Bölme işlemiyle Karekök Hesaplama

Çok büyük sayılarda karekök alma işlemini, hesap makinesi kullanmadan sadece bölme işlemi kullanarak yapabiliriz. Pratik olmasa da alışıldığı zaman kullanışlı bir yöntem. 

Karekök alma işleminin bölme yöntemiyle nasıl yapıldığını daha detaylı ve adım adım açıklayalım. 

Bölme Yöntemiyle Karekök İşlemi Adımları

Örneğin: 1234321 sayısının karekökünü sadece bölme işlemi kullanarak hesaplayalım.

İşlem yapılacak sayı sağdan sola doğru iki hanelik gruplara ayrılır. Birler basamağından başlayarak tüm sayı, ikişerli olarak gruplandırılır.

Örneğin: 1234321 sayısı 1 | 23 | 43 | 21 şeklinde gruplandırılır. Bu gruplama, işlemi kolaylaştırmak için yapılır. Kök değerinin ilk basamağını bulmak için sayının en soluna bakılır. En soldaki grup (burada 1) için en büyük tam kare sayı bulunur. Örneğimizde 1 sayısının karekökü 1’dir (1x1=1). Bu sayı, karekökün ilk basamağı olur. 1 x 1 = 1 yazılır. İlk basamağın karesi (1) sayının ilk grubundan çıkarılır. 1 - 1 = 0 kalır. Sonraki grup (2323 bölmedeki kalanın yanına getirilir, böylece 023 olur. Yeni bölme sayısını oluşturma aşamasında bulunan önceki karekök değerimiz (1) iki ile çarpılır: 1 x 2 = 2. Bu sayı, bölme işleminde kullanılacak "bölücü" olarak düşünülür. Şimdi, 2 ile başlayıp, 2'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 21, 22, 23...) 023 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. Bölme ve çıkarma işlemi yapılır. 21 x 1 = 21 (burada 1, yanına eklenen rakam) 023 - 21 = 2 bölmede kalan olarak kalır. Karekökün ikinci basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök şimdi haliyle  11 olur. İşlemi tekrarlama aşamasında aynı işlemler yapılır. 

Kalan sayı (2) yanına bir sonraki grup (43) getirilir: 243. Karekökün şu anki hali (11) iki ile çarpılır: 11 x 2 = 22. Sonra 22'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 221, 222, 223...) 243 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. 221 x 1 = 221 çıkarılır. 243 - 221 = 22 kalır. Karekökün üçüncü basamağı 1 olarak bulunur. Karekök şimdi 111 olur. Son adımlarda verilen sayıdan en son kalan sayı (22) yanına son grup (21) getirilir: 2221. Sonra bulduğunuz karekökün şu anki hali (111) iki ile çarpılır: 111 x 2 = 222. Bu 222'nin yanına bir rakam ekleyerek (2221) 2221.1=2221  sayısından çıkarılır. 2221 x 1 = 2221 çıkarılır. Sonuçta en son kalan 0 olur. Böylece Karekökün dördüncü basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök tamamlanır: 1111.

Özetlersek; Verilen sayı çift hanelere ayrılır. En büyük tam kare bulunur ve sayıdan çıkarılır. Kalan sayıya yanındaki çift hane eklenir. Karekökün bulunan şu anki hali iki ile çarpılır. Yanına eklenen rakamla çarpılarak çıkarma yapılır. Kalan sıfıra ulaşana kadar böyle devam edilir. Yanına çarpmak için eklediğimiz sayılarla bulunan rakamlar karekökün basamakları olur.

Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer şekilde karekökü adım adım bulmayı sağlar. Örnekte 1.234.321 sayısının karekökü 1111 olarak bulunmuştur.

