Bir sayının sıfırıncı kuvveti

Etiketler : faktöriyel limit sıfır üslü ifadeler

Üslü ifade, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını kısa ve pratik bir şekilde göstermeye yarayan matematiksel ifadedir. Üslü ifadelerde, çarpılan sayıya taban, bu sayının kaç kez çarpılacağını gösteren sayıya ise üs (kuvvet) denir. Örneğin 2⁴ ifadesinde 2 taban, 4 ise üstür. Bu ifade, 2’nin kendisiyle dört defa çarpılması anlamına gelir: 2×2×2×2=16 Böylece bu uzun yazım 2⁴=16 olur. 

 

Bir sayının 0. kuvveti ise 1 olur. Bir sayının 0. kuvvetinin neden 1 olduğunu anlamanın en güzel yolu, üslerin oluşturduğu örüntüye bakmaktır:

........

2⁵=32
2⁴=16
2³=8
2²=4
2¹=2

........

 

Bu şekilde geriye doğru devam edildiğinde her seferinde 2 ile bölerek devam ederiz. Buna göre en son 2¹=2 sonucunu 2 ile bölersek 2⁰=1 olarak elde ederiz. Daha genel olarak sıfır hariç herhangi bir sayı için a⁰=1 (a ≠ 0) olur. 0⁰ ise matematikte kullanım alanına göre değişir. 0⁰ limitte belirsizlik ifade eder. Dolayısıyla 0. kuvvet, sonradan eklenmiş bir kural veya uydurma bir bilgi değildir. Üslü ifadelerin geriye doğru devam ettirilmesinin bir sonucu olarak a⁰=1 (a ≠ 0) olur. Aynı örüntüyü bir adım daha ileri götürdüğümüzde negatif kuvvetler ortaya çıkar. Örneğin 2^-1=1/2, 2^-2=1/4, 2^-3=1/8 şeklindeki diziyi sürdürürsek, her adımda yine 2'ye bölmemiz gerekir. Böylece negatif kuvvetlerin değerini buluruz. Buradan a^-n=1/aⁿ şeklinde genel kural ortaya çıkar. Buradaki “negatif kuvvet” ifadesi, sayının negatif olduğu anlamına gelmez. Bir sayının üssünün negatif kuvvet olması (a^-n), ilgili sayının çarpma işlemine göre tersinin alınıp (1/a) daha sonra o sayının (n) pozitif kuvvetinin alınması anlamına gelir. Böylece üslü ifadelerde pozitif kuvvetler, negatif kuvvetler ve 0. kuvvet özellikleri, tanımlanmış olur. Bütün bu tanımlar aynı matematiksel örüntünün kesintisiz devamıdır.

0⁰ Neden İlginçtir?

0⁰ ise bir sayının sıfırıncı kuvveti açısından en ilginç noktalardan biridir. Çünkü bir yandan sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvvetinin 1 olduğunu biliyoruz: a⁰=1 (a ≠0) Bu kuralı a yerine 0 yazarak denersek a=0 için 0⁰=1 sonucuna ulaşmak isteriz. Fakat diğer taraftan sıfırın kuvvetlerini sırayla alırsak buradan da 0 sonucuna ulaşırız. 0⁵=0, 0⁴=0, 0³=0, 0²=0, 0¹=0 Bu örüntüde kuvveti 0'a doğru götürdüğümüzde 0⁰ için doğal olarak 0⁰=0 demek isteriz. Ama bu söz, önceki açıklama {a⁰=1 (a ≠ 0)} ile {0⁰=0} iki  farklı matematiksel sonuç olarak aynı noktada  (0⁰=1 veya 0⁰=0 şeklinde) çelişir. İşte bu nedenle 0⁰ ifadesi matematikte kullanım yerine göre değişir. Özellikle limitlerde belirsiz biçim olarak kabul edilirken kombinasyon hesaplarında 0⁰=1 olarak kabul edilir. Matematiksel olarak bu açıklamalara göre 0⁰ ifadesi, kullanım kolaylığı açısından genel anlamda belirsiz olarak kabul edilmiştir.

0⁰ ifadesi için kesinlikle 0 veya 1 dir demek doğru olmaz. Çünkü matematiğin farklı alanlarında bu ifade farklı amaçlarla ele alındığında hesaplamalar daha kolay olabilir. Örneğin kombinasyon hesabında ve bazı cebirsel yapılarda (0⁰=1) kabul edilmesi, birçok formülün tutarlı ve sade biçimde çalışmasını sağlar. Kombinasyon konusunda 0⁰ ifadesiyle karşılaşıldığında, (0⁰=1) kabul edilmesinin nedeni; boş bir kümeden seçim yapma durumunun sadece tek yolu olduğunu göstermektir. Örneğin 0 elemanlı bir kümeden 0 eleman seçmek C(0,0) anlamına gelir ve bunun yalnızca "hiç eleman seçmemek" şeklinde ifade edebilmek için "bir yol vardır" denir. Kombinasyon formülünde C(n,r) = n!/[(n-r)!.r!] ifadesinde n ve r  yerine 0 yazılıp işlem yapıldığında C(0,0)=1 olur. Kombinasyonların üreteç fonksiyonlarında veya benzer formüllerde 0⁰ ifadesi ortaya çıktığında işlemlerin tutarlı olması için bu nedenle 0⁰=1 kabulü kullanılır. Yani burada 0⁰=1 olması, günlük matematikteki genel bir üs kuralından olmayıp kombinasyon ve benzeri alanlarda yapılan özel bir tanımdan kaynaklanır. Kombinasyonda seçim yaparken karşılaşılan faktöriyeldeki 0!=1 değeri, yokluktan 1'e ulaşılması anlamına gelmez. Tamamen faktöriyelin tanımından kaynaklanan bir durumun sonucu olarak 0!=1 olur. 

