Cahit Arf ve Arf Teoremi

Etiketler : cahit arf denklem matematik tarihi matematikçiler

Cahit Arf (1910, Selanik – 26 Aralık 1997, İstanbul), Türk matematik dünyasının en önemli isimlerinden biridir. Kendi adıyla anılan matematiksel kuramları sayesinde uluslararası düzeyde tanınmıştır. Doktorasını yapmak üzere II. Dünya Savaşı dönemlerinde Almanya’ya giden Cahit Arf, burada ünlü matematikçi Helmut Hasse ile birlikte önemli çalışmalar yürütmüştür. Bu çalışmalar sonucunda matematikte Hasse-Arf Kuramı’nı geliştirmiştir. Ayrıca Arf değişmezi, Arf halkaları ve Arf kapanışları gibi kendi adıyla anılan kavramları bilim dünyasına kazandırmıştır. 

Cahit Arf, 1910 yılında Selanik'te dünyaya gelmiştir. 1918-1920 yılları arasında İstanbul Erkek Lisesi’nde öğrenim görmüştür. Mili Eğitim Bakanlığı’ndan kazandığı bursla yüksek öğrenimini Fransa’da, Ecole Normale Supérieure’de tamamlayan Arf, 1932 yılında mezun olmuştur. Türkiye’ye döndükten sonra bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yapmıştır. Ardından İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde doçent adayı olarak görev almıştır. Doktorasını tamamlamak üzere 1937 yılında Almanya’ya giden Arf, çalışmaları sonucunda büyük başarılar elde etmiş ve Türkiye’ye döndüğünde İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde profesörlük görevine başlamıştır. Burada ordinaryus profesör unvanını da kazanmış ve 1962 yılına kadar akademik çalışmalarına devam etmiştir. Daha sonra Robert Kolej’de matematik dersleri vermeye başlamıştır. 1964-1965 yılları arasında Fransa’da bulunan Princeton’daki Yüksek Araştırma Enstitüsü’nde konuk öğretim üyesi olarak görev yapmıştır. Aynı yıllarda Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bünyesinde bilim kolu başkanlığı görevini üstlenmiştir. Cahit Arf, daha sonra Amerika Birleşik Devletleri’nde araştırmalar ve incelemeler yapmış, Kaliforniya Üniversitesi’nde konuk öğretim üyesi olarak görev almıştır. 

 

Cahit Arf, 1967 yılında Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nde öğretim üyeliğine başlamıştır. 1980 yılında emekli olduktan sonra TÜBİTAK’a bağlı Gebze Araştırma Merkezi’nde çalışmalarına devam etmiştir. 1985 ve 1989 yılları arasında Türk Matematik Derneği başkanlığını yapmış, matematik camiasına liderlik etmiştir. Cahit Arf’in onuruna, 3-7 Eylül 1990 tarihlerinde Silivri’de uluslararası bir cebir ve sayılar teorisi sempozyumu düzenlenmiş; halkalar ve geometri üzerine ilk konferanslar ise 1984’te İstanbul’da gerçekleştirilmiştir. Bu etkinliklerde Arf, matematikte geometri kavramı üzerine önemli katkılar sunmuştur. 

Cahit Arf, cebir alanındaki çalışmalarıyla uluslararası üne kavuşmuştur. Sentetik geometri problemlerinin cetvel ve pergel ile çözülebilirliğini incelemiş; cisimlerin kuadratik formlarının sınıflandırılmasında ortaya çıkan değişmezler üzerine yaptığı çalışmalar, matematik literatüründe “Arf değişmezi” ve “Arf halkaları” olarak yer almıştır. Ayrıca Arf, matematiğe “Arf kapanışı” kavramını ve Hasse-Arf Teoremi’ni kazandırmıştır. Cahit Arf, matematiği bir meslek olarak değil, bir yaşam biçimi olarak görmüştür. Öğrencilerine her zaman 1997 yılının Aralık ayında bir kalp rahatsızlığı nedeniyle hayatını kaybeden Cahit Arf, matematik dünyasında bıraktığı derin izlerle hâlâ anılmaktadır.