Örneğin 614656 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 6 | 14 | 65 | 56 şeklinde yazılır. İlk grup olan 6'dan büyük olmayan en büyük tam kare 4 olduğu için karekökün ilk basamağı 2 olur. 6 − 4 = 2 kaldıktan sonra yanına 14 indirilerek 214 elde edilir. Bulunan karekökün iki katı alınır ve uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır. Daha sonra kalan sayının yanına sırasıyla 65 ve 56 grupları indirilir. Her adımda bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam belirlenir ve çıkarma işlemi tekrarlanır. Kalan sıfıra ulaştığında işlem tamamlanır ve bulunan rakamlar birleştirilerek sayının karekökü elde edilir. Bu örnekte 614656 sayısının karekökü 784 olarak bulunur.

Örneğin 18671041 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 18 | 67 | 10 | 41 şeklinde yazılır. İlk grup olan 18'den büyük olmayan en büyük tam kare 16 olduğu için karekökün ilk basamağı 4 olur. 18 − 16 = 2 kaldıktan sonra yanına 67 indirilir ve işlem devam eder. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır ve kalan sayının yanına sırasıyla 10 ve 41 grupları indirilir. Aynı adımlar tekrar edilerek kalan her seferinde azaltılır ve son işlemde kalan 0 olur. Böylece bulunan rakamlar birleştirilerek 18671041 sayısının karekökünün 4321 olduğu elde edilir.

Tam sayı kısmı tamamlandıktan sonra kalan sıfır değilse, yanına eklenen 00 grupları indirilerek işlem ondalık basamaklar için aynı şekilde devam eder. Böylece karekökün virgülden sonraki basamakları da tek tek bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamak elde etmek için yapılan tek işlem, sayının sağına ikişerli 00 grupları ekleyerek aynı adımları sürdürmektir.

Örneğin 1234567890 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle yaklaşık 4 ondalık basamağa kadar bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 12 | 34 | 56 | 78 | 90 şeklinde yazılır. Ondalık basamakları bulabilmek için sayının sağına ikişerli 00 grupları eklenir ve işlem 12 | 34 | 56 | 78 | 90 | 00 | 00 | 00 | 00 şeklinde devam eder. İlk gruptan başlanarak bu gruptan büyük olmayan en büyük tam kare bulunur, karesi çıkarılır ve kalan sayının yanına bir sonraki grup indirilir. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, yanına uygun bir rakam eklenerek oluşturulan sayı aynı rakamla çarpılır ve elde edilen sonuç kalan sayıdan çıkarılır. Bu işlemler tüm gruplar için aynı sırayla tekrarlanır. Tam sayı kısmındaki gruplar tamamlandıktan sonra işlem durdurulmaz; ondalık basamakları bulmak için eklenen 00 grupları sırayla indirilir ve aynı yöntem uygulanmaya devam edilir. Her indirilen 00 grubu, karekökün virgülden sonraki bir basamağını verir. Dört adet 00 grubu indirildiğinde karekök yaklaşık 35136,4183 olarak bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamaklar, sayının sonuna ikişerli 00 grupları eklenerek ve aynı işlem adımları tekrarlanarak elde edilir.

İki Basamaklı Sayıların Karesini Almak

İki basamaklı olarak verilen herhangi bir sayının karesi alınırken, aynı sayıyı iki defa alt alta yazıp çarpmak yerine daha pratik bir şekilde farklı bir yol izlenebilir. 

Bunun için iki basamaklı herhangi bir sayının karesi alınırken, sayının birler basamağının ve onlar basamağının ayrı ayrı karesi alınır ve aynı yerlerine yazılır. Daha sonra ortalarına birler ve onlar basamağında bulunan rakamaların çarpımın iki katı yazılıp birler basamağına yakın olan rakam birler basamağına, onlar basamağına yakın olan rakam da onlar basamağına eklenip sayının karesi bulunmuş olur. 

ÖRNEK: 97 sayısının karesini bulalım:

9² =81

7²=49

2.9.7=126

81| 126 |49

Buradan da 6+4=10 elde 1

81+12+1=94

Sonuç: 9409

Başka bir örnek daha verelim:

35 nın karesini alalım.

3²=9

5²=25

2.3.5=30

9| 30 |25

buradan 

9+3=12, 

0+2=2 

sonuç:  1225

 

Daha iyi anlamak için YOUTUBE videosunu izleyebilirsiniz.