Mantık ve Tarihçesi

Mantık, insan zihninin düşünsel işleyişini; doğruluk ve yanlışlık, tutarlılık ve çelişki gibi kavramlar çerçevesinde sistematik, nesnel ve tutarlı bir yaklaşımla ele alan bir disiplindir. Kuramsal ve uygulamalı yönleri bir arada barındıran mantık, felsefe, matematik, dilbilim, bilişim ve bilimsel düşüncenin metodolojik temellerini paylaşan köklü bir bilgi alanıdır. Mantık, insan zihninin kavramsal düşünme, değerlendirme ve çıkarım üretme yetilerinin yapısını ve işleyiş ilkelerini sistematik bir biçimde inceleyen disiplinler arası bir bilgi alanıdır. Doğru ile yanlış, tutarlılık ile çelişki gibi temel karşıtlıklar üzerinden zihinsel süreçlerin geçerlilik ve doğruluk ölçütlerini sorgular. Akıl yürütme süreçlerinin hangi ilkelere dayanarak geçerli ve doğru sayılabileceğini belirlemeyi amaçlar. Bu bağlamda, mantık yalnızca soyut akıl yürütmenin kurallarını belirlemekle kalmaz; aynı zamanda bilgi üretimi, problem çözme ve eleştirel düşünme gibi bilişsel faaliyetlerin temelini oluşturur. 

Mantık, kuramsal yönüyle formel sistemler ve sembolik dil yapılarını araştırırken; pratik yönüyle gündelik yaşamda, bilimsel yöntemlerde ve teknolojik uygulamalarda geçerli akıl yürütme biçimlerinin analizine olanak sağlar. Mantık, felsefenin epistemoloji ve ontolojiyle kesişen alanlarında temellenirken; matematikte ispat kuramı ve model teorisiyle, dilbilimde anlamsal yapıların çözümlenmesiyle, bilişimde algoritmik düşünceyle ve bilimsel metodolojide deneysel verilerin akılcı yorumlanmasıyla iç içe geçmiştir. Bu çok yönlü yapısıyla mantık, yalnızca bir düşünme aracı değil, modern bilginin inşasında merkezi bir epistemolojik zemin sunar.İnsan zihni, yalnızca bilgi toplamakla kalmaz; aynı zamanda bu bilgileri sınıflandırır, ilişkilendirir ve yeni bilgiler türetir. Mantık, bu türetim süreçlerinin geçerliliğini analiz eder.  

Mantığın temel inceleme alanları, önermelerin ve çıkarımların doğru ya da yanlış olma durumları ile bir düşünce sisteminin kendi içinde tutarlılık taşıyıp taşımadığıdır. Bu karşıtlıklar, mantıksal değerlendirmede ölçüt işlevi görür. Klasik mantık, sembolik mantık, çok-değerli mantık gibi yapılar üzerinden düşünce biçimlerinin formelleştirilmesine yardım eder. Gündelik akıl yürütme, bilimsel hipotez testleri, yapay zekâda karar alma algoritmaları vb. alanlara uygulanabilirlik açısından mantıksal süreçler önemli yer tutar. Mantık bilimi, Felsefe, Matematik, Dil Bilim, Bilgisayar ve Bilişim gibi alanlarda uygulama alanlarına sahiptir.  

Mantık Tarihçesi: İlk sistemli mantık olmasa da, doğa filozofları (örneğin Herakleitos, Parmenides) evrenin yapısını açıklarken mantıksal çıkarımlara başvurmuşlardır. Sokrates, mantıksal sorgulama (sokratik yöntem) yoluyla doğru bilgiye ulaşılabileceğini savunmuş ve eleştirel düşüncenin temellerini atmıştır. Aristoteles (M.Ö. 384–322), mantığı bağımsız bir disiplin haline getirmiştir. Aristoteles'in “Organon” adlı eserinde kıyas (sillojizm) "Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Öyleyse Sokrates ölümlüdür." kıyas yöntemini sistemleştirmiştir. Kategoriler, önermeler, tümdengelim gibi birçok temel mantık kavramları Aristoteles’e dayanır. Aristoteles’in mantığı yaklaşık 2000 yıl boyunca Batı düşüncesine yön vermiştir. 

Helenistik ve Roma Döneminde "Stoacılar" (özellikle Chrysippos), mantığı daha sembolik hale getiren "önermeler mantığını" geliştirmişlerdir. Aristoteles’in düşünceleri Roma’da Boethius tarafından Latinceye çevrilmiştir. İslam düşünürlerinden Farabi, İbn Sina ve İbn Rüşd’ün, mantığı felsefi düşünceyle bütünleştirdiği ve medrese eğitiminde temel bir bilim dalı haline getirdiği dile getirilmiştir. İbn Sina’nın "işraki mantık" ve "burhan" (kanıtlama) kavramları, bu dönemde delil getirme ve ispatlama açısından önemli olmuştur. Aynı dönemlerde Batı dünyasında Skolastik düşünürlerin çoğu, mantığı dini argümanlara yerleştirmiştir. Özellikle Thomas Aquinas mantığı teolojik tartışmalarda çok sık kullanmıştır. 

Yeni Çağ’da Descartes ve Leibniz, rasyonel düşünceye büyük önem vermişlerdir. Bu bağlamda Leibniz’in evrensel bir mantık dili tasarladığı, mantığın matematiksel bir biçime dönüştürülmesini sağlamıştır. Kant, mantığı zihnin yapısal kategorileriyle ilişkilendirip mantık ile bilginin temellerini sorgulamaya açmıştır. 19. yüzyılda George Boole’un mantığı matematiksel formlara dökerek sembolik bi dil ile önemeler mantığını ifade etmiş, Gottlob Frege de günümüzdeki çağdaş mantığın temellerini atmıştı. Gottlob Frege, mantığın dilsel çözümlemelere dayalı sistematik bir yapı özelliğini ortaya çıkarmıştır. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, tüm matematiği mantıksal ilkelerle temellendirmeye çalışarak farklı bir yaklaşım sergilemişlerdir. 20. yüzyılda Wittgenstein’ın, dil ile mantık arasında sıkı bir ilişki kurarak mantığın dilsel anlam çözümlemeleriyle birleştirip mantık ve dil arasındaki etkileşimleri incelemiştir. Alan Turing ise mantığı bilgisayar bilimine yerleştirerek, mantığın bilişimdeki önemini ortaya koymuştur.

 

Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Önerme nedir?

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

Koşullu Önerme

Çift yönlü Koşullu Önerme

Mantık doğruluk tabloları

Sembolik mantık 

Cebir ilminin gelişimi

İlmü’l-cebr ve’l-mukābele'nin Tarihi ve Tanımı 

Klasik kaynaklarda “ilmü’l-cebr ve’l-mukābele” terimi, Arapça’da cebir için “kırık kemiği düzeltme, zorlama” anlamına gelen “el-cebr” ile “karşılaştırma, denkleştirme” anlamına gelen “el-mukābele” kelimelerinden oluşur. Bu terim Batı dillerine "algebra" olarak geçmiştir. Klasik dönemde bu ilim genellikle “ilmü’l-hisâb”ın (hesap ilminin) bir dalı olarak görülmüştür. Muhammed b. Ahmed el-Hârizmî, cebri “hesap sanatlarından biri” olarak tanımlamış ve bu ilmin zorluk içeren miras, vasiyet gibi problemlerin çözümü için olduğunu belirtmiştir. İbn Haldûn ise cebri sayılar teorisinin bir dalı olarak ele almış ve matematiksel anlamda “bilinenlerden bilinmeyeni çıkarma” olarak tanımlamıştır. Taşköprizâde, cebri denklem yoluyla bilinmeyen niceliklerin çıkarılması yöntemi olarak tarif etmiş ve bu tanım sonraki alimlerce kabul edilmiştir. İslâm matematikçileri de bu tanımı benimsemiştir. 

 

Matematiksel İşlemler ve Cebir Kavramları 

Cebirde temel işlemler şu şekildedir: Cebir: Denklemde negatif terimin karşı tarafa aynen eklenerek kaldırılmasıdır. Mukābele: Eşitliğin her iki yanındaki benzer terimlerin çıkarılmasıdır. Red (geri çevirme): Bir terimi katsayısından kurtarma işlemi. İkmal (tamamlama): Bir terimi belirli bir sayı ile çarpma veya bölme yoluyla düzenleme. Bu işlemler denklemde bilinmeyenin katsayısını 1 yapmayı amaçlar. 

Pergeli Apollonius

Antik Yunan matematikçisi ve astronomu Pergeli Apollonius’un (MÖ ~240 – MÖ ~190), Perge’de doğmuş, İskenderiye’de yaşamış, konik kesitler (elips, parabol, hiperbol) üzerine çalışmalar yapmış önemli bir matematikçi ve astronomdur. Öklid ve Arşimet’in çalışmalarını daha ileriye taşımış, analitik geometrinin öncülerinden sayılır. Doğum ve ölüm tarihleri kesin olmamakla birlikte, MÖ 3. yüzyılın ikinci yarısı ile MÖ 2. yüzyılın başları arasında yaşadığı kabul edilir. Perge doğumlu olmakla birlikte İskenderiye’de eğitim görmüş, Bergama’da ve Efes’te de bulunmuştur. Zamanının entelektüel çevresine dahil olmuş, önemli matematikçilerle iletişimde bulunmuştur. Konik kesitlerle ilgili kavram ve terimleri bugünkü anlamlarıyla tanımlamış, koniklerin temel özelliklerini ortaya koymuştur. Bu çalışmalar daha sonra Kopernik, Kepler ve Newton gibi bilim insanlarının gezegenlerin yörüngelerini anlamasında temel oluşturmuştur. Çalışmalarının çoğu günümüze ulaşmamış; mevcut eserleri ve onlarla ilgili yorumlar aracılığıyla tanınmış olup, Orta Çağ’da Arapçaya çevrilerek Rönesans ve sonrasında yeniden keşfedilmiştir. 