 

ODTÜ Cahit Arf konferansları
Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü'ünde her sene Arf adına ve anısına özel bir konferans düzenlenmektedir. ODTÜ'de düzenlenen bu Arf konferanslarının konuşmacıları ve bağlı olduğu kurumlar yıllarıyla birlikte aşağıda verilmiştir.

* 2009: Ben Joseph Green - Oxford Üniversitesi
* 2008: Gunter Harder - Bonn Üniversitesi Matematik Enstitüsü
* 2007: Hendrik Lenstra - Leiden Üniversitesi Matematik Enstitüsü
* 2006: Jean-Pierre Serre - Collège de France
* 2005: Peter Sarnak - Princeton Üniversitesi ve İleri Araştırma Enstitüsü
* 2004: Robert Langlands - İleri Araştırma Enstitüsü
* 2003: David Mumford of Brown Üniversitesi Uygulamalı Matematik Bölümü
* 2002: Don Zagier - Utrecht Üniversitesi / Collège de France
* 2001: Gerhard Frey - Essen Üniversitesi Deneysel Matematik Enstitüsü

 

Hasse-Arf Teoremi: Sentetik geometri problemlerini cetvel ve pergelle çözülebilir olup olmadıklarına göre sınıflandırmayı tasarlayan Cahit Arf, yalnızca ikinci dereceden cebirsel denklemlere indirgenebilen problemlerin cetvel yardımıyla çözülebileceğini saptamıştır. Hasse’nin önerisi üzerine yürüttüğü çalışmalar sonucunda ortaya koyduğu değişmezler, “Arf değişmezi” olarak adlandırılmış ve bu sayede matematik dünyasındaki ününü pekiştirmiştir.

 

Arf değişmezi, Cahit Arf’in matematikte tanımladığı bir kavramdır ve kuadratik formlar üzerinde ortaya çıkar. Bir cisimde veya halkada kuadratik bir form varsa, bu formu belirli kurallar çerçevesinde “dallanma” veya “sınıflandırma” açısından inceleyebiliriz. Arf değişmezi, bu kuadratik formun temel özelliklerini sayı olarak ifade eden bir değişmezdir. Başka bir deyişle, kuadratik formun farklı biçimlerini karşılaştırırken, onun yapı taşlarını belirleyen ve değişmeyen bir sayıdır. Matematiksel olarak, kuadratik formların eşdeğerliğini ve yapısını sınıflandırmak için kullanılır ve Hasse-Arf teoremleri gibi daha ileri teorilerde kilit bir rol oynar. Arf değişmezi, kuadratik formların temel özelliklerini tek bir sayı ile ifade eden tıpkı farklı desenlerdeki Lego parçalarının her birinin kendine özgü bir sayıyla tanımlanması gibi her birinin bütün detaylarını tek tek incelemek yerine bir temsille açıklamasını yapan bir kavramdır. Aynı yapıya sahip formlar aynı Arf değişmezine sahiptir. Yani Arf değişmezi, kuadratik formun “parmak izi” gibidir, formun değişmeyen, temel karakteristiğini sayısal olarak bize verir. Arf değişmezi aynı olan formlar matematikte eşdeğer kabul edilir. 

Arf Değişmezini anlamak için şöyle basit bir örnek verelim:  Form A, Q₁(x, y) = x² + xy + y² ve Form B, Q₂(x, y) = x² + y² olarak verilsin. Arf değişmezini bulmak için formun değerlerine bakıyoruz; yani 0 veya 1 çıktığında 1 değerinin kaç kere ortaya çıktığını sayıyoruz. Form A için değerler şunlardır: (0,0) → 0, (1,0) → 1, (0,1) → 1, (1,1) → 1. Burada 1 değeri üç kere çıkıyor, yani tek sayı olduğundan Arf değişmezi 1 olur. Form B için değerler ise şunlardır: (0,0) → 0, (1,0) → 1, (0,1) → 1, (1,1) → 0. Burada 1 değeri iki kere çıkıyor, yani çift sayı olduğundan Arf değişmezi 0 olur. Arf değişmezinin 0 veya 1 olmasının nedeni, 1 değerinin formun değerlerinde tek veya çift sayıda çıkmasına bağlıdır. Tek çıkarsa Arf değişmezi 1 olur, çift çıkarsa 0 olur. Bu şekilde kuadratik formun temel tipi hızlıca belirlenebilir. Yani Arf değişmezi, bu kuadratik formlar için formun “temel parmak izi” gibi çalışır: sadece 0 veya 1 değerlerini alır buna göre formlar arasında eşdeğerik söz konusu olur.

