Noktanın doğruya göre simetrisi

Etiketler : analitik geometri dönüşüm geometrisi geometri simetri

Bir K(r,s) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisini bulmak için önce doğrunun eğimi bulunur: m₁ = -a/b. Daha sonra A noktasından geçen ve bu doğruya dik olan bir doğru çizilir; bu doğrunun eğimi veya eğimler çarpımı -1 olacak şekilde m₂ = -1/m₁ olduğundan m₂ = b/a bulunur. Bu yeni doğrunun eğim ve K noktası kullanılarak denklemi yazılır: y - s = m₂(x - r). İki doğrunun denklem sistemi çözülerek kesişim noktası bulunur; bu kesişim noktası H olsun. H noktası K noktasının doğruya dik olarak indiği kesişim noktasıdır. Simetri noktası K' ise K noktasının H noktasına göre noktanın noktaya göre simetrisinden yani orta nokta olma kuralından yararlanarak hesaplanır. Böylece K noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi  K' bulunur.

 

Örnek: A(3,2) noktasının 2x - y + 1 = 0 doğrusuna göre simetrisini bulalım. 

 

Çözüm: Önce doğrunun eğimi bulunur: m₁ = 2/1 = 2 (çünkü y = 2x + 1). A noktasından geçen ve bu doğruya dik olan doğrunun eğimi m₂ = -1/m₁= -1/2. 

Bu doğrunun A(3,2) noktası üzerinden denklemi: y - 2 = -1/2.(x - 3) → y = -1/2 x + 7/2. 

İki doğrunun kesişimi bulunur: 2x - y + 1 = 0 ve y = -1/2 x + 7/2 doğru denklemleri ortak çözülürse x = 1, y = 3 olarak bulunur. Yani kesişim noktası B (1,3). Simetri noktası A(3,2) noktasının B (1,3) noktasına göre simetrisi A' (-1,4) bulunur. 

---

Noktanın doğruya göre simetrisi noktanın doğruya uzaklığı formülü ile de hesaplanabilir. Burada Bir K(r,s) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi, önce noktanın doğruya dik uzaklığını bulmakla başlar. Doğruya dik mesafe formülünde K(r,s) noktası, önce doğru denkleminde x ve y koordinatları yerine yazılır. 

Uzaklığı d ile ifade edersek; d = |(a.r + b.s + c)| / √(a² + b²) olur. Simetri noktası, doğruya olan dik mesafenin ters yönünde aynı uzaklıkta yer almasıdır. Buna göre  a, b, c doğrunun katsayıları, r, s ise orijinal noktanın koordinatları olmak üzere, noktanın simetrsi olan nokta; 
K'(x', y') = (r - [2a.(ar + bs + c) / (a² + b²)], s - [2b.(ar + bs + c)/(a² + b²)]) şeklinde formüle edilir. Bu formülde tüm değerler yerlerine yerleştirilirse;  K noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi K' bulunur. Yukarıda verilen aynı örneği şimdi bu formülü kullanarak çözelim.

 

Örnek: A(3,2) noktasının 2x - y + 1 = 0 doğrusuna göre simetrisini bulalım. 

 

Çözüm: Burada doğrunun katsayıları: a = 2, b = -1, c = 1, k = 3, p = 2 sayılarını ve A(3,2) noktasını simetri formülünde yerine yazalım.  

Simetri formülü: A'(x', y') = (k - [2a.(ak + bp + c)/(a² + b²)], p - [2b.(ak + bp + c)/(a² + b²)]).

Önce kesrin payını hesaplayalım: 2a.(a.k + b.p + c = [2.2.(2.3 + (-1).2 + 1)] = 6 - 2 + 1 = 4.5=20 olur. Kesrin Paydası: a² + b² = 2² + (-1)² = 4 + 1 = 5 olur.

x' = 3 - (20/5) = 3 - 4 = -1 bulunur. 

Aynı şekilde y koordinatını hesaplayalım. Önce kesrin payını hesaplayalım: [2b.(ak + bp + c)/(a² + b²)]=2[2.(-1).(2.3 + (-1).2 + 1)]=2.5=10   

Kesrin Paydası: a² + b² = 2² + (-1)² = 4 + 1 = 5 olur. 

 y' = 2 - 10/5 = 2 + 2 =4 olur. Buna göre A(3,2) noktasının 2x - y + 1 = 0 doğrusuna göre simetrisi A' = (-1,4) elde edilir. 

 

Bir noktanın bir doğruya göre simetrisi yine kendisi oluyorsa bu nokta doğrunun üzerindedir. Dolayısıyla verilen nokta doğru denklemini sağlar. 

Örnek: A(1,-4)noktasının 3x+(2m-4)y-m+6=0 doğrusuna göre simetrisi yine kendisi ise m kaçtır? 

 

Çözüm: A(1,-4) noktasının 3x + (2m-4)y - m + 6 = 0 doğrusuna göre simetrisi kendisi ise verilen nokta doğru üzerinde olmalıdır. Noktayı denklemde yerine koyalım: 3.1 + (2m-4).(-4) - m + 6 = 0 Buradan 3 - 8m +16 - m + 6 = 0 → 25 - 9m = 0 → 9m = 25 → m = 25/9 elde edilir.