Pergeli Apollonius, Öklid geometrisini benimseyerek onu daha ileri düzeylere götürmüştür. Teorik ve sentetik geometrici olarak, 19. yüzyıldaki Steiner'e kadar Apollonius'un bir eşine daha rastlanamaz. Konikler adı altında bugün bildiğimiz elips, çember, hiperbol ve parabol kesişimlerine ait problemlerin birçoğu Apollonius tarafından bulunmuştur. "Konika" eseri sekiz kitaptan oluşmuştur. Eserde konik kesitlerinin (bir koninin düzlemle kesişmesinden ortaya çıkan elips, parabol, hiperbol gibi eğriler) detaylı incelemeleri mevcuttur. Eserin ilk dört kitabı orijinal Yunanca, 5-7. kitaplar ise Arapçadan çevrilmiş; 8. kitabın durumu ise belirsizdir. Sekiz kitabından yalnızca ilk dördü, Apollonius'un orijinal metinlerinden geldiği konusunda güvenilir bir iddiaya sahiptir. 5-7. kitaplar Arapçadan Latinceye çevrilmiş olduğundan yoruma açıktır. Eserin orijinal Yunanca halinin ise kaybolduğu varsayılmaktadır.  Pergeli Apollonius bu eserinin, Edmond Halley tarafından Latince olarak "yeniden yapılanmış" bir versiyonu vardır ama ne kadarının Apollonius'a benzediğini bilmenin bir yolu yoktur. Eserler sonraki yıllarda (19. ve 20. yüzyılda) İngiliz bilim insanları Heath, Taliaferro ve Thomas tarafından İngilizce’ye çevrilmiş ve incelenmiştir. Apollonius’un eserleri bugün klasik matematik literatüründe önemli yer tutar.

Apollonios, antik dönemin en büyük matematikçilerinden biri olarak, özellikle konik eğriler üzerine yaptığı çalışmalarla “Büyük Geometri Ustası” unvanını kazanmıştır. Bu unvan, yalnızca onun eserlerinin kalitesi ve derinliğiyle değil, aynı zamanda onun ve Öklid gibi diğer büyük matematikçilerin çalışmalarını bir araya getirip koruyan Pappos’un katkıları sayesinde günümüze kadar ulaşabilmiştir. Pappos, Apollonios’un fikirlerini ve yöntemlerini sistematik bir biçimde derleyerek, antik matematiğin bu önemli hazinesinin sonraki nesillere aktarılmasını sağlamıştır.

Apollonios’un en çarpıcı başarılarından biri, konik eğriler (elips, parabol ve hiperbol) kavramını hem tanımlaması hem de bu eğrilerin özelliklerini matematiksel olarak incelemesidir. Bu kavramsal gelişme, yalnızca geometri alanında değil, matematiğin genelinde bir devrim niteliği taşır. Çünkü Apollonios, konik eğrileri soyut birer kavram olarak ortaya koymakla kalmamış, aynı zamanda bu eğrilerin doğasını detaylı bir şekilde analiz etmiş ve bunların temel özelliklerini sistematik biçimde ortaya koymuştur. Dahası, Apollonios’un dönemiyle kıyaslandığında, onun ortaya koyduğu bu soyut kavramları somutlaştıracak teknik araçların geliştirilmesi oldukça gecikmiştir. Öyle ki, konik eğrileri geometrik olarak çizmek için gerekli olan ve kavramların pratik olarak uygulanmasını mümkün kılan gelişmiş aletler ancak yaklaşık bin yıl sonra ortaya çıkabilmiştir. Bu durum, Apollonios’un teorik soyutlama gücünün ve matematiksel öngörüsünün kendi zamanının teknolojik ve teknik imkanlarının çok ötesinde olduğunu gösterir. Yani, o dönemdeki mevcut alet ve yöntemlerle bu eğrilerin tam anlamıyla çizilmesi veya uygulanması mümkün değildi; fakat Apollonios, böyle bir soyut yapıyı kavrayacak ve inceleyecek entelektüel birikime sahiptir. Bu bakımdan Apollonios’un çalışmaları, sadece kendi çağının değil, aynı zamanda matematik tarihinin önemli dönüm noktalarından biri olarak kabul edilir. Onun ortaya koyduğu kavramsal çerçeve, ilerleyen yüzyıllarda matematiksel düşüncenin gelişmesine öncülük etmiş ve daha sonraki matematikçiler için güçlü bir temel oluşturmuştur. Ayrıca, Apollonios’un eserleri, geometrinin gelişimiyle birlikte fizik, astronomi ve mühendislik gibi birçok alanda da uzun vadeli etkilere sebep olmuştur. 

Abdülmelik eş-Şîrâzî

Abdülmelik eş-Şîrâzî, tahmini verilere göre 12. yüzyılda yaşamış bir İslam matematikçisi ve astronomudur. Doğum yeri muhtemelen Şîraz’dır. Hakkında çok az bilgi bulunmaktadır. Helenistik matematikçiler ve özellikle Apollonios üzerine çalışmış, onların eserlerini Arapça’ya özetleyerek çevirmiştir. Antik Yunan matematikçisi Apollonios, “Elips” ve “hiperbol” terimlerini ilk defa ilim dilinde kullanan kişi olarak kabul edilir. 

Abdülmelik eş-Şîrâzî'nin en önemli eseri: “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât adlı eserdir. “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât (Koni Kesilmeleri) eseri, ” MÖ. 3 yüzyıllarda yaşamış ünlü matematikçi Apollonios’un "Kônika" adlı eserinin özlü bir Arapça çevirisidir. Bu çalışmada, Koni incelemelerini yapmış olup, Ebû Hilâl ve Sâbit b. Kurra gibi önceki İslam alimlerinin eserlerinden faydalanmıştır. “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât eseri Latince'ye tercüme edilerek, 1669’da Kiel’de basılmıştır.

 

Abdülmelik eş-Şîrâzî, ayrıca Batlamyus’un "Almagest" adlı eserini de özetlemiştir, ancak bu eser günümüze ulaşmamıştır. Batlamyus’un "Almagest eserine yaptığı bu  özet, Kutbüddîn-i Şîrâzî’nin "Dürretü’t-Tâc" adlı eserine kaynak olmuştur. Orijinal Apollonios'un Kônika eserinin yalnızca yarısı günümüze ulaşabildiğinden, Şîrâzî’nin bu esere dair hazırladığı koni inceleme özeti, bu klasik eserin korunmasına katkı sağlamıştır. Eserin el yazmaları İstanbul’daki çeşitli kütüphanelerde (opkapı Sarayı Müzesi (III. Ahmed, nr. 3463), Süleymaniye (Yenicami, nr. 803; Cârullah Efendi, nr. 1507), Nuruosmaniye (nr. 2972),) ve Leiden ile Oxford’daki koleksiyonlarda bulunmaktadır. Abdülmelik eş-Şîrâzî, antik matematik mirasının İslam dünyasında yaşatılmasına ve Avrupa’ya aktarılmasına önemli katkılar sunmuştur.

John Farey Dizisi

Farey dizileri, adını İngiliz matematikçi John Farey'den alır ve birbirine yakın kesirlerin bir sıralaması olarak tanımlanır. John Farey  (1766-1826), bir jeolog olmasına rağmen matematikle ilgili yaptığı bir gözlem nedeniyle matematik tarihinde önemli bir yere sahip olmuştur. Farey dizisi, ona adını veren bu gözleminden doğmuştur. Farey, Woburn'da yerel bir okulda eğitim aldıktan sonra Halifax'ta matematik, çizim ve haritacılık üzerine eğitim görmüştür. Farey, 1792'de Bedford Dükalığı'nın Woburn arazilerinin yöneticisi olarak atanmış ve bu görevde çalışırken jeolojiye olan ilgisi artmıştır. 1801'de William Smith ile tanışarak stratigrafi bilimi üzerine bilgi edinmiş, bu alanda önemli katkılarda bulunmuştur. Farey, jeolojiye olan katkılarının yanı sıra, bilimsel makaleler yayımlamış ve William Smith'in jeolojik çalışmalarının takdir edilmesi için çaba sarf etmiştir. Farey, 1804'te Philosophical Magazine was On the mensuration of timber "Kereste ölçümü" üzerine yazdığı ilk makalesini, 1824'te ise On the velocity of sound and on the Encke planet "Sesin hızı ve Encke gezegeni" üzerine yazdığı son makalesini yayımlamıştır. Farey'in matematiksel katkısı, 1816 yılında yayımladığı "On a curious property of vulgar fractions" (Sade Kesirlerin Garip Bir Özelliği) başlıklı makalesi ile olmuştur. Bu makalede Farey, ismi ile anılan meşhur dizisini tanıtarak, ardışık kesirlerin özel bir özelliğini keşfetmiştir. Farey dizisi, paydalı 1'e kadar olan kesirler arasındaki sıralamadır ve her bir kesir, yanındaki kesirlerin paylarının toplamı, paydalarının toplamı olarak bulunabilir. Farey, bu özelliği örneklerle açıklamış, ancak modern bir ispat sağlamamıştır. Farey'in keşfi, Fransız matematikçi Cauchy tarafından ispatlanmıştır ve Farey'in bu konuda yaptığı başvuru, diğer bazı çalışmalardan önce olsa da ispat eksikliği nedeniyle matematiksel olarak daha geniş bir kabul görmemiştir. Ayrıca, Farey'den önce, 1802'de Haros adlı bir araştırmacı benzer bir diziyi tanımlamış, ancak Farey'in belirttiği özelliği açıkça göstermemiştir. Farey, matematiksel katkılarının yanı sıra, tarihsel olarak daha çok jeoloji alanındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 6 Haziran 1826 yılında Londra'da ölmüştür. Farey'in jeoloji alanındaki araştırmaları ve haritaları, jeolojik eserlerin bir kısmı, British Museum'a bağışlanmıştır.

