Çokgenden Pi Sayısına

Pi sayısı, matematikte ilginç bir sayıdır. Herhangi iki sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen yani Rasyonel olmayan iraasyonel bir matematik sabitidir. Kısaca tanımlamak gerekirse bir pi sayısı; çemberin çevre uzunluğunun çapına bölümü olarak ifade edebiliriz. 

Pi sayısı için çokgenlerden yola çıkılarak sezgisel olarak yaklaşık bir değere ulaşılabilir. Düzgün çokgenler kullanılarak çevre uzunlukları çap diyebileceğimiz ağırlık merkezlerini herhangi bir köşeye birleştiren doğru parçasına bölerek işlemi sonsuza kadar devam ettiğimizde pi sayısının bilinen 3.14159265359.... değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu işlem defalarca çeşitli çokgenler için denendiğinde pi'nin değeri ortaya çıkar. 

Armstrong Sayısı (Narsistik Sayılar)

Armstrong Sayısı Nedir? Armstrong sayıları, ismini Amerikalı matematikçi Michael F. Armstrong’dan almıştır. Armstrong, 1969 yılında bir matematik yarışmasında bu tür sayıları tanımlamıştır. Bu çeşit sayılar aslında daha öncesinden bilinmektedir. Hindu-Arap rakamlarının kullanımı ile ilgili eski eserlerde bu çeşit sayılara rastlanılmıştır. Armstrong, bu tür sayıları matematik dünyasında popüler hale getiren kişi olduğundan bu sayılar onun ismi ile anılmıştır. Armstrong sayılarına narsistik sayılar da denilmektedir. Herhangi bir sayı tabanındaki, her bir basamağı sayıdaki basamak sayısının kuvveti alınarak elde edilen bütün kuvvetler toplanıldığında eğer toplam sonucu aynı sayının kendisini veriyorsa bu sayı Armstrong sayısı olur. Sayıların tabanı farketmez. 2lik, 3lük, 4 lük ...şeklinde her tabanda bu tanıma uygun sayılar elde edilir. Sayının belirli bir sayı tabanındaki davranış biçimi nedeniyle Armstrong sayıları; bilgisayar yazılımcıları ve yeni bir programlama dili öğrenenler için özel bir ilgi alanı haline gelmiştir.

Asal Sayılar ve Bölen Durumları

Matematik öğretmeni Mehmet Arslan Hocamızın kendi el yazısı ile oluşturduğu, asal sayı ve bölen sayıları için örnek problemlerin ve özelliklerin oluşturduğu karalamaları sizinle paylaşıyoruz.Güzel el yazısı ve kısa özeti için kendisine teşekkürü bir borç biliriz. Yazımız gayet okunaklı olduğu için ayrıca bir açıklamaya gerek duymadan bu şekliyle istifade etmenizi umuyoruz.

Smith Sayısı (Wilansky)

1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan  tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür   sayılara Smith sayısı denir.

Örnek: ( 121 bir Smith sayısıdır. )

121  = 11 * 11          

1 + 2 + 1  =  1 + 1 + 1 + 1            

4 = 4     

Örnek: ( 166 bir Smith sayısıdır. )

166 = 2 * 83      

1 + 6 + 6  = 2 + 8 + 3               

13  = 13    

Bu sayılarla ilgili çıkmış bir üniversite sorusu bile vardır. 2005 yılında yapılan tek basamaklı sınav sisteminde ÖSS de bu şekilde tanımı verilerek hazırlanmış bir soru karşımıza çıkmaktadır. 

Lehigh Üniversitesi Matematik Bö-lümü’nde öğretim üyesi olan Albert Wilansky, 1982 yılında üvey kardeşi Herold Smith’i aramak için telefonun başına geçer ve numaraları çevirir: 4-9-3-7-7-7-7-5.  Bir yandan kardeşi ile konuşur­ken bir yandan da alışkanlığı nedeniyle telefon numarası 4937775′i asal çarpan­larına ayırmaya başlar. Konuşmalar ola­ğan seyrinde devam ederken bir anda Wilansky durgunlaşır ve kardeşinin söy­lediklerine tepki vermemeye başlar.  Sayı­yı çarpanlarına ayırdığı kağıtta gözü eşit­liğe takılmıştır:

4937775 = 3 x 5 x 5 x 65837. Eşitliğin her iki tarafındaki ra­kamları topladığında kalbi hızlı hızlı at­maya başlar ve gözlerine inanamaz: 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Kardeşine hiçbir şey söylemeden bü­yük bir heyecanla telefonu kapatır ve ay­nı özellikte benzer sayılar aramaya baş­lar. Görür ki keşfettiği özelliğe sahip sonsuz tane sayı bulunmaktadır.  O gü­nün anısına Wilansky, rakamları toplamı asal çarpanlarının rakamlarının toplamı­na eşit olan sayılara “Smith Sayıları” adı­nı verir.