Arf halkaları, Cahit Arf’ın geliştirdiği bir kavramdır ve cebir alanında özellikle bir tür yerel halka yapısını tanımlar. Basitçe anlatmak gerekirse: Halkalar, matematikte sayıların toplandığı ve çarpıldığı bir yapı olarak düşünülebilir. Arf halkaları, özellikle kuadratik formların ve yerel halkaların incelenmesinde ortaya çıkar. Bu halkaların temel özelliği, elemanlarının çarpımı ve toplamı üzerinden kuadratik özellikleri kontrol edebilmektir. Daha somut bir örnekle: Arf halkası, bir lokal cisim üzerindeki tam bir halka olup, elemanlarının “kuadratik davranışını” Arf değişmezi ile ilişkilendirerek sınıflandırmayı mümkün kılar. Bu sayede matematikçiler, karmaşık kuadratik formları ve dallanmış uzantıları daha sistemli bir şekilde inceleyebilir. Arf halkaları kuadratik formların özelliklerini incelemek ve sınıflandırmak için kullanılan özel bir halka türüdür. Arf halkası, kuadratik bir formun değerlerini basit bir şekilde incelememizi sağlayan bir yapıdır. Örneğin, Q(x, y) = x² + xy + y² formunu ele alalım. Burada x ve y yalnızca 0 veya 1 değerlerini alıyor. Formun tüm olası değerleri şöyle hesaplanır: Hesaplamaalrda mod2'e göre kalan sınıfları yazılır. Q(0,0) = 0² + 0*0 + 0² = 0 ; Q(1,0) = 1² + 1*0 + 0² = 1 ; Q(0,1) = 0² + 0*1 + 1² = 1 ; Q(1,1) = 1² + 1*1 + 1² = 3 → mod 2 alırsak 1 olur. Yani formun değerleri {0,1,1,1} olur ve bu kümeyi mod 2 göre aldığımız için diğer sayılarla ilgilenmeyip sadece 0 veya 1 değerleriyle ilgileniyoruz. Arf halkası, bu değerleri {0,1} kümesi içinde toplama ve çarpma işlemleri ile mod2'e göre işlemlerle düzenler. Toplama mod 2 ile yapılır: 0 + 0 = 0 ; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0 Bu formun değerlerine göre iki adet 1 değerini topladığında, mod 2 işlemi ile 0 elde edilmiştir. Yani “burada iki adet 1 bir araya geldiğinde toplamda etkileri kaybolmuştur” deriz. Bu sayede formun değerlerinin birbirleriyle olan ilişkileri basit bir yapı içinde gözlemlenmiş olur. Böylece Arf halkası ve Arf değişmezi birlikte kullanıldığında, kuadratik formun temel davranışı hem küme ve işlem yapısı içinde hem de tek bir sayı ile kolayca anlaşılır. Arf değişmezi, formun temel özelliğini tek sayı ile gösterirken (1 veya 0). Arf halkası, formun değerlerinin birbiriyle nasıl etkileştiğini göstermiş olur. Bir bakıma Arf değişmezi “ne olduğunu” söyler, Arf halkası “nasıl davrandığını” gösterir.