 

Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılardan oluşan, belirli bir payda sınırına sahip bir dizidir. Farey dizileri, özellikle rasyonel sayılar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullanılır. Farey dizisinde, 0 ile 1 arasındaki ve paydası en fazla n olan tüm kesirler yer alır.  Farey dizisi F_n, 0 ile 1 arasındaki tüm kesirlerden oluşan, payları a ve paydalı b olan kesirlerin, a.d-b.c=1 bağıntısıyla sıralandığı bir kümedir. Buradaki kısıtlamada paydanın b≤n olmasına dikkat edilirken kesirler büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Farey dizileri, özellikle sayıların büyüklüğü çok arttığında, çok hassas bir yakınsaklık gösterir. Bu kesirler sıralandıkları sıraya göre birbirine yakın olacak şekilde düzenlenir ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin matematiksel özelliklerine uygun şekilde mümkün olan en küçük farklardan biri olur. Farey dizileri, sıklıkla sayı teorisi, analitik geometri ve rasyonel sayılarla yapılan hesaplamalar gibi alanlarda kullanılır.
Bir Farey dizisi, genellikle F_n olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür. Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
Farey dizisi F7​, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir. 
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Buna benzer dizilerin oluşturulması, rasyonel sayılar arasındaki düzenin ne kadar yoğun olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, her iki ardışık kesir arasındaki fark son derece küçüktür. Örneğin, 1/7 ve 1/6 arasındaki fark, oldukça küçüktür. Daha büyük paydalar alındığında farkların daha da küçüldüğü görülecektir. Farey dizisinin her iki ardışık elemanı arasındaki benzer farklar, tüm dizide gözlemlenir. 

Brahmagupta ve Sıfır Sayısı

Brahmagupta (??598–668), yaşadığı tarihler tam olarak bilinmemektedir. 7.yy döneminin en ünlü Hint matematikçilerinden ve astronomlarından biri olduğu tahmin edilmektedir. Matematik ve astronomi alanında yaptığı katkılar, hem Orta Çağ Hindistan’ında hem de sonraki İslam ve Avrupa bilimlerinde etkili olmuştur. Brahmagupta, çoğunlukla günümüz Hindistan’ının Rajasthan bölgesinde yer alan Bhinmal civarında yaşamıştır. Eğitimini geleneksel Sanskritçe kaynaklar üzerinden almış ve edindiği bilgileri hem teorik hem de pratik alanlarda kullanmıştır. Brahmagupta’nın iki temel eseri vardır. Birincisi, 628 yılında yazdığı Brāhmasphuṭasiddhānta’dır. Bu eser matematik ve astronomi üzerine yazılmış teorik bir çalışmadır. Brāhmasphuṭasiddhānta, sıfırın (0) sayısal ve işlemsel kullanımını sistematik olarak ele alan ilk eserlerden biridir. Brahmagupta burada toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde sıfırın kurallarını açıklamış ve negatif sayılarla işlemleri tanımlamıştır. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemleri, geometrik hesaplamalar ve gök cisimlerinin hareketleri gibi konulara değinmiştir. İkinci eseri Khaṇḍakhādyaka ise 665 yılında yazılmıştır ve daha çok astronomi uygulamalarına yöneliktir. Bu eserde Güneş, Ay ve gezegenlerin hareketleri, takvim hesapları ve astronomik tablolar yer almaktadır.

Brahmagupta matematiğe özellikle sıfır ve negatif sayıların kullanımı konusunda önemli katkılar yapmıştır. Sıfırın toplama ve çıkarma işlemlerindeki etkilerini açıklamış, negatif sayıları borç ve pozitif sayıları alacak olarak temsil ederek işlemlerini tanımlamıştır. Ancak sıfır ile sıfırın bölünmesi gibi bazı kavramlarda kesin bir çözüm sunmamıştır. Bunun yanı sıra ikinci dereceden denklemlerin çözümü, cebirsel formüller ve bazı geometri problemleri de eserlerinde yer almaktadır.

Astronomide ise Brahmagupta, Dünya’nın ve gezegenlerin hareketleri üzerine hesaplamalar yapmış, Güneş ve Ay tutulmalarının zamanlarını belirleme yöntemlerini geliştirmiştir. Astronomik tablolar ve gözlemler için pratik hesaplama yöntemleri sunmuştur.

Brahmagupta’nın çalışmaları, sonraki yüzyıllarda İslam dünyasında El-Harezmi ve diğer matematikçilere, oradan da Avrupa’ya geçerek modern matematiğin temellerine katkıda bulunmuştur. Sıfırın matematikte sistematik kullanımını ve negatif sayıların işlemlerini tanımlaması, onun en önemli miraslarından biri olarak kabul edilmektedir.

Hüseyin Tevfik Paşa, Lineer Cebir (Algebra)

19. yy.da Osmanlılarda batılılaşma kapsamında görülen bilimsel faaliyetler, Avrupa’da yazılan kitaplardan çeviriler yapmaktan ileri gidemiyordu. Böyle bir ortam içerisinde Hüseyin Tevfik Paşa, matematiğin en yeni alanlarında önemli çalışmalar yaparak bunu İngilizce bir kitap halinde 1882’de İstanbul’da yayımlamış, yüzyıllar boyunca matematiğin temel bilgilerinden yoksun olan Osmanlı toplumu içerisinde orijinal çalışmalar yapan ve yayınlayan ilk bilim adamı olma şerefini kazanmıştır. II. Abdülhamit devrinde Osmanlı toplumu içerisinde büyük itibar gören Hüseyin Tevfik Paşa, Mühendishane Nazırlığı, Maliye, Ticaret, Nafia Nazırlıklarında bulunarak Mareşallik rütbesine yükseltilmiştir. 

Prof. Dr. A. M. Celal Şengör’ün Almanya’da eski kitaplar listesinde Tevfik Paşa’nın adını görerek aldığı “Linear Algebra”nın 1892 tarihli genişletilmiş ikinci baskısını İTÜ’ye getirmesi üzerine, bu önemli bilim adamının hayatı hakkında bilgi toplanmaya başlanmıştır. Araştırmalar sonucu kitabın 1. Baskısından Türkiye’de yalnız bir adet, 2. Baskısından ise iki adet bulunabildiğinden, Linear Algebra’nın tıpkı basımının yapılmasına karar verilmiş; Prof. Dr. Kazım Çeçen tarafından hazırlanan Hüseyin Tevfik Paşa ve “Linear Algebra” isimli kitap, 1988 yılında İTÜ Bilim ve Teknoloji Tarihi Araştırma Merkezi tarafından yayımlanmıştır. 

Kitabın birinci bölümü Hüseyin Tevfik Paşa’nın hayatı ve eserleri, ikinci bölüm ise Linear Algebra’nın basımı ve bilimsel değerlendirmesine ayrılmıştır. Linear Algebra adlı kitabın bilimsel yönden değerlendirilmesi, bu alandaki en büyük otorite olan Ord. Prof. Dr. Cahit Arf tarafından yapılmıştır. 

Hüseyin Tevfik Paşa’nın bu önemli eserini, matematikle uğraşanlardan ziyade, bilim tarihi yapanların incelemelerine sunmak ve tamamen yok olmasını önlemek üzere hazırlanmış olan Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabının zaman içerisinde tükenmesi üzerine, İTÜ Rektörlüğü, “2019 Prof. Dr. Fuat Sezgin Yılı” kapsamında kitabın yeniden basımına karar vermiştir. İTÜ Vakfı olarak ikinci baskısını yaptığımız Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabı, ülkemizin bilim tarihinde ve İTÜ tarihinde önemli yerleri olan iki bilim insanı Hüseyin Tevfik Paşa ile Prof. Dr. Kazım Çeçen’in değerli hatırasına ithaf edilmiştir.

Yazar Prof. Dr. Kâzım Çeçen 

Yayınevi:İTÜ Vakfı Yayınları

Yayın Tarihi : 2019 

Sayfa Sayısı : 188 ISBN NO : 978-975-7463-63-4 

https://www.ituyayinlari.com.tr/kitap/560/huseyin-tevfik-pasa-linear-algebra

Karl Theodor Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), 31 Ekim 1815’te Almanya’nın Pruşya bölgesindeki Ostenfelde kasabasında doğmuştur. Babası bir devlet memurudur. Weierstrass genç yaşta matematiğe büyük bir ilgi duymuş, ancak ailesinin isteğiyle hukuk eğitimi almak üzere Bonn Üniversitesi’ne gitmiştir. Üniversitede hukuk okurken matematik tutkusundan vazgeçmemiş, gizlice matematik çalışmaya devam etmiştir. Daha sonra öğretmen olmak için eğitimine yönelmiş ve uzun yıllar boyunca ortaokul-lise düzeyinde matematik öğretmeni olarak görev yapmıştır. Bu dönemde, kendi araştırmalarını da sürdürmüştür. Weierstrass, profesyonel matematikçi olarak kariyerine 40 yaşına yakın bir yaşta başlamıştır.

