiperbolik geometrisi ile Riemann'ın eliptik geometrisi) doğmasına zemin hazırlamıştır. Öklid'in beşinci postulatı, geometri için zorunlu tek seçenek değildir. Farklı bir postulat seçildiğinde farklı bir geometri elde edilir. Örneğin Öklid'in ilk dört postulatı hemen hemen bütün klasik geometrilerde kabul edilir. Tartışma oluşturan ilke (paralellik postulatı) beşinci postulattır. Bu paralellik postülatına göre  Öklid geometrisi: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel çizilebilir." derken Hiperbolik geometri: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel çizilebilir." der. Eliptik geometri ise "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan hiç paralel çizilemez." der. Buna göre Öklid dışı geometrilerde ilk dört postulat korunur; yalnızca beşinci postulat değiştirilir. Sonuçta elde edilen geometriler de kendi içinde tamamen tutarlıdır.

Öklid'in ortaya koyduğu postülat ve aksiyomlar, tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, "nokta'', "doğru", vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, l8. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa, Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez. 

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: '"Elementler'e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir."

Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!"