Arf kapanışı, Arf halkası kavramıyla ilişkili bir yapıdır ve kuadratik formların değerlerini daha eksiksiz bir şekilde anlamamıza yarar. Basitçe şöyle açıklayabiliriz: Elimizde bir Arf halkası var ve bu halkadaki elemanlar toplama ve çarpma gibi işlemlerle birbirleriyle etkileşiyor. Arf kapanışı, bu halkadaki tüm elemanların birbirleriyle tüm mümkün kombinasyonlarını alıp tekrar halkaya dahil ettiğimizde elde ettiğimiz küme “tamamlanmış” kümedir. Yani halkayı, bütün kombinasyonlarıyla kapatarak formun değerlerinin tüm davranışlarını tek bir yapı içinde görmemizi sağlar. Arf kapanışı, kuadratik formun değerlerinin Arf halkası içindeki toplama ve çarpma işlemleriyle tam olarak nasıl etkileştiğini gösteren bir “tamamlanmış değerler kümesi”dir. Örneğin; Q(x, y) = x² + xy + y² kuadratik formu için mod2'e göre değerler kümesi {0, 1, 1, 1} olur. Bu Arf Halkasında  sadece {0,1} ile ilgileniyoruz. Burada işlemleri mod 2'e göre yaptığımızda: 0 ile 0’ı toplarsak 0, 0 ile 1’i toplarsak 1, 1 ile 1’i toplarsak 0 elde edilir; çarpma işlemlerinde ise 0 ile 0’ı çarparsak 0, 0 ile 1’i çarparsak 0, 1 ile 1’i çarparsak 1 elde edilir. Bulunan elemanlara göre kümeyi tamamlamak için Arf Kapanışı şöyle bulunur. Arf kapanışı, halkadaki tüm elemanların birbirleriyle tüm olası işlemlerini yaptıktan sonra oluşan kümedir. Başlangıçta küme {0,1} olup toplama ve çarpma işlemleri uygulandığında 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0.0=0, 0.1=0, 1*1=1 hepsi zaten kümede olduğundan başlangıçtaki küme değişmedi ve Arf kapanışı {0,1} oldu.

Cahit Arf, “Arf değişmezi” kavramını daha iyi anlamak için bazı sayı dizilerini incelemiştir. Bu diziler belirli kurallara göre birbirine bağlıdır ve Arf, bu dizilerdeki “sıçrama noktalarını” incelemiş ve bu noktaların her zaman tam sayı değerinde olduğunu göstermiştir. Yani, ne kadar karmaşık görünürse görünsün, bu dizilerdeki temel değişimler hep düzenli ve tam sayı olarak gerçekleşmektedir. Bu incelemeleri, matematikçiler için çok önemliydi çünkü sayıların ve cebirsel yapıların davranışını öngörebilmeyi sağlamıştır. Arf’ın çalışmaları, yalnızca teorik bir başarı değil, aynı zamanda daha karmaşık problemlerin çözümünde de bir rehber olmuştur.

 

Cahit Arf'ın "Lokal cisimler teorisi" üzerindeki çalışmaları, Helmut Hasse tarafından da çok etkin bir şekilde kullanılmıştır. Ancak o dönemdeki lokal cisimler teorisi, daha çok sayı cisimleri ve sonlu katsayılı cebrik fonksiyon cisimleri üzerine uygulanmak amacıyla geliştirilmişti. Bu nedenle, teori daima kalan sınıf cisminin sonlu olduğu varsayımıyla kullanılmıştır. Dolayısıyla, bu oldukça sınırlı şart yerine, daha genel bir koşul altında teorinin kurulması oldukça arzu edilen bir durumdu. Muhtemelen bu nedenle, Cahit Arf’ın Göttingen’de Hasse ile yaptığı ilk görüşmede Hasse, kendisine hemen bu problemi doktora konusu olarak önermiştir. Cahit Arf’ın aktardığına göre, bu görüşmeden sonra kendisi bir daha Hasse ile görüşmemiş ve doktora tezini bir yıl içinde tamamlamıştır. Cahit Arf’ın “Untersuchungen Über Reinverzweigte Erweiterungen Diskret bewerteter Perfekter Körper” adlı tezinde, kalan sınıf cisminin sonlu olması şartı yerine daha genel bir koşul altında lokal cisimler teorisi geliştirilmiştir. Bugün bu teoriyi ele alan kitapların içeriği (örneğin J.-P. Serre’in Corps Locaux) büyük ölçüde Cahit Arf’ın tezinde şekillenmiştir. Özellikle, tezde yer alan ve daha önce J. Herbrand tarafından incelenmiş olan yüksek mertebeden dallanma gruplarının indisleri ile ilgili Hasse-Arf teoremi çok meşhurdur. Bu teorem, dallanma gruplarının zinciri içindeki sıçramalara tekabül eden indislerin tam sayı olduğunu ifade eder. Arf’ın temsillerinin varlığının ispatı için de kilit nokta teşkil ettiği için, teorem büyük bir ün kazanmıştır. Böylece Cahit Arf, yalnızca bir yıl gibi kısa bir sürede bu doktora tezini hazırlayarak kabiliyetini göstermiştir. Ayrıca Göttingen’deki seçkin matematikçilerle kaynaşan genç Cahit Arf, sayı teorisine ait dönemin en öncü araştırma atmosferini bolca deneyimleme fırsatı bulmuştur.