Weierstrass, matematikte modern analizin kurucularından biri olarak kabul edilir. Ondan önce limit, süreklilik ve türev gibi kavramlar daha çok sezgiye dayalı biçimde açıklanıyordu. Weierstrass bu kavramları kesin ve mantıksal temellere oturtarak modern analizin temel taşlarını oluşturmuştur. Weierstrass’ın en önemli katkılarından biri, limitin epsilon-delta tanımıdır. Bu tanım, “bir fonksiyonun limiti vardır” ifadesini tamamen kesin bir biçimde açıklamayı mümkün kılmıştır. Bugün tüm kalkülüs ve analiz kitaplarında kullanılan bu yöntem, matematiksel analizin en temel araçlarından biridir.

 

Süreklilik ve türev kavramlarını da limit temeline dayandırarak yeniden tanımlamıştır. Ona göre bir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktadaki limit değeri; fonksiyonun o noktadaki görüntü değerine eşittir. Ayrıca türevi de limit kavramı üzerinden tanımlayarak fonksiyonların davranışlarını anlamak için sağlam bir teorik zemin oluşturmuştur. 

Weierstrass Limit Tanımı: Herhangi bir ε (epsilon) pozitif Reel sayısı için, buna karşılık gelen bir δ (delta) pozitif Reel sayı mutlaka vardır; öyle ki, eğer 0 < |x - a| < δ ise, o zaman |f(x) - L| < ε olur. Yani, x değeri a noktasına δ kadar yaklaştığında, f(x) değeri de L noktasına ε kadar yaklaşır. Bu, Weierstrass’ın limit kavramını kesin ve ölçülebilir biçimde tanımladığı ifadedir. 

Weierstrass, “her noktada sürekli olan ancak hiçbir noktada türevlenemeyen bir fonksiyon” örneği geliştirmiştir. Weierstrass’ın 1872 yılında matematikçilerin kalkülüs hakkında bildiklerini sandıkları her şeyi sarsacak kendi adıyla tanınan fonksiyonu yayımlamıştır. Bu fonksiyon, özellikle Fransız matematik ekolünün önde gelen isimleri tarafından kayıtsızlık ve öfke ile karşılanmıştır. Henri Poincaré, Weierstrass’ın bu fonksiyonunu “sağduyuya bir hakaret” olarak nitelendirmiş; Charles Hermite ise onu “acımasız bir kötülük” olarak nitelemiştir. Bugün “Weierstrass fonksiyonu” olarak bilinen bu fonksiyon, o dönemin matematik anlayışını derinden sarsmıştır. Bu örnek, süreklilik ile türevlenebilirliğin birbirinden tamamen farklı kavramlar olduğunu göstermiştir. Sonsuz sayıda dalga benzeri "kosinüs" fonksiyonunu bir araya getirerek bu fonksiyonu oluşturmuştur.  Ne kadar çok terim fonksiyona eklenirse, fonksiyon o kadar zikzak çizmiştir. Her noktada aniden yön değiştirerek sonsuza kadar devam eden tırtıklı bir testere dişi tarağı gibi bir görünüm vermiştir. Weierstrass fonksiyonu,  hiçbir süreksizliği olmamasına rağmen, asla türevlenebilir olmayacak bir fonksiyon olarak şüpheye yer bırakmayacak şekilde kanıtlanmıştır.

Weierstrass, güç serileri ve yakınsaklık (konverjans) üzerine de önemli çalışmalar yapmıştır. Güç serilerinin yakınsaklık özelliklerini sistematik biçimde incelemiş ve bu konuda birçok temel teorem geliştirmiştir. Bu çalışmalar, fonksiyonların davranışını anlamada büyük rol oynamıştır. Weierstrass’ın bilimsel üretkenliği oldukça yüksek olmuştur. Zamanında birçok makale kaleme almış ve eserlerinin önemli bir kısmı ölümünden sonra öğrencileri tarafından yayımlanmıştır. Başlıca eserleri arasında “Zur Theorie der Abel’schen Functionen” (Abel fonksiyonları teorisi üzerine, 1854), “Theorie der Potenzreihen” (Güç serileri teorisi) ve “Vorlesungen über die Theorie der Funktionen” (Fonksiyon teorisi üzerine dersler) yer alır.

1856 yılında Berlin’deki Krallık Politeknik Okulu’nda matematik öğretmeni olarak başladığı kariyeri, 1864’te ise Berlin Üniversitesi’nde profesörlüğe kadar yükselmiştir. Öğrencileri arasında Sofya Kovalevskaya, Georg Cantor ve Felix Klein gibi dönemin önde gelen matematikçileri bulunur. Derslerinde, matematikte kesinlik ve mantıksal düşünme ilkesini ön planda tutarak modern matematik anlayışının gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Matematikte sezgiye dayalı biçimlere karşı net ve kesin tanımlar geliştirmiştir; özellikle süreklilik, limit ve yakınsaklık konularında tanımları popülerdir.

Karl Weierstrass, 19 Şubat 1897’de Berlin’de zatürreden ölmüştür. Arkasında, matematiğin en mantıksal ve en sağlam temeller üzerine kurulu dallarından biri olan modern analizin kalıcı mirasını bırakmıştır.

Bolzano–Weierstrass Teoremi, Weierstrass–Erdmann Koşulu, Weierstrass M Testi, Weierstrass–Casorati Teoremi, Stone–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Eliptik Fonksiyonları, Weierstrass Fonksiyonları, Weierstrass Preparation Teoremi, Lindemann–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Factorization Theorem, Weierstrass–Enneper Parametrizasyonu, Sokhotski–Plemelj Teoremi önemli bazı matematik çalışmalarıdır. 

Weierstrass'ın hayatı, bilimsel merak ve azmin bir örneğidir. Ailesinin beklentilerine karşı durarak, kendi ilgisini ve tutkusunu takip etmiş ve bu sayede matematiksel analiz alanına kalıcı katkılarda bulunmuştur. Onun hikayesi, bilimsel kariyerin sadece akademik başarılarla değil, aynı zamanda bireysel tutku ve kararlılıkla şekillendiğinin bir göstergesidir.

 

Kaynakça: Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz, “Analizin Babası Karl Weierstrass,” Bilim ve Teknik, Ağustos 2017.

Leonardo Pisano Fibonacci

Leonardo Pisano Fibonacci yaklaşık 1170 yılında İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş bir matematikçidir. Avrupa’da Pisalı Leonardo ya da Leonardo Bonacci olarak da tanınır. Babası Guglielmo Bonacci adlı bir tüccardır. Küçük yaşlarda annesini kaybetmiş babası ile beraber ticari seyehatlere çıkmıştır. Fibonacci, küçük yaşta Kuzey Afrika’da bulunmuş ve burada Hint-Arap sayı sistemiyle tanışmıştır. Yaşamı boyunca Akdeniz çevresindeki birçok ticari merkeze gitmiş, farklı hesap yöntemleri öğrenmiştir. Ölüm tarihi kesin olmamakla birlikte yaklaşık 1240-1250 yılları arasında Pisa’da öldüğü tahmin edilir. 

Fibonacci’nin en ünlü eseri 1202 yılında yayımlanan Liber Abaci adlı kitaptır. Bu kitap, Avrupa’da Hint-Arap rakam sisteminin (0 ile 9 arası rakamların oluşturduğu sembolik sayı sistemi) yayılmasına büyük katkı sağlamıştır. Kitapta Roma rakamlarının yerine geçebilecek yeni sistem, ticaret, muhasebe ve para birimi dönüşümleri gibi konularda kullanılmıştır. Ayrıca bu kitapta yer alan teorik bir tavşan problemi ile bilinen "Fibonacci dizisi" tanıtılmıştır. Bu dizi genellikle 0 veya 1 ile başlar ve sonrasındaki her sayı, kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde devam eder.  ve şu şekilde devam eder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Bu dizinin ardışık terimlerinin oranı giderek altın oran olarak bilinen yaklaşık bir sabite φ=1,61803.. değerine yaklaşır.

Liber Abaci, Leonardo'nun "dokuz Hint rakamı"nı tanıttığı bölümle başlar: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Bu rakamlar, günümüzde kullandığımız rakamlarla büyük benzerlik gösterir. Leonardo, bu rakamları kullanarak daha büyük sayıları temsil etmenin yollarını gösterir. Eserde ayrıca Roma rakamlarını Hint-Arap rakamlarına dönüştüren bir diyagram da bulunmaktadır. Makale, Leonardo'nun eserin başında yer alan otobiyografik bir metni de sunmaktadır. Bu metinde, babasının kamu görevlisi olarak görev yaptığı Bugia'da (günümüz Cezayir'inde) geçirdiği yıllarda Hint-Arap sayı sistemini öğrendiğini ve bu bilgiyi İtalya'ya taşıyarak halkına öğretmek için Liber Abaci'yi yazdığını belirtmektedir.

Fibonacci, ayrıca arazi ölçümleri, alan ve hacim hesapları, karelerle ilgili denklemler gibi konularda da çalışmalar yapmıştır. Sayılarla işlem yapılmasını kolaylaştıran Hint-Arap sisteminin Avrupa’ya tanıtılması sayesinde ticaret, muhasebe ve bilimsel hesaplamalar gelişmiştir. Fibonacci dizisi ve altın oran günümüzde matematik, doğa bilimleri, mimari ve sanat gibi pek çok alanda önemli yer tutmaktadır.

Kaynakça: 

Grimm, Richard E. The Autobiography of Leonardo Pisano. The Fibonacci Quarterly 11[1973](1):99-10.

