Asal Sayılar ve Bölen Durumları

Etiketler : bölünebilme matematik özel sayılar sayılar

Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere iki tam sayı böleni bulunan pozitif tam sayılardır. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11... gibi sayılar asal sayılardır. En küçük asal sayı 2’dir ve aynı zamanda 2 çift asal sayıdır; diğer tüm asal sayılar tektir. Asal sayıların sayısı sonsuzdur, bu yüzden en büyük asal sayı yoktur.

1’den 100’e kadar olan asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Her 1’den büyük tam sayı ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu asal sayılara “asal çarpanlar” denir. Örneğin 12 sayısı 2² .3 şeklinde, 21 sayısı ise 3¹.7¹ biçiminde asal çarpanlarına ayrılabilir. Bu özellik, sayıların temel yapı taşlarının asal sayılar olduğunu gösterir.

Asal sayılar, Antik Yunan matematikçileri tarafından incelenmiştir. Öklid, ünlü eseri Elementler’de asal sayılarla ilgili temel sonuçları ortaya koymuştur. Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu göstermiştir. Pisagor ve takipçileri sayıları daha çok felsefi açıdan incelerken, asal sayıları “saf” ve “bölünemez” yapılar olarak görmüşlerdir. Eratosthenes ise asal sayıları bulmak için “Eratosthenes Kalburu” adı verilen yöntemi geliştirmiştir. Bu yöntem, belirli bir sınıra kadar asal sayıları sistematik şekilde bulmayı sağlamıştır. Antik Mısır, Antik Çin ve Hindistan’da asal sayılar, daha çok pratik hesaplamalar ve sayıların özelliklerini anlama amacıyla incelenmiş, özellikle bölünebilme ve çarpanlara ayırma konularında önemli katkılar sağlanmıştır.

 

Asal sayılar ile Pascal Üçgeni arasında ilginç bir ilişki vardır; Pascal üçgeninde her satır, bir önceki satırdaki sayıların toplanmasıyla oluşur ve bu sayılar aslında binom katsayılarıdır. Eğer satır numarası bir asal sayıysa (örneğin 2, 3, 5, 7 gibi), o satırdaki uçlardaki 1’ler hariç tüm sayılar o asal sayıya tam bölünür. Mesela 5. satırdaki binom katsayıları: 1, 5, 10, 10, 5, 1 olup buradaki 5, 10, 10, 5 sayılarının hepsi 5’e bölünür. Bu durum sadece asal sayılar için geçerlidir. Eğer satır numarası asal değilse (örneğin 6), aynı özellik görülmez. Bu yüzden Pascal üçgeni, asal sayıları test etmek veya anlamak için matematikte kullanılan ilginç yapılardan biridir. 

İki sayının yalnızca 1 ortak böleni varsa bu sayılar “aralarında asal” olarak adlandırılır. Asal sayılar günümüzde özellikle şifreleme sistemlerinde önemli bir rol oynar; örneğin RSA yöntemi, büyük asal sayılar kullanarak dijital verilerin güvenliğini sağlar.

Asal sayılar ve bölen ilişkisi hakkında ilginç bir çalışma, bir öğretmenimiz tarafından yapılmıştır. Matematik öğretmeni Mehmet Arslan Hocamızın kendi el yazısı ile oluşturduğu, asal sayı ve bölen sayıları için örnek problemlerin ve özelliklerin oluşturduğu karalamaları,  sizinle paylaşıyoruz. Güzel el yazısı ve kısa özeti için kendisine teşekkürü bir borç biliriz. Yazımız gayet okunaklı olduğu için ayrıca bir açıklamaya gerek duymadan bu şekliyle istifade etmenizi umuyoruz.