Lokal cisim: Matematikte, özellikle sayı teorisinde bir lokal cisim, “küçük ölçekli” sayı sistemleri gibi davranan bir cisimdir. Daha teknik olarak, bir lokal cisim, bir discret valuasyona (kesin ve tam olarak sayılabilir bir değer sistemi) sahip ve bu valuasyona göre tam bir cisimdir. “Tam” olması, sayılar arasında limitleri alabilme yeteneği anlamına gelir; yani, diziler belirli kurallara göre yakınsadığında o limit de cismin içinde bulunur. Rank 1 valuasyon: Bir valuasyon, cismin elemanlarını bir değer sistemine eşleyen bir fonksiyondur. Rank 1, bu değerlerin tek bir “ölçekte” olduğunu ve aralarında basit bir sıralama olduğunu ifade eder. Diskret valuasyon (Z-değerli):“Diskret” veya “kesikli” demek, valuasyon değerlerinin $\mathbb{Z}$ gibi tam sayılar üzerinde olduğunu ifade eder. Yani aradaki değerler sürekli değil, adım adım ilerler. Cismin içinde “yakınsama” ile ilgili eksik bir şey olmadığında tam cisim anlamına gelir. Yani, p-adik sayılarda bir dizinin değerleri gittikçe p-adik uzaklıkta küçülüyorsa, bu dizinin bir limiti de yine p-adik sayılar kümesinde vardır. Bu tanımlamalara göre “Lokal bir cisim, tek bir ölçekte (rank 1) ve kesikli (tam sayılarla değer alan) bir ölçüm sistemi, yani valuasyon ile ölçülebilen ve bu ölçüleme altında eksiksiz, yani tam bir sayı sistemi olan cisimdir." P-adik sayı cismi Qp, bu tür lokal cisimlere tipik bir örnektir...

Hasse-Arf Teoremi, dallanma grupları ve değerler teorisinde bazı sıçramaların tam sayı olduğunu ifade eder ve Arf’ın bu konudaki çalışmaları, cebirsel yapıların daha iyi anlaşılmasını sağlamıştır.

 

Kaynakça:

*http://www.edubilim.com/forum/cikis/out.php?url=http://www.math.metu.edu.tr/cahitarf/denklem.html
* Bilim Teknik Dergisi, Cahit Arf Anısına, 1998, 363.Sayı, https://users.metu.edu.tr/komer/files/cahit_arf_anisina.pdf
* Bir Efsanenin Ardından - Ali Sinan Sertöz, https://sertoz.bilkent.edu.tr/efsane.pdf

*Dahi Matematikçi Cahit Arf’in Sessiz Başarısı Adem Özbay, Genç Gelişim, 9 Ekim 2008

*Zeynep Tozar, “Adını Matematiğe vermiş bir Bilimcimiz : Cahit Arf”, Bilim ve Teknik, Şubat 1994.
*TÜBITAK Bilim ve Teknik Dergisi Cahit Arf Özel Sayısı https://www.biltek.tubitak.gov.tr/bdergi/ozel/arf/default.html