Eratosthenes Kalburu

Etiketler : asal sayı gündelik hayatta matematik matematik sayılar

Eratosthenes MÖ. 276-194 yılları arasında yaşamış bir Yunan bilgindir ve bilim tarihi boyunca pek çok alana önemli katkılar yapmıştır. En önemli buluşlarından biri, dünyanın çevresini etkin bir şekilde hesaplama yöntemidir. Bu yöntem kendi adıyla anılan "Eratosthenes kalburu" (veya Eratosthenes Gözü) olarak bilinir. 

Eratosthenes kalburu, antik dönemde yaşamış, matematik ve coğrafya alanlarında çalışmalarda bulunmuş Eratosthenes tarafından geliştirilmiş bir usturlab türüdür. Bir usturlab, genellikle gökyüzündeki cisimlerin yüksekliğini veya konumunu belirlemek için kullanılan bir astronomik alet türüdür. Usturlabın temel bileşenleri arasında genellikle bir halka şeklindeki ölçek, eğik bir iğne (çubuk) ve bir gözlem düzlemi yer alır. Gözlem düşey açıları ölçerken usturlabın halkasındaki ölçek ile referans alınarak gökyüzündeki nesnelerin konumları belirlenebilir. Geleneksel olarak denizcilikte de kullanılan usturlaplar, gökyüzündeki yıldızlar ve Güneş'in konumunu belirlemek için önemli bir araçtır. Eski zamanlarda oluşturulan usturlab modeli, Anadolu'da eş-benzerlik anlamına gelen "delik deseni" olarak da bilinir. Üzerinde çeşitli geometrik desenler bulunan bu modellerin genellikle astronomi bilimine ve çeşitli dini inanışlara hizmet ettiği düşünülmektedir. Anadolu'da bu delik deseni, seramiklerde, halı ve dokumalarda yaşatılarak, geometrik motiflerin kullanıldığı Anadolu çini sanatının özgün ve dikkat çekici bir özelliği haline gelmiştir. Dünyanın en eski tapınağı olarak kabul edilen, devasa taş sütunların bulunduğu dairesel yapısıyla tanınan Göbekli Tepe  de halk arasında "delik deseni" olarak da bilinir. Göbekli Tepe'deki delik desenleri, genellikle T şeklini temsil eder. Bazı araştırmacılar, bu delik desenlerinin astronomik gözlemlerle bağlantılı olduğunu düşünmektedir.

Eratosthenes kalburu, bir çeşit usturlab tekniğine dayanan dünyanın çevresini ve çapını yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Esas amacı güneş ışınlarının dik geldiği noktayı belirlemek ve mesafe ölçmek içindir. Bu yöntemde, aynı anda güneşin ışınlarına maruz kalan iki farklı noktadaki gölgelerin oluşturduğu açıya dayanarak yeryüzündeki bir noktanın enlemini hesaplamak mümkündür. Bu sayede, dünyanın çevresi ve çapı hakkında önemli bilgiler elde edilir. 

Eratosthenes, icat ettiği bu kalbur yardımıyla güneş ışınlarının dünya üzerinde dik geldiği noktayı ölçerek yaptığı hesaplamalarla dünya yüzeyinin çevresini günümüz dünyasındaki verilere göre kısmen doğru bir şekilde hesaplamış ve bugünkü coğrafyanın gelişimine önemli katkılarda bulunmuştur.

Eratosthenes'in bu kalbur yöntemini kullanması, Asvan ve İskenderiye gibi iki farklı yerleşim yerinin güneş ışınlarından nasıl etkilendiğini gözlemleyerek oldu. Raweh'deki (günümüzde Asvan) yaz günlerinde güneşin tam bir kuyu dibine düşmek suretiyle kuyunun dibini aydınlattığını gözlemledi. Ancak İskenderiye’de aynı tarihlerde güneş tam tepeden gelmediğini ve yer ile bir açı yaptığını gördü. Buna dayanarak Eratosthenes, yeryüzündeki Mesir (Assuan) şehrine dik bir kuyu (direnge) açarak, o kuyunun dibindeki çubuğa (dikme) dolan güneşin gölgesini ölçerek Güneş’in o yerden yüksekliğini hesapladı. Bu ölçüm sonucunu, yanındaki kentin gölgesiyle karşılaştırarak, kentin Güneş'e olan mesafesini hesapladı. Eratosthenes, daha sonra bu iki yerleşim yeri arasındaki mesafeyi hesapladı. Bu yöntemlere aynı şekilde devam ederek dünyanın çapını hesapladı Eratosthenes, dünyanın çevresini bulmak için bugünün biliminde bilinen trigonometrik hesaplamaların benzerlerini kullandı. Böylece dünyanın çevresini yaklaşık olarak 40000 km (39,375 km) olarak hesaplamış oldu ki bu ölçüm sonucu güncel bilgilere göre yaklaşık olarak doğrudur. 

Eratosthenes, Mısır'da gerçekleştirdiği ölçümlerde kullandığı yöntem, Firavun Ptolemy III tarafından desteklenmiştir. Eratosthenes Kalaburu, dünyanın çevresini doğru bir şekilde hesapladığı için yaşadığı dönem açısından önemli bir buluş olarak kabul edilir.