Sigler, Laurence E. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer, 2002.

Meryem Mirzakhani

İranlı kadın matematikçi Meryem Mirzakhani'nin vefatı bu alanda çalışma yapanları derinden etkiledi. Daha yakın zamanlarda Fields madalyasını alan ilk kadın matematikçi diye haberi yapılan Meryem Mirzakhani, kısa hayatının ardından dünyaya veda etmiştir. (Bkz. Fields Madalyası ve Meryem Mirzakhani) Mirzakhani, yaşamında matematiğin anlamı hakikaten bir film senaryosuna konu olacak cinsten anlamlıydı. Matematik çalışmaları ile bu dünyada manadar bir yer edinmeye çalışan Mirzakhani, bilim dünyasında yeterince tanınmış mıydı bilemiyoruz. Kadın olması hasebiyle belki de medyada ilgi gören biriydi Mirzakhani. Belki de İranlı olması Doğudan bir bilim insanı çıkmış olması Batı insanlarını bu kadar heyecanlandırmıştır. Daha önce de Mirzakhani'nin hayatı ve aldığı ödül ile ilgili bir yazıyı blogda paylaşmıştık. İlginin sebebinin şimdilik bilmiyoruz. Biz Meryem Mirzakhani'nin matematiksel yönü üzerinde düşünüp konu ile ilgili yazılmış bir köşe yazısına bakalım. Biz öğretmenlerin de bu biyografi üzerinde düşünüp, matematik ilgisi zayıf öğrencilerimize küçük anlamlı bir dokunuşla nasıl büyük dehalar ortaya çıkarabileceğimizi ve bilim dünyasına nasıl katkılar sunabileceğimizi farketmemiz yerinde olacaktır. 

"Üniversitede 151 ve 152 kodları ile okutulan matematik dersinin kitabı ‘calculus’ benim için bir kâbustu ama matematikçilere duyduğum hayranlığın da en büyük kaynağıydı. Bu yüzden matematikçilerin yaşam öykülerini okumaya bayılırım. Bu konudaki filmleri tekrar tekrar izlerim. ‘Oyun Teorisi’ ile ekonomi alanında Nobel Ödülü alan ünlü matematikçi John Nash’in hayatını anlatan ‘Beautiful Mind’ filmi mesela. Bir insan beyninin taşıdığı dehaya oynadığı oyunlar ile o dehanın verdiği mücadeleyi muhteşem yansıtıyordu. 2. Dünya Savaşı sırasında İngiltere’de Bletchley Park’ta Alman haberleşme kodlarını çözen matematikçileri anlatan ‘Enigma’ filmi de favorimdir. Bir de ‘Imitation Game: Enigma’ filmi... Bletchley Park’taki matematikçilerden Alan Turing’in yaşamına odaklanıyor. Benim favorilerimden biri Hindistan’da yoksul bir çocukken keşfedilen ve dünyanın sayılı matematikçilerinden biri haline gelen Srinivasa Ramanujan’ı anlatan 2015 yapımı ‘The Man Knows Everything About Infinity’ filmi. Türkiye’de ‘Sonsuzluk Teorisi’ olarak gösterilmişti. Öyle görünüyor ki yakında bu matematikçi biyografisi filmlerine yeni biri eklenecek: Meryem Mirzakhani

"15 Temmuz gündemi içinde bazı gazetelerde bir sütuna 10 santim haber oldu Meryem Mirzahani. Ne yazık ki 40 yaşında göğüs kanserine yenik düşerek öldüğü haberiydi bu... En son ABD’deki ünlü Stanford Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yapıyordu. Yaşam öyküsünü Quanta Magazine adlı bilim dergisinde okudum. İran’da 1977’de doğmuş, ilkokulu, ortaokulu ve liseyi, hatta üniversiteyi İran’da okumuş. İlkokuldan sonra gittiği ‘üstün yetenekliler okulu’nun ilk yılında matematik öğretmeninin motivasyonunu kıran tepkileri nedeniyle matematikten uzaklaşmış. Okumaya ve yazmaya yönelmiş. Okulun ilk haftasında tanıştığı ve yaşamı boyunca arkadaş olduğu (halihazırda St. Luis’teki Washington Üniversitesi’nde matematik profesörü olan) Roya Beheshti ile bütün boş vakitlerini kitapçılarda geçirmiş. Bulduğu, satın alabildiği her kitabı okumuş. Bir sonraki yıl matematik öğretmeni değişmiş ve yeni öğretmeni Mirzahani’yi teşvik etmiş. 1’den 100’e kadar olan ardışık sayıların pratik bir şekilde toplanmasını sağlayan ünlü Gauss kuralı da Meryem’in matematiğe bakışını değiştirmiş. Geometri ile yatıp kalkmaya, değişik yüzeylerin alanlarını hesaplamaya, teorileri ispatlamaya çalışmış. 1994’te arkadaşı Roya ile birlikte okul müdürünün kapısına dayanmış, “Biz Uluslararası Matematik Olimpiyatları’na (UMO) katılmak istiyoruz” demiş. Meryem’in bir söyleşisinde “Çok sağlam duruşlu biriydi” diye anlattığı okul müdürü başta tereddüt etmiş ama sonunda “Neden olmasın” diyerek iki öğrenci için UMO’ya başvurmuş. Meryem, 1994’te katıldığı olimpiyatlarda 6 testten 5’inden tam puan almış ve 41 puanla altın madalyayı hak etmiş. O yıl arkadaşı Roya ise 35 puan toplayarak gümüş madalyayı almış. Meryem bu başarısından sonra matematikle daha çok haşır neşir olmuş ve 1995 UMO’da testlerin tamamını hatasız yaparak 42 puan toplamış ve yine altın madalyayı İran’a götürmüştü.

Üniversite sonrasında birçok dâhi gibi ABD’ye gitmiş Meryem. Harvard, Princeton ve Stanford’da çalışmış. Ancak hayatını değiştiren, tarihe geçmesini sağlayan olay 2014’te yaşanmış. O tarihte 37 yaşında olan Meryem, dört yılda bir toplanan Uluslararası Matematikçiler Birliği’nin ‘Fields Madalyası’ ile ödüllendirilmiş. 40 yaş altındaki matematikçilere verilen ödülü alan 54’üncü bilim insanı olan Meryem, daha önceki 53 kişinin aksine bu ödülü alan ilk kadın olmuş. Bu ödülü kazanmasına neden olan çalışmaları anlatmaya benim zekâm ve donanımım yetmez. Eminim ilgilenenler internet ortamında çok daha ayrıntılı makaleler bulabilir. Ancak şunu söyleyebilirim; doğru eğitim ve motivasyon sadece çocukların değil, toplumların geleceklerini şekillendirir. Bazen küçük bir dokunuş, kritik bir karar çok şeyi değiştirir. Tıpkı, okul müdürünün verdiği o kritik karar gibi.  

Deniz Zeyrek-17/07/2017

http://hurriyet.com.tr/yazarlar/deniz-zeyrek/cok-ders-cikarilacak-bir-deha-hikayesi-40522168

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan 1887 yılında Güney Hindistan’daki bir küçük kentte, pek varlıklı olmayan bir ailenin çocuğu olarak doğdu. Okul arkadaşları ile aynı şekilde matematik öğrenerek büyüdü, ancak kısa sürede onun bu alanda arkadaşlarından çok önde olduğu ortaya çıktı. Hatta matematiği çok sevdiğinden dolayı, diğer derslerine gereğinden az zaman ayırınca, derslerinde başarısız olunca yüksek eğitim şansını da kaybetti.

 

25 yaşına geldiğinde, Madras’ta evli ve düşük ücretle çalışan bir katipti. O zaman bile matematikle uğraşmaktan vazgeçmemişti. Defterleri yazdığı çok çeşitli denklemlerle dolu idi. Bu denklemler arasında pi sayısının yaklaşık çözümünü bulmakla ilgili olanlarda vardı. Ama kanıt göstermeye, yöntemlerini göstermeye gelince ortaya fazla bir şey çıkamıyordu. Hesaplıyor, teoriler üretiyordu ama bunları paylaşabileceği kimsede yoktu etrafında, kendi sayılar dünyasında yapayalnızdı.

Oktay Sinanoğlu

Oktay Sinanoğlu, 25 Şubat 1935 tarihinde İtalya’nın Bari şehrinde doğmuş, Türk kimya mühendisi, moleküler biyofizikçi, akademisyen ve bilim insanıdır. Babası Nüzhet Haşim Sinanoğlu’nun başkonsolos olarak görev yaptığı bu dönemde doğan Sinanoğlu, II. Dünya Savaşı’nın başlamasının ardından 1939 yılında ailesiyle birlikte Türkiye’ye dönmüştür. Eğitim hayatına Türkiye’de başlayan Sinanoğlu, 1953 yılında TED Ankara Yenişehir Lisesi’nden birincilikle mezun olmuştur. Aynı yıl Amerika Birleşik Devletleri’ne giderek Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley’de kimya mühendisliği eğitimini tamamlamış ve 1957’de Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde yüksek lisans derecesini almıştır. Yüksek lisans eğitimi sırasında "Sloan Ödülü"nü kazanmıştır. 1959-1960 yıllarında Berkeley’de teorik kimya alanında doktorasını tamamlayan Sinanoğlu’nun doktora danışmanı Kenneth Pitzer olmuştur. Berkeley'de 1959'da "Kuramsal Kimya" üzerine doktora yapan Sinanoğlu, iki yılda tamamladığı doktorası süresince ABD Atom Enerjisi Merkezi'nde araştırmalarda bulunmuştur.

 

1960 yılında Yale Üniversitesi’nde öğretim üyesi olarak akademik kariyerine başlayan Sinanoğlu, 1 Temmuz 1963 tarihinde kimya alanında 26 yaşında tam profesörlük unvanını alarak, Yale Üniversitesi tarihinin en genç tam profesörü olmuştur. Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ) mütevelli heyeti 1962'de, yalnızca Oktay Sinanoğlu'na mahsus olmak üzere "Danışman Profesör" ünvanını vermiştir. Sinanoğlu, 2 yıl sonra, 1963'te "dünyanın en genç profesörü" ünvanını kazandı ve New York Times gazetesinde "28 yaşında Yale'in en genç kimyacısı" haberiyle adından söz ettirmiştir. 1964 yılında Yale Üniversitesi’nde teorik kimya bölümünü kurmuş ve burada atom ve moleküllerin çok-elektron teorisi, çözgeniter teorisi, kimyasal tepkime mekanizmaları teorisi, mikrotermodinamik ve değerlik kabuğu etkileşim teorisi üzerine önemli çalışmalar gerçekleştirmiştir. 

Büyük Matematikçi Ömer Hayyam

ÖMER HAYYAM (Ebul Feth Ömer bin İbrahim; Ömer Hayyam da denir), İranlı şair ve bilgin (Nişapur 1044.ay.y 1123/1136). Hayatı, gençlik yılları kesinlikle bilinmiyor. Elde bulunan eserlerinden, hayatıyla ilgili olayları anlatan bazı kitaplardan, mantık, felsefe, matematik ve astronomi konularında çalıştığı, bu alanlarda düzenli bir öğrenim gördüğü anlaşılmaktadır. Hayyam (”Çadırcı”) takma adını, atalarının çadırcılık yapmaları yüzünden aldığı söylenir. Ömer Hayyam, zamanında daha çok bilgin olarak ün kazandı. İran’ın, Selçuklular yönetiminde olduğu bir çağda yetişen Hayyam, Horasan ülkesindeki büyük şehirleri, Belh, Buhara ve Merv gibi bilim merkezlerini gezdi, birara Bağdat’a da gitti. Zamanının hükümdarlarından, özellikle selçuklu sultanı Melikşak ve Karahanlılardan Şemsülmülk’ten büyük yakınlık gördü. Saraylarında, meclislerinde bulundu. Reşidüddin’in “Cami-üt-Tevarih” adlı eserinde anlattığına göre Nizamülmülk ve Hasan Sabbah, Ömer Hayyam ile okul arkadaşıydılar. Gerek Hayyam’ın zamanında, gerek sonraki çağlarda yazılan kaynaklarda, çağının bütün bilgilerini edindiği, o alanlarda derin tartışmalara girdiği, medresede fıkıh, ilahiyat, kıraat, edebiyat, tarih, fizik ve astronomi dersleri verdiği, astronomi ve matematik çalışmaları yaptığı yazılıdır. Güneş yılını esas alan, Melikşah döneminde hazırlanan, Celali takvimlerinin oluşturulmasında heyet çalışmalarında bulunmuştur.

Pi Sayısı ve Tarihçesi

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, Pi örneğin irrasyoneldir, ancak bir polinomunun köküdür. 

Matematik Fields Madalyası (Meryem Mirzakhani)

"Fields Madalyası’nı alan ilk kadın matematikçi, İranlı Maryam Mirzakhani’nin yaşamını, hiperbolik geometri çalışmalarını ve ödülün tarihini araştırdık.Matematiğin “Nobel”i olarak bilinen Fields Ödülü, matematik alanında sıra dışı çalışmalar yapan ve matematiğin geleceği hakkında söz sahibi olacağı düşünülen bilim insanlarına her dört yılda bir verilen bir ödül.

Ödülün hikayesi

Fields Madalyası’nın ön yüzünde Arşimet’in siması ve Arşimet’in sözü “Kendi ayaklarının üzerinde dur ve dünyayı yakala!" bulunuyor. Arka yüzünde ise "Tüm dünyadan gelip burada toplanan matematikçiler mükemmel çalışmaları takdir ediyorlar" yazıyor.
Fields Madalyası Komitesi, IMC yönetim kurulu tarafından belirleniyor. Ödül komitesinin başkanı dışındaki bileşimi ödül töreninin yapılacağı tarihe kadar gizli tutuluyor.
Aslında Fields için "matematiğin Nobel'i" tariflemesini birçok matematikçi beğenmiyor. Nobel ödül başlıkları arasında matematiğin neden yer almadığıysa başlı başına bir tartışma. Söylentiye göre gerçek sebep, Nobel ödüllerini başlatan Alfred Nobel'le İsviçreli matematikçi Mittag-Leffler arasındaki kişisel husumetmiş.

 

Uluslararası Matematikçiler Kongresi 1897 yılında ilk kez Zürih’te düzenlendi ve I.Dünya savaşı nedeniyle ara verilene kadar devam etti. Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nin devam ettirilmesi niyetiyle 1923 yılında Uluslararası Matematikçiler Birliği (IMC) kuruldu. 1924 yılında Almanların dışarıda bırakılıp bırakılmaması tartışmalarıyla birlikte Toronto’da düzenlenen kongrenin sekreterliğini Kanadalı matematikçi John Charles Fields yaptı. Bu kongrede alanında sıra dışı çalışmalar yapan iki matematikçinin altın madalya ile ödüllendirilmesi kararı alındı. Bu ödülün verilmesi için fon kurulması sağlayan ve bu fona bağış yapan J.C.Fields onuruna ödülün ismi de Fields Madalyası oldu.

Matematik alanında yaşanan büyük sıçramalar nedeniyle 1966 yılında ödül verilebilecek kişi sayısı 4’e kadar çıkarıldı. Ödülün koşulları arasında, matematiğe yapılan istisnai katkının yanısıra, adayların 40 yaşını doldurmamış olması da var.

Hangi ülkeler matematikte öne çıkıyor?

Şu ana kadar toplam 58 matematikçi bu ödüle layık görüldü. Bunlar arasında en genci 27 yaşındaki Jean Pierre Serre’di. Eward Witten ise ödülü alan ilk matematiksel fizikçi olmuştu.

En fazla Fields madalyası alan ülke 12 madalyayla ABD. İkinci ülke ise 9 madalya ile SSCB – ancak bu matematikçilerin çoğu SSCB’de okuduktan veya doktora yaptıktan sonra, ülkeyi terketmişler. ABD ve Sovyetler’i Fransa ve İngiltere takip ediyor.

Fields Madalyası bu yıl Brezilyalı Artur Avila (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada), Kanadalı ve ABD’li Manjul Bahrgava (Princeton Üniversitesi), Avusturyalı Martin Hairer (Warwick Üniversitesi) ve İranlı Maryam Mirzakhani’ye verildi.

Ödül ile ilgili olarak en dikkat çeken nokta şüphesiz bu ödülü ilk kez bir kadın matematikçinin, Maryam Mirzakhani’nin almasıydı. 37 yaşındaki Mirzakhani, ödülü alan ilk kadın olmasının yanında, ilk İranlı matematikçi de oldu. Avila ve Hairer de ödülü alan sırasıyla ilk Brezilyalı ve Avusturyalı matematikçiler.

Tahran’da yetişen yetenek: Maryam Mirzakhani

Tahran’da doğup büyüyen Mirzakhani, okuduğu okulun kitapçıların yoğun olduğu sokağa yakın olması nedeniyle ebebiyata merak saldığını, eline ne geçerse okuduğunu ve yazar olmak istediğini söylüyor. Ortaokulu bitirdiği yılların İran-Irak savaşının (1980-88) bittiği yıllara denk geldiği için kendini şanslı görüyor: “10 yıl önce doğmuş olsaydım o dönem sahip olduğum fırsatları bulamazdım”. Nitekim 1987’de İran, sıradışı yetenekli çocuklara dönük bir okul projesi (NODET) başlatıyor ve Mirzakhani de bu liselerde eğitim görüyor.

 

Mirzakhani, matematiğe ilgisinin gelişmesinde onun bilimle uğraşmasını isteyen ağabeyinin katkısını vurguluyor. Bir gün ağabeyi 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamının Gauss tarafından nasıl hesaplandığını anlatıyor. Bu olay Mirzakhani’yi çok etkiliyor: "İlk kez, çözümü kendim bulamamış olsam bile, güzel bir çözümden zevk almıştım.”

Matematiğe ilgisi yoğunlaşan Mirzakhani 1994’te Hong-Kong, 1995’te Toronto’da düzenlenen Uluslararsı Matematik Olimpiyatlarında kazadığı altın madalyalar ile tanınan zeki bir genç oldu.

Mirzakhani, lise eğitimini NODET’te tamamladıktan sonra matematik lisansını Tahran’da bir kamu üniversitesi olan Şerif Teknoloji Üniversitesi’nden, doktorasını ise 2004 yılında kendisi de Fields madalyası sahibi Curtis McMullin danışmanlığında Harvard Üniversitesi’nden aldı. Şu anda Stanford Üniversitesi’nde profesör olarak çalışıyor.

Riemann yüzeyleri: simit ve kupanın ortak yanları

Mirzakhani, geometri ve dinamik sistemler alanında çok önemli katkılar yaptı. Riemann yüzeyleri ve onların modüli uzayları hakkında çalışmaları hiperbolik geometri, topoloji, dinamik sistemler, kompleks analiz gibi matematiğin farklı disiplinleri arasında bir köprü işlevi görmektedir.