Her asal sayının sadece bir tane asal çarpanı olduğu için (o da sayının kendi­sidir) tüm asal sayılar aslında birer Smith Sayısı’dır. 10000′den küçük sayı­lara baktığımızda da 376 adet Smith Sa­yısı olduğunu görürüz: 

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111,1165……

Smith Sayıları’nın keşfinin ar­dından yapılan çalışmalarla bu sayılar arasında başka ilginç özelliklere sahip sayı grupları tanımlanmıştır. Örneğin sa­dece iki asal sayının çarpımı şeklinde ya­zılabilen Smith Sayıları’na “Yarı Asal Smith Sayıları” adı verilmiştir. 

121 sayısı bir yarı asal Smith Sayısı’dır. 121 = 11 x 11 ve 1+2+1 = 1+1+1+1. 

Diğer bir ilginç grup ise Palindromik Smith Sayıları’dır. Bu sayılar baştan ve sondan okundukla­rında aynı değeri veren sayılardır. 666 sayısı hem bir Smith Sayısı’dır.

 (666 = 2x3x3x37) hem Smith sayısı hem de palindromik özelliği bulunmaktadır.

Örnek:  Yukarıda bahsi geçen sayıyı 4937775 sayısını kullanırsak; 

4937775 = 3 * 5 * 5* 65837          

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7                 

42 = 42  (4937775 bir Smith sayısıdır. )

Peşi sıra gelen Smith sayılarına da  728 ve 729,  2964 ve 2965 gibi sayılara da "smith kardeş sayıları" denir.

Bilgisayar yardımıyla bir sayının Smith sayısı olup olmadığı bulunabilir. Bunun için java kodlama sistemine göre aşağıda verilen kodlama yapılarak bir algoritma oluşturulabilir.

public static boolean Smith(int sayi) {

    int gecici = sayi, i;

    int asal_carpanlar = 0;

  

    for (i = 2; gecici > 1; i++) {

     if (gecici % i == 0) {

      gecici /= i;

      asal_carpanlar += i;

      i--;

     }

    }

    return basamak_toplami(asal_carpanlar) == basamak_toplami(sayi);

   }

   public static int basamak_toplami(int sayi){

    int toplam = 0;

    while (sayi > 0) {

     toplam += sayi % 10;

     sayi /= 10;

    }

    return toplam;

   }

Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.


Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Allah'ın dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar, yani 28 gün olması da var. 

Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarında Nicomachus ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır. (1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 

2- Bütün mükemmel sayılar çifttir 

3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 

4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2^k-1.(2^k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 

5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır. 

Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır. Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını (23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212 (213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. Bulunan 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. 6. mükemmel sayı, 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından, mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi (1603) idi: 216 (217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218 (2191)=137438691328.

Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^p-1 . (2^p-1) sayısı mükemmel bir çift sayıyı verir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2 için 2¹(2.²−1) = 6
p = 3 için 2^3-1(2³−1) = 28
p = 5 için 2^5-1(2⁵−1) = 496
p = 7 için 2^7-1(2⁷−1) = 8128.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardır: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. 

Bu sayılar dışında başka mükemmel sayıların (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır.

Mutlu Sayılar Nedir?

"Sayının mutlusu, mutsuzu olur mu?" demeyin hemen. oluyor. madem mutlu sayı oluyor, neye göre oluyor? matematiksel açıdan bir açıklaması var tabi bunun. Aslında ciddi bir matematik ifadesi olarak bakılmayabilir duruma ama mutlu sayı ifadesi; özel ve sezgisel durumlar incelenerek geniş yelpazede düşünülmüş ve matematikte son yıllarda ortaya çıkmış yeni bir kavramdır.mutlu sayı; bir pozitif tamsayının rakamlarının karesi alınıp topladığımızda ve bu işlemi bir kaç kere gerçekleştirdiğimizde bu kare toplamları 1'e eşit oluyorsa o sayı mutludur. Eğer 1'e eşit değil ise o sayı mutsuzdur.Mutlu Sayılar kavramı son yıllarda ortaya çıkmış bir konudur. İlk tanımı şu sekilde yapılmıstı: "Bir pozitif tam sayı alalım.Bu sayının rakamlarının karelerini toplayarak yeni bir sayı elde edelim bu sekilde çıkan her yeni sayıya aynı işlemi uygulayalım. Eger çıkan sayılardan 1'e ulaşıyorsak aldığımız sayı mutludur."