 

Peki 0! neden 1'dir?

Faktöriyel, bir doğal sayının kendisinden başlayarak 1’e kadar olan tüm doğal sayılarla çarpılmasıdır. n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)......3.2.1 Faktöriyel, sayının yanına ünlem işareti (!) konularak gösterilir. 0! = 1 olarak kabul edilir çünkü faktöriyel tanımının düzenli bir şekilde devam etmesi gerekir. Örneğin 5!=5×4×3×2×1=120, 4!=4×3×2×1=24, 3!=3×2×1=6, 2!=2×1=2 ve 1!=1’dir. Ayrıca faktöriyel için tanımda n!=n×(n−1)! bağıntısı kullanılır. Bu bağıntıda n yerine 1 yazarsak 1! = 1×0! olur. 1! zaten 1 olduğuna göre işlemde  1=1×0! olur ki bu durumda  mecburen 0!=1 olmak zorundadır. Bu nedenle 0! matematikte 1 olarak tanımlanır. 

Negatif sayılarda ise faktöriyel kavramı işlemez çünkü faktöriyel, bir sayıyı kendisinden başlayarak 1’e kadar olan pozitif tam sayılarla çarpma işlemi olarak tanımlandığından, negatif bir sayıya geldiğimizde bu sayıdan 1’e doğru ilerlerken doğal sayılar üzerinden bu çarpım işlemini sürdüremeyiz. n!=n×(n−1)!bağıntısını geriye doğru kullanırsak, 0!=1 olduğundan genel olarak negatif tam sayıların faktöriyeli tanımlanmaz. 0!=0×(-1)! olur ve burada (-1)!=0!/0 şeklinde sıfıra bölme işlemi ortaya çıkar. 0 ile bölme işlemi tanımsız olduğundan negatif tam sayıların faktöriyeli tanımlı olmaz. Ancak faktöriyel kavramı Gamma fonksiyonu ile genişletilerek kesirli ve negatif tam sayı olmayan sayılar için de tanımlanabilir. Faktöriyel kavramı, tam sayılarda çalışan bir örüntüyken, Gamma fonksiyonu integral yardımıyla tanımlanan ve tamsayılarda tanımlı bu faktöriyel örüntüsünü koruyarak faktöriyel kavramını daha geniş bir sayı kümesine taşıyan bir fonksiyon çeşididir.

 

[Bkz: 0/0 neden belirsizdir?]

 

Kombinasyon için 0⁰=1 iken buna karşılık kalkülüste (0⁰=belirsiz) biçimindeki bir limit gördüğümüzde yalnızca tabanın ve üssün 0'a yaklaştığını bilmek yeterli olmaz. Böylece sağ ve soldan limit incelemelerini yaparsak limit hesabında 0⁰ sayısını belirsiz olarak kabul ederiz. 

Kalkülüste 0⁰ neden belirsizdir?

Kalkülüste 0⁰ belirsiz bir biçim olarak kabul edilir, çünkü limitlerde tabanın ve üssün sıfıra yaklaşması sonucu her zaman aynı değeri vermez. Örneğin lim{x→0⁺} x^x ifadesinde hem taban hem de üs sıfıra yaklaşır. Logaritma kullanarak x^x = e^x.lnx şeklinde yazılır ve x.lnx fonksiyonu x→0⁺ için limiti sağdan sıfıra yaklaştığından x^x için limit e⁰=1 olarak bulunur. Ancak 0⁰ biçimindeki her limitin sonucu 1 olmak zorunda değildir; farklı ifadeler farklı sonuçlara ulaşabilir. Örneğin lim{x→0⁺} [e^(-1/x)]^(x) ifadesinde hem taban ve hem üs sıfıra yaklaşır. Bu ifade [e^(-1/x)]^(x)= e^-1 = 1/e olduğundan lbu fonksiyon için imit 1/e olarak bulunur, böylece 0⁰ biçimindeki bu [e^(-1/x)]^(x) fonksiyonun limiti 1/e olur ki önceki fonksiyondan farklı bir sonuç olur. Fonksiyon değiştikçe ortaya çıkan 0⁰ belirsizlik durumları için limit durumu da farklı değerler alabilir. Bu nedenle kalkülüste 0⁰ ifadesi tek başına belirli bir sonucu göstermediği için “belirsizlik” olarak adlandırılır. 

Sonuç olarak 0⁰ hikâyesi bize önemli bir matematiksel düşünceyi öğretir: Bir ifadenin anlamını yalnızca görüntüsüne bakarak değil, hangi bağlamda, hangi şartlar içinde ve hangi kurallar eşliğinde kullanıldığına bakarak belirlemek önem taşır.