Riemann yüzeyleri adını 19.yy’da soyut yüzeylerin önemini anlamaya çalışan Bernard Reimann’dan almıştır. Yüzeyler sahip oldukları delik (genus) sayısı ile topolojik olarak sınıflandırılabilirler. Örneğin küre genus 0, simit genus’ı 1 olan bir yüzeydir. Burada topolojik olarak sınıflandırmadan kastedilen kahve kupası ile simit’in aynı şeyi ifade etmesidir. İkisi de genus’ı 1 olan topolojik nesnelerdir.

Bir yüzey üzerinde geometrik bir yapı ile tariflenirse Riemann yüzeyi adını alır. Bu yapı kompleks bir yapı olabilir. Bunun anlamı soyut yüzeyler üzerinde kompleks analiz metotlarının uygulanabilir olmasıdır. Her kompleks eğrinin cebirsel bir eğri olması, yani belirli sayıda polinomun sıfırları olarak ifade edilebilir olması, Reimann yüzeyleri ile cebirsel geometri arasındaki ilişkinin varlığını oluşturmaktadır. Yani Riemann yüzeyleri, üzerinde kompleks analiz yapılan analitik nesneler olmanın yanında, polinomlar tarafından verilen cebirsel bir ifadeye de sahiptir.

Riemann yüzeylerini tanımlamanın bir alternatif yolu da uzunluk, açı, alan hesaplamaları yapabileceğimiz hiperbolik geometrinin tariflenmesidir. Hiperbolik geometri öklidyen geometriden farklıdır. Öklid geometrisinde bir doğruya kendi üzerinde olmayan bir noktadan ancak bir tane paralel doğru çizilebilir. Hiperbolik geometrideyse, verilen bir doğruya paralel ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen birden fazla doğru olabilir. Hiperbolik geometrinin öncülüğünü Bolyai, Lobatchevski ve Gauss yapmıştır. Riemann yüzeylerinin zenginliğinin temeli üzerindeki kompleks-cebirsel yapı ile hiperbolik yapının denk olmasıdır.

Mirzakhani’nin ilk dönemki çalışmaları Riemann yüzeyleri üzerindeki kapalı, uzunlukları deformasyonla değişmeyen eğriler (İng. “closed geodesic”) konusunda olmuştur. Riemann yüzeyleri üzerinde uzunluğu belirli bir L sayısının altında olan jeodeziklerin (İng. “geodesic”) sayısı “jeodeziklerin asal sayısı teoremi”yle ifade edilmiştir. Çok büyük L’ler için bu sayı asimptotik olarak exp(L)/L olarak verilmiştir.

Mirzakhani bu kapalı eğrilerin basit, kendilerini hiç kesmeyen tipleri için asal sayı teoremine odaklandı ve bu durumun basit kapalı eğriler için farklı olduğunu gösterdi. Basit kapalı eğriler durumunda bu sayı üstel olarak olarak artmamakta, tam olarak L’nin 6g-6’ncı kuvveti ile verilmektedir. Buradaki g sayısı Riemann yüzeyinin genusudur. 6g-6 sayısı bu formülde gizemli bir ifade gibi durmaktadır. Aslında bu sayı Riemann yüzeylerinin modüli uzaylarının boyutunu vermektedir. Bu durum genel olarak modüli uzayın geometrik yapısında dair çok fazla bilgi sunmamakla birlikte Mirzakhani ve McShane’nin çalışmaları modüli uzaylar üzerinde hacim hesaplamaları ile basit kapalı eğrilerin sayısı hakkında ilişkinin varlığını ortaya çıkardı.

Mirzakhani: karmaşık uzayların fatihi

Mirzakhani’nin bakış açısı, sicim teorisinin öncülerinden ve Fieldslı Edward Witten’in, eğrilerin modüli uzayları üzerindeki kesişme sayıları üzerine ortaya attığı Witten sanısının yeni ve beklenmedik bir ispatının verilmesini sağladı. Yine Fields sahibi Kontsevich 1992 yılında Witten sanısını ispatlamıştı, ancak Mirzakhani, modüli uzaylar üzerindeki bu sanıyla Riemann yüzeyleri üzerindeki basit kapalı jeodeziklerin sayılması arasında bir ilişkinin varlığını gösterdi.

 

Son yıllarda Mirzakhani modüli uzayların diğer geometrik özellikleri üzerine çalışmalarını yoğunlaştırdı. Modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemleri (zamana bağlı olarak gelişen-değişen sistemler) çalıştı ve Fields Madalyası sahibi William Thurston tarafından ortaya atılan deprem akışı (İng. “earthquake flow”) sisteminin “kaotik” olduğunu ispatladı.

Mirzakhani ayrıca Alex Eskin ve Amir Mohammadi ile birlikte modüli uzaylar üzerindeki başka dinamik sistemleri de çalıştı. Kapalı olmayan (İng. “non-closed”) jeodeziklerin modüli uzaylar üzerindeki davranışları son derece düzensiz ve bunların yapıları hakkında bilgi edinmek zor. Buna karşın Mirzakhani, kompleks jeodeziklerin ve onların cebirsel kapanışlarının düzensiz veya fraktal olmak yerine düzenli olduklarını ispatladı. Yani kompleks jeodeziklerin analiz diferensiyel geometri açısından transendental özelliğe sahip olmalarına karşın kapanışlarının cebirsel yani polinomlar yardımıyla tarifelenebilir oldukları anlaşıldı. Bu çalışması alanın uzmanı matematikçiler tarafından övgüyle karşılandı. Zira bu çalışmalar, homojen uzaylar üzerindeki dinamik sitemlerin sahip olduğu katılığın, heterojen bir yapı olan modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemler için bir karşılığının olmadığını göstermiş oldu.

Heterojen yapısı ve karışıklığı nedeniyle modüli uzaylar üzerine doğrudan çalışmak imkansız gözükmekteydi. Fakat Mirzakhani etkili çalışmasıyla bu yargıyı boşa çıkardı."

 http://bilimsol.org/bilimsol/matematik/maryam-ve-karmasik-uzaylari

Kaynaklar:

Carl Riehm, 2007, “The Early History of the Fields Medal”, http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/annual_report/ar2008/08Interview.
http://www.mathunion.org/general/prizes/2014/prize-citations/
http://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/2014/news_release_mirzakhani.pdf

Not: (16/07/2017) Matematiğin Nobeli olarak anılan Fields ödülünü kazanan ilk kadın olarak tarihe geçen İranlı matematikçi Meryem Mirzakhani, 40 yaşında meme kanseri nedeniyle hayatını kaybetti. Kanserin Mirzakhani'nin kemiklerine kadar yayıldığı belirtildi. ABD'de yaşayan ve çalışan Mirzakhani, çalışmalarında özellikle hiperbolikgeometri, ergodik teori, simplektik geometri ve Teichmüller teorisine odaklanıyordu. http://www.bbc.com/turkce/amp/haberler-dunya-40619607

Matematikçiler Tarih Şeridi

Matematikçiler, felsefi düşünceyle beraber başta bilimsel araştırmalar olmak üzere; matematik, fizik, geometri, mühendislik, iktisat, finans, pazarlama, muhasebe, ticaret ve sigorta ile ilgili ekonomi alanlarında uzman olarak, okullarda ve üniversitelerde öğretmen ve akademisyen olarak, meteoroloji, istatistik, planlama, tasarım, lojistik ve görüntü işleme mesleklerinde ve özellikle bilişim teknolojisi gibi çok farklı alanlarda çalışan insanlardır. Matematikçilerin sayısal matematik, istatistik, matematiksel mantık, cebir, geometri, analiz, modeller kuramı, olasılık kuramı gibi ağırlıklı eğitim aldıkları özel ilgi alanları vardır. Bu sebeple akıl yürütmenin yoğun olarak kullanıldığı pek çok alanda, matematikçiler istihdam edilir. 

Geçmişten günümüze kadar matematikte emek sarfetmiş bilim insanlarından bazılarını bir tarih şeridi halinde görmek istersek, aşağıdaki gibi görsel bir pano düzenleyebiliriz. Bu tarih şeridine benzer bir çalışmayı, Matematik sınıflarımızda değerlendirerek öğrencilerimizde matematik bilinci oluşmasına yardımcı olabiliriz. 

(Tarih şeridinde kullanılan bazı fotoğraflar temsili resimler olup, gerçekliği konusunda şüphe barındırır. Özellikle günümüzden çok önce yaşamış matematikçilerin fotoğrafları, tamamen hayal ürünü olarak tasvir edildiğinden bu temsili resimleri ile bilinir hale gelmişlerdir.)

Matematikçiler Tarih Şeridi çalışmasını PDF olarak indirmek için tıklayınız.

Harezmi ve ikinci Derece Denklemler

Doğum ve ölüm tarihleri kesin olmamakla birlikte El Harezmi (Ebu Abdullah Muhammed bin Musa) Hazar denizinin doğusundaki Harizm'de (Özbekistan) genel görüşe göre 783 yılında dünyaya geldiği kabul edilmektedir. Meşhur bilim tarihçisi George Alfred Leon Sarton (1884 -1956) "Introduction to the History of Science" ve "E.T. Bell "The Development of Mathematics" eserlerinde, Harizmî'nin 850'de vefat ettiğini kaydetmiştir. Tüm dünyaya ismini, (El Harezmi) – isminin Latince telaffuzu ile - “algoritma” olarak zikrettiren bu Müslüman Türk alimi, cebir ilminin kurucusu olarak kabul edilir. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap” adlı eserinden gelir.
Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından, denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur. Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir. El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modellerden de yararlanmıştır.  
El Harezmi, ikinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Günümüz dünyasının vazgeçilmez parçası olan algoritma ve bilgisayarların programlama dilleri, Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak oluşturulmuştur.
Günümüzde kullanılan ikinci derece denklemlerin kök bulma formülü de Harezmi'nin dikdörtgensel çözüm metodundan türemiştir. Diskriminant değerine ilk işaretler de Harezm'in denklem çözümlerinde görülmüştür.