Şu ana kadar yapılan çalışmalarda bazı özelliklerin çıkarılması dısında pek fazla ilerleme kaydedilmemistir. Ilk önce yaygın olan tanım genişletilmiş ve yeni kavramlar eklenmiştir. Farklı taban ve üsler kullanildığından birçok genellemeler yapılabilmiştir. Özelden genele dogru kanıtlamalar yapılmıştır. Bu genellemelerle de sezgisel olarak anlaşılabilen özel durumların matematiksel açıklamaları yapılmıştır. Bilgisayar verileri de kullanılarak yeni sonuçlar elde edilmiştir. Çalışmamızın sonuçlarının en önemlileri bütün sayılan belli koşullar altında belirli aralıklara düştügü, birçok genellemenin de bu aralıkta ispatlanabileceğidir. Bu önemli bilgi kullanılarak bizim gösterdiklerimiz dışında daha birçok özellik bulunabilir. Aynca bilgisayar verilerinin de matematiksel sonuçları doğruladığı ve bunun yanında yeni özelliklerin ortaya çikarılmasıyla ilgili ipuçları verdiği görülmüştür.

Bütün sayıların yaklaşık olarak 1/7 si mutludur. insanoğlunun mutluluk oranı ile karşılaştırırsak oldukça iyi durumdalar.

mutlu sayıya örnek olarak;, sayımız 7 olsun.

7 → (7²=49)

49 → (4²+9²=97)

97 → (9²+7²=130)

130 → (1²+3²=10)

10 → 1

.:. 7 sayısı mutlu bir sayıdır.

:::>139 özel bir sayıdır, çünkü hem asal sayıdır hem de mutlu sayıdır.

139 mutludur çünkü 139 sayısının rakamları 1,3 ve 9 ile başlıyoruz

1² + 3² + 9² = 91, 91 sayısının rakamları 9 ve 1 ile devam ediyoruz

9² + 1² = 82, 82 sayısının rakamları 8 ve 2 ile devam ediyoruz

8² + 2² = 68 68 sayısının rakamları 6 ve 8 ile devam ediyoruz

6² + 8² = 100 100 sayısınının rakamları 1,0 ve 0 ile devam ediyoruz

1² + 0² + 0² = 1 son bulduğumuz cevap 1 olduğu için 139 mutlu sayıdır.

:::> bakalım 4 mutlu mu?

4→(4²=16)

16→(1²+6²=37)

37→(3²+7²=58)

58 →(5²+8²=89)

89→(8²+9²=145)

145→(1²+4²+5²=42)

42→(4²+2²=20)

20 →4

.:. 4 sayısı mutsuz bir sayıdır.

:::> 28 de mutlu bir sayıdır.

28→22+82=4+64=68

68→62+82=36+64=100

100→12+02+02=1

.:.28 sayısı mutlu bir sayıdır.

:::> 32 de mutludur.

32→32+22=9+4=13

13→12+32=1+9=10

10→12+02=1+0=1

.:. 32 de mutludur.

19 sayısını ele alalım.

1^2 + 9^2 = 82

8^2 + 2^2 = 68

6^2 + 8^2 = 100

1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Sizler de başka mutlu sayılar bulabilir misiniz?

Bir sayı mutlu ise 1'e giden yolda elde edilen tum sayilarin da mutlu oldugu rahatca gorulur.. üstüne herhangi bi mutlu sayinin rakamlarinin herhangi bi permutasyonunun da mutlu oldugu farkedilir. (misal 19 mutlu -> 91 de mutlu)..

Buradan aslında "1" e çıkan durumlarda sayılar bile mutlu olabiliyorsa akla şu gelir ki yolu mutlak manada varlığın simgesi olan "BİR"e çıkan insan da tıpkı sayılar gibi mutlu olabilir. Mutlu olmak istiyorsak eğer; bize düşen görev yolumuzu, "BİR"e "BİR" olana, tek olan yaratıcıya ne şekilde olursa olsun yolumuzu çıkarmaktır.

Mutlu sayılar hakkında Javascript kodu ile algoritması da yazılabilir. Aşağıda döