Évariste Galois ve Grup Teorisi

Évariste Galois, 25 Ekim 1811 tarihinde Fransa'nın Bourg-la-Reine kasabasında doğmuştur. Babası Nicolas-Gabriel Galois, Napolyon'un Elba Adası'ndan dönüşü sırasında 1815'te geçici olarak belediye başkanlığı yapmıştır. Galois, 1823 yılında Paris'teki Collège Royal Louis-le-Grand'a kaydolmuş, burada matematiksel yetenekleri hızla gelişmiştir. Ancak, öğretmenlerinin yetersizliği nedeniyle akademik kariyerinde zorluklar yaşamıştır. 1827 ve 1829 yıllarında École Polytechnique'e kabul edilmemiştir. 1829'da babasının intiharının ardından, Galois'ın siyasi görüşleri daha da belirginleşmiş ve 1830'larda Fransız Devrimi'ne katılmıştır. Bu dönemde, matematiksel çalışmalarına devam etmiş ve 1831'de Akademi'ye sunduğu makaleleri reddedilmiştir. Sonunda, 31 Mayıs 1832 tarihinde Paris'te nedeni tam olarak bilinmeyen bir düelloda aldığı yaralar sonucu 20 yaşında hayatını kaybetmiştir. 

Galois, cebirsel denklemlerin çözümü üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. Özellikle, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olup olmadığını belirlemek için gerekli ve yeterli koşulları araştırmıştır. Bu bağlamda, Galois grubu kavramını geliştirmiştir. Galois grubu, bir denklemin köklerinin birbirine dönüşümünü sağlayan permütasyonlar kümesidir. Galois, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olduğunu, eğer ve ancak bu grubun çözülür bir grup olması durumunda olduğunu göstermiştir. Bu buluş, beşinci dereceden ve daha yüksek dereceden denklemlerin genel çözümünün mümkün olmadığını gösteren Abel-Ruffini teoreminin anlaşılmasına katkı sağlamıştır. Galois, polinomların köklerini çözme imkanını köklerin birbirleriyle simetrik ilişkilerini (permutasyonlarını) inceleyerek belirlemiştir. Ancak, Galois bu kavramları tam anlamıyla tanımlamamış ve teorisini eksik bir şekilde sunmuştur. 

Galois grubu, bir polinomun köklerinin birbirleriyle olan simetrik ilişkilerini inceleyen matematiksel bir yapıdır. Belirli bir polinom ele alındığında, bu polinomun kökleri üzerinde gerçekleştirilen ve polinomun katsayılarını değiştirmeyen tüm dönüşümler, yani köklerin birbirleriyle yapılan yer değiştirmeleri, Galois grubunu oluşturur. Bu grup, polinomun içsel simetrisini ve kökleri arasındaki yapısal ilişkileri ortaya koyar.

Évariste Galois, bir polinomun köklerinin yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle ifade edilip edilemeyeceğini belirlemek için bu grupları kullanmıştır. Burada temel kavram “çözülür grup” olarak adlandırılan gruptur. Bir polinomun Galois grubunun çözülür olması, polinomun köklerinin klasik cebirsel işlemlerle bulunabilir olduğunu gösterir. Galois, bu sonucu matematiksel olarak ispatlamış ve bu sayede bir polinomun köklerinin yalnızca belirli grupların yapısına bağlı olarak kök alma işlemleriyle çözülebileceğini ortaya koymuştur. Örnek olarak, beşinci dereceden bazı polinomların Galois grupları çözülür olmadığından, bu polinomların kökleri yalnızca aritmetik işlemler ve kök alma ile ifade edilemez. Buna karşılık, dördüncü dereceden bir polinomun Galois grubu çözülür ise, polinomun kökleri açık biçimde ve klasik cebirsel yöntemlerle bulunabilir. Bu yaklaşım, polinomların köklerinin çözümü ile grup teorisi arasında kurulan temel bağıntıyı ortaya koymakta ve modern cebirsel kuramın, özellikle de grup teorisinin ve cebirsel denklemler teorisinin temellerini şekillendirmektedir. Galois’in bu çalışmaları, cebirin temel yapı taşlarından biri olarak, matematik tarihinde devrim niteliğinde bir katkı olarak kabul edilmektedir.

Galois'ın çalışmaları, modern grup teorisinin temellerini atmıştır. Grup teorisi, matematiksel yapıları ve simetrileri inceleyen bir dal olup, Galois'ın teorileri bu alanın gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Galois'ın fikirleri, 1846'da Joseph Liouville tarafından yayımlanmış ve 1870'te Camille Jordan'ın "Traité des Substitutions" adlı eseriyle grup teorisi matematiğin temel bir parçası haline gelmiştir. Évariste Galois, kısa ömrüne rağmen matematiksel düşüncenin gelişimine önemli katkılarda bulunmuş bir dehadır. Matematiksel teorileri, günümüzde hâlâ kullanılmakta olup, onun bilim dünyasına olan katkıları kalıcıdır. Galois'ın hayatı, bilimsel tutkusunun ve entelektüel mirasının bir yansıması olarak, matematik tarihinin en ilginç ve etkileyici öykülerinden biridir.