Eratosthenes'in yöntemini günümüzde kullanmak istediğimizde bu yöntem şöyle işler: İlk olarak, aynı anda güneş ışınlarının dik olarak düştüğü iki farklı konum veya noktada  (örneğin, bugün Türkiye ve Mısır arasında aynı anda iki çubuk dikilir) birer çubuk dikilir. Ardından, bu çubuklara göre güneş ışınlarından çubuğun gölgesinin uzunluğu tam olarak ölçülür. Aynı anda diğer yerde bulunan çubuğun gölgesinin uzunluğu da ölçülür. Bu sayede, iki gölge uzunluğu arasındaki farktan hareketle güneş ışınlarının bu iki noktaya geliş açıları bulunur. Bugün bildiğimiz trigonometrik toplam ve fark formülleri kullanılarak bu yerlerin güneşe uzaklıkları ve dünyanın şekli baz alınarak da dünyanın çapını ve çevresini hesaplamak mümkün hale gelir. 

Eratosthenes, asal sayıları hızlı bir şekilde belirlemek için de bir algoritma oluşturmuştur. "Eratosthenes kalburu" adı verilen yöntem ve asal sayıların tespitinde kullandığı algoritma, yazılım dünyası için bir döngü oluşturması açısından önemli bir buluştur. Bu yöntemde, bir sayı kümesindeki asal olmayan sayılar eleme yoluyla belirlenir. İlk adımda 2'den başlayarak sırasıyla tüm katları çıkarılarak elenir ve kalan sayılar asal olarak kabul edilir. Bu basit ve etkili yöntem, asal sayıları belirlemede yaygın olarak kullanılmaktadır. Eratosthenes'in keşfi, asal sayıları hızlı ve verimli bir şekilde belirlemede oldukça kullanışlıdır. Bu algoritma, bilgisayar biliminde ve kriptografi gibi alanlarda da yaygın olarak uygulanmaktadır. Eratosthenes kalburu, asal olmayan sayıları hızla eleme yöntemiyle çalışır ve büyük sayılar üzerinde de etkili bir şekilde işlev görür. 

Eratosthenes kalburu yoluyla asal sayıları bulmak için aşağıdaki adımlar sırayla izlenir:

1. İlk olarak, istenen belirli bir aralık içindeki sayıları bir liste şeklinde sıralarsınız. Örneğin 1 den 100'e kadar olan sayılardan asal olanları bulmak istiyorsak bütün bu sayılar sıralanır.

2. Listenin ikinci elemanından itibaren başlayarak, her bir sayının katlarından başlayarak listeden çıkartırsınız. Örneğin, listemizde ikinci sayı 2 olduğundan tüm 2'nin katı olan sayıları listeden çıkarırsınız. Geriye sadece tek sayılar ve 2 elemanı kalır.

3. Her seferinde bir sonraki elemandan başlayarak işlemi tekrar ederek, liste üzerinde ilerlersiniz. Her adımda yeni bir asal sayı ortaya çıkar. Listede 3 sayısına geçirip bunun katları tek tek elenir. Sonra 5 sayısına geçilip bunun katları elenir. Bu şekilde devam edilir.

4. İşlem sonucunda listenin son elemanına ulaşıncaya kadar devam edersiniz. Elenmeden kalan sayılar asal sayılardır.

Yazılım algoritması yardımıyla aşağıdaki işlem adımları ile elde edilir. 

1. adım: 2’den belirlenen bir n tamsayı değerine kadar ardışık tamsayılardan bir liste oluşturun. (n=100 olsun)

2. adım: Başlangıçta en küçük asalsayı olan 2’yi alarak işleme başlayın. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Oluşturulan listeden 2’nin tüm tam katlarını bulup (4,6,8,10,12,…) işaretleyerek listeden çıkarın.

3. adım: İşaretlenmemiş bir sonraki sayıyı alın, örneğin 3 ve tüm tam katlarını (6,9,12,15,18,....) işaretleyip bunları listeden çıkarın. 

4. adım: Aynı işlemlere 3.adımı algoritma sonlanana kadar tekrarlayarak devam edin. Tümsayılar işaretlenmişse veya bir sonraki işaretlenmemiş sayı artık bulunamıyorsa durun. 

5.adım: Listede işaretlenmemiş olarak kalan sayılar, n=100 tamsayısına kadar olan tüm asal sayılar bulunmuş olur. Artık İşlem tamamlanmıştır. Kalan asal sayıları yazarak işlemi bitirin.

Bu eleme yöntemi, asal sayıları belirlemek için oldukça etkili ve hızlı bir yöntemdir. Eratosthenes kalburu, küçük aralıklardaki asal sayıları bulmak için yaygın olarak kullanılan bir algoritmadır.Büyük aralıklarda bu yöntem, matematik ve bilgisayar bilimlerinde temel bir konsept olup, bugün bile önemini korumaktadır. Eratosthenes'in bu akıllıca icadı, sayı teorisindeki gelişmelere büyük katkı sağlamıştır.