1 den büyük asal olmayan bir tamsayının
rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta
bulunan tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu
tür sayılara Smith sayısı denir.
Örnek: ( 121 bir Smith sayısıdır. )
121 = 11 * 11
1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 4
Örnek: ( 166 bir Smith sayısıdır. )
166 = 2 * 83
1 + 6 + 6 = 2 + 8 + 3
13 = 13
Bu sayılarla ilgili çıkmış bir üniversite
sorusu bile vardır. 2005 yılında yapılan tek basamaklı sınav sisteminde ÖSS de
bu şekilde tanımı verilerek hazırlanmış bir soru karşımıza çıkmaktadır.
Lehigh Üniversitesi Matematik Bö-lümü’nde öğretim üyesi olan Albert
Wilansky, 1982 yılında üvey kardeşi Herold Smith’i aramak için telefonun başına
geçer ve numaraları çevirir: 4-9-3-7-7-7-7-5. Bir yandan kardeşi ile
konuşurken bir yandan da alışkanlığı nedeniyle telefon numarası 4937775′i asal
çarpanlarına ayırmaya başlar. Konuşmalar olağan seyrinde devam ederken bir
anda Wilansky durgunlaşır ve kardeşinin söylediklerine tepki vermemeye
başlar. Sayıyı çarpanlarına ayırdığı kağıtta gözü eşitliğe takılmıştır:
4937775 = 3 x 5 x 5 x 65837. Eşitliğin her iki tarafındaki rakamları
topladığında kalbi hızlı hızlı atmaya başlar ve gözlerine inanamaz:
4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Kardeşine hiçbir şey söylemeden büyük
bir heyecanla telefonu kapatır ve aynı özellikte benzer sayılar aramaya başlar.
Görür ki keşfettiği özelliğe sahip sonsuz tane sayı bulunmaktadır. O günün
anısına Wilansky, rakamları toplamı asal çarpanlarının rakamlarının toplamına
eşit olan sayılara “Smith Sayıları” adını
verir.
Her asal sayının sadece bir tane asal çarpanı olduğu için (o da sayının
kendisidir) tüm asal sayılar aslında birer Smith Sayısı’dır. 10000′den küçük
sayılara baktığımızda da 376 adet Smith Sayısı olduğunu görürüz:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382,
391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654,
663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958,
985, 1086, 1111,1165……
Smith Sayıları’nın keşfinin ardından yapılan çalışmalarla bu sayılar
arasında başka ilginç özelliklere sahip sayı grupları tanımlanmıştır. Örneğin
sadece iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen Smith Sayıları’na “Yarı Asal Smith Sayıları” adı verilmiştir.
121 sayısı bir yarı asal Smith Sayısı’dır. 121 = 11 x 11 ve 1+2+1 =
1+1+1+1.
Diğer bir ilginç grup ise Palindromik Smith Sayıları’dır. Bu
sayılar baştan ve sondan okunduklarında aynı değeri veren sayılardır. 666
sayısı hem bir Smith Sayısı’dır.
(666 = 2x3x3x37) hem Smith sayısı hem de
palindromik özelliği bulunmaktadır.
Örnek: Yukarıda
bahsi geçen sayıyı 4937775 sayısını kullanırsak;
4937775 = 3 * 5 * 5* 65837
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 +
5 + 8 + 3 + 7
42 = 42 (4937775 bir
Smith sayısıdır. )
Peşi sıra gelen Smith sayılarına
da 728 ve 729, 2964 ve 2965 gibi sayılara da "smith kardeş sayıları" denir.
Bilgisayar yardımıyla bir
sayının Smith sayısı olup olmadığı bulunabilir. Bunun için java kodlama
sistemine göre aşağıda verilen kodlama yapılarak bir algoritma oluşturulabilir.
public static boolean Smith(int sayi) {
int gecici = sayi, i;
int asal_carpanlar = 0;
for (i = 2; gecici > 1; i++) {
if (gecici % i == 0) {
gecici /= i;
asal_carpanlar += i;
i--;
}
}
return basamak_toplami(asal_carpanlar) == basamak_toplami(sayi);
}
public static int basamak_toplami(int sayi){
int toplam = 0;
while (sayi > 0) {
toplam += sayi % 10;
sayi /= 10;
}
return toplam;
}