El-Harezmi en genel hali ile ax^2+bx+c=0 şeklinde verilen bir ikinci dereceden denklemin köklerinin çözümünü bulmuştur. Uzun uğraşlar sonrasında, denklemi geometrik bir modelleme ile oluşturup çözüm kümesini bulmayı sağlamıştır. Tabi bu geometrik modellemede çözüm kümesi bulunurken negatif sayılar ihmal edilmiştir. Harezmi denklem çözümünde şu adımları izlemiştir.

Denklem, en genel halinde a, b ve c katsayıları ve x bilinmeyeni içeren ax^2+bx+c=0 şeklinde cebirsel bir ifade olarak yazılabilir. Denklemdeki x^2'li terimi, bir kenarı x’e eşit olan bir kare olarak modellemiştir. Bilinmeyen karesi yani x^2 geometrik olarak kare ile temsil edilebilir. El-Harezmi önce denklemin her iki tarafını denklemin başkatsayısı olan "a" ile bölerek ilk terimin bir kenarı x olan kare haline dönüşmesini sağlamıştır. Bu şekilde kare ve dikdörtgenlerden yararlanarak 2.derece bir denklemin köklerini bulmuştur.

 

Kaynakça: 

Prof. Dr. Şen, Z. 2006. Batmayan Güneşlerimiz. Sayfa 26. 

Göker, Lütfi 1997. Matematik tarihi ve Türk-İslam matematikçilerinin yeri. Düşünce Eserleri Dizisi. Milli Eğitim bakanlığı Yayınları, sayfa 476.

Évariste Galois ve Grup Teorisi

Évariste Galois, 25 Ekim 1811 tarihinde Fransa'nın Bourg-la-Reine kasabasında doğmuştur. Babası Nicolas-Gabriel Galois, Napolyon'un Elba Adası'ndan dönüşü sırasında 1815'te geçici olarak belediye başkanlığı yapmıştır. Galois, 1823 yılında Paris'teki Collège Royal Louis-le-Grand'a kaydolmuş, burada matematiksel yetenekleri hızla gelişmiştir. Ancak, öğretmenlerinin yetersizliği nedeniyle akademik kariyerinde zorluklar yaşamıştır. 1827 ve 1829 yıllarında École Polytechnique'e kabul edilmemiştir. 1829'da babasının intiharının ardından, Galois'ın siyasi görüşleri daha da belirginleşmiş ve 1830'larda Fransız Devrimi'ne katılmıştır. Bu dönemde, matematiksel çalışmalarına devam etmiş ve 1831'de Akademi'ye sunduğu makaleleri reddedilmiştir. Sonunda, 31 Mayıs 1832 tarihinde Paris'te nedeni tam olarak bilinmeyen bir düelloda aldığı yaralar sonucu 20 yaşında hayatını kaybetmiştir. 

Galois, cebirsel denklemlerin çözümü üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. Özellikle, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olup olmadığını belirlemek için gerekli ve yeterli koşulları araştırmıştır. Bu bağlamda, Galois grubu kavramını geliştirmiştir. Galois grubu, bir denklemin köklerinin birbirine dönüşümünü sağlayan permütasyonlar kümesidir. Galois, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olduğunu, eğer ve ancak bu grubun çözülür bir grup olması durumunda olduğunu göstermiştir. Bu buluş, beşinci dereceden ve daha yüksek dereceden denklemlerin genel çözümünün mümkün olmadığını gösteren Abel-Ruffini teoreminin anlaşılmasına katkı sağlamıştır. Galois, polinomların köklerini çözme imkanını köklerin birbirleriyle simetrik ilişkilerini (permutasyonlarını) inceleyerek belirlemiştir. Ancak, Galois bu kavramları tam anlamıyla tanımlamamış ve teorisini eksik bir şekilde sunmuştur. 

Galois grubu, bir polinomun köklerinin birbirleriyle olan simetrik ilişkilerini inceleyen matematiksel bir yapıdır. Belirli bir polinom ele alındığında, bu polinomun kökleri üzerinde gerçekleştirilen ve polinomun katsayılarını değiştirmeyen tüm dönüşümler, yani köklerin birbirleriyle yapılan yer değiştirmeleri, Galois grubunu oluşturur. Bu grup, polinomun içsel simetrisini ve kökleri arasındaki yapısal ilişkileri ortaya koyar.

Évariste Galois, bir polinomun köklerinin yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle ifade edilip edilemeyeceğini belirlemek için bu grupları kullanmıştır. Burada temel kavram “çözülür grup” olarak adlandırılan gruptur. Bir polinomun Galois grubunun çözülür olması, polinomun köklerinin klasik cebirsel işlemlerle bulunabilir olduğunu gösterir. Galois, bu sonucu matematiksel olarak ispatlamış ve bu sayede bir polinomun köklerinin yalnızca belirli grupların yapısına bağlı olarak kök alma işlemleriyle çözülebileceğini ortaya koymuştur. Örnek olarak, beşinci dereceden bazı polinomların Galois grupları çözülür olmadığından, bu polinomların kökleri yalnızca aritmetik işlemler ve kök alma ile ifade edilemez. Buna karşılık, dördüncü dereceden bir polinomun Galois grubu çözülür ise, polinomun kökleri açık biçimde ve klasik cebirsel yöntemlerle bulunabilir. Bu yaklaşım, polinomların köklerinin çözümü ile grup teorisi arasında kurulan temel bağıntıyı ortaya koymakta ve modern cebirsel kuramın, özellikle de grup teorisinin ve cebirsel denklemler teorisinin temellerini şekillendirmektedir. Galois’in bu çalışmaları, cebirin temel yapı taşlarından biri olarak, matematik tarihinde devrim niteliğinde bir katkı olarak kabul edilmektedir.

Galois'ın çalışmaları, modern grup teorisinin temellerini atmıştır. Grup teorisi, matematiksel yapıları ve simetrileri inceleyen bir dal olup, Galois'ın teorileri bu alanın gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Galois'ın fikirleri, 1846'da Joseph Liouville tarafından yayımlanmış ve 1870'te Camille Jordan'ın "Traité des Substitutions" adlı eseriyle grup teorisi matematiğin temel bir parçası haline gelmiştir. Évariste Galois, kısa ömrüne rağmen matematiksel düşüncenin gelişimine önemli katkılarda bulunmuş bir dehadır. Matematiksel teorileri, günümüzde hâlâ kullanılmakta olup, onun bilim dünyasına olan katkıları kalıcıdır. Galois'ın hayatı, bilimsel tutkusunun ve entelektüel mirasının bir yansıması olarak, matematik tarihinin en ilginç ve etkileyici öykülerinden biridir.

Thales Teoremleri ve İspatı

Miletli Thalēs; y. MÖ 624/623 – MÖ 548/545), Milet, İyonya'dan bir Antik şehir bugün Aydın sınırları içersinde kalmaktadır. Thales, matematikçi, astronom ve aynı zamanda felsefe ile uşraşmıştır. İlk filozoflardan olduğu için felsefenin öncüsü olarak kabul edilir. adlandırılır. Ticaretle uğraşmış ve bu nedenle Mısır'da bulunmuştur. Bertrand Russell'e göre, Felsefe'nin Thales ile başladığı kabul edilir. Platon, Theaetetus'da, Thales'den "yıldızları incelerken önündeki kuyuyu görmeyen biri" olarak hicvederek bahseder. Aristoteles, Thales'i "zeytinin bol çıkacağı yılları tahmin edebilen başarılı bir kişi" olarak takdim eder. 

Thales MÖ 28 Mayıs 585 tarihindeki güneş tutulmasını tahmin etmiştir. Güneş tutulmasını kendisinin bilgisiyle hesaplayıp hesaplamadığı kısmı ihtilaflıdır. Ticaret maksadıyla gittiği, Mısır ve Babil ziyaretleri nedeniyle o bölgelerden bir takım astronomi bilgileri öğrendiği kabul edilmektedir. Thales, suyu hayatın ana kaynağı olarak düşünür ve herşeyin sudan meydana geldiğini, suyun bir ana madde olduğunu söyler. Doğadaki işleyişi ana madde unsuru ile açıklamaya çalışmıştır. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takımyıldızlarından Büyükayı yerine Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır: Çap çemberi iki eşit parçaya böler. Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar birbirine eşittir. Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı, dik açıdır. Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen çizilebilir.

Thales Teoremi: “En az üç paralel doğru, iki kesen üzerinde uzunlukları orantılı parçalar ayırır.” Thales teoreminin uygulanması aslında benzerlik bağıntılarının bir özel uygulamasıdır. Thales teoremi ispatlanırken de AAA benzerliğinden yararlanarak ispatlama işlemi yapılır.

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru, iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı olur. İkinci thales teoremi de buna benzer biçimde yine benzerlik yardımıyla birbirini kesen iki doğru ve bunları kesen birbirine paralel doğrular yardımıyla oluşan şekilde benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıdan oluşur. Kesişen iki doğru, paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olur.

 

Thales Teoremi Üçgenlerde benzerlik işlemlerinin temelini oluşturan önemli bir teoremdir. Bu nedenle iyi bilinmesi ve örneklerle pekiştirilmesi gerekmektedir.