Türev ve Değişim Hızı

Etiketler : değişim oranı gündelik hayatta matematik türev türev uygulamaları

Türevde değişim oranı, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki eğimini ifade eder. Matematikte türev, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki anlık değişim hızını hesaplamak için kullanılır. Değişim oranı fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir ve genellikle bu değişim hızı, birim zamandaki değişimin büyüklüğü olarak ifade edilir. Türevde değişim oranı, bir fonksiyonun eğiminin o noktada ne kadar keskin olduğunu belirlememizi sağlar ve bu sayede optimize etme, modelleme ve analitik hesaplamalar gibi birçok alanda kullanılır.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki değişim oranı, o aralıktaki fonksiyon değerlerinin farkının, o aralıktaki bağımsız değişkenin değerlerinin farkına bölünmesi ile hesaplanır.

Matematiksel olarak değişim hızı, (f(b) - f(a)) / (b - a) formülü ile ifade edilir, burada f(b) ve f(a) sırasıyla aralığın sağ ve sol uçlarındaki fonksiyon değerlerini, a ve b ise aralığın sağ ve sol uçlarındaki bağımsız değişken değerlerini temsil eder.

Bir fonksiyonun değişim oranı, o fonksiyonun belirli bir aralıktaki eğimi ya da artış hızını temsil eder. Bu değişim oranı genellikle iki nokta arasındaki eğimi ölçmek için kullanılır. Eğer bu oran (eğim) pozitif ise fonksiyon artıyor, (eğim) negatif ise fonksiyon azalıyor demektir. Değişim oranı, bir fonksiyonun davranışını anlamak ve analiz etmek için önemli bir kavramdır ve matematiksel modellemede ve çeşitli alanlarda sıkça kullanılır. Bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi belirlemek ve trendleri anlamak için değişim oranı oldukça faydalı bir araçtır. Aşağıda konu ile ilgili çeşitli örnek soru çözümleri verilmiştir.

Örnek: Bir eşkenar üçgenin bir kenarı 4 cm/sn hızla büyümektedir. Bir kenar uzunluğu 12 cm olduğu anda alanının büyüme hızı kaç

cm²/sn  olur?

Örnek: Küre şeklindeki bir balon üzerinde bulunan bir delikten hava kaçırmaktadır. Balonun yarıçapı 6cm olduğu anda hacminin azalma hızı 24 cm³/sn olduğuna göre yarıçapının azalma hızı kaç cm/sn olur?

Örnek: Kare dik prizma şeklindeki cam su deposunun altında yer alan bir musluktan saniyede 3 m³ su boşalmaktadır. Buna göre depo içindeki suyun yüksekliğinin azalma hızı kaç m/sn olur?

Örnek: Başlangıçtaki yarıçapı 5 cm olan küre şeklindeki bir balon t = 0 anından itibaren geçen sürede t saniye sonra r=(80-t)/16 cm olacak şekilde içinden sürekli hava sızdırmaktadır. Buna göre, t= 40 iken içerdeki hava kaç cm³/sn hızla dışarı sızar?

Örnek: İçi tamamen su dolu olan taban yarıçapı 9cm ve yüksekliği 18 cm olan koni şeklindeki bir cisim tepe noktasındaki A noktasından delinip ters çevrildikten sonra içindeki su akmaya başlamıştır. Su yüksekliği 6 cm olduğu anda, kaptaki suyun yüksekliğine bağlı değişim oranı kaç cm³ olur?

Örnek: Bir pistte yer alan roket dik doğrusal hareket etmektedir. Başlangıçta zemine dik bir şekilde sabit bir noktada olan roketin, aynı zeminde bulunan bir A noktasına uzaklığı 80 m'dir. Roketin kalkış yaptıktan sonra aynı zemindeki başlangıç noktasına uzaklığı 60 m olduğu andaki değişim hızı 10 m/sn olduğuna göre roketin zeminde bulunan A noktasına olan uzaklığının değişim hızı kaç m/sn olur?

Örnek: Sokak lambasından 5 m/s hızla yürüyerek uzaklaşan ve boyu 2 metre olan bir kişinin lambadan uzaklığı 10 m olduğu anda bu kişinin gölgesinin ucu da 6 m/s hızla kendisinden uzaklaşarak hareket ediyorsa sokak lambasının boyu kaç m'dir?

Örnek: Dik üçgen biçimindeki oda yeniden düzenlenirken zemine dik olacak sekilde bir kontrplak zemine yerleştiriliyor. Yerleştiriken kontrplak duvara doğru ok yönünde saniyede 28 cm hızla hareket ettirildiğinde x uzunluğunun artma hızı kaç cm/sn olur?

Örnek: Boyu 5 metre olan dikdörtgen biçimli bir kutu duvara dayalı halde dururken kutunun alt kısmından çekildiğinde kutunun üst ucu duvardan ayrılmadan aşağıya doğru kaymaktadır. Kutunun alt ucu saniyede 8 cm hızla 3 metre kaydığında üst ucun kayma hızı kaç metre/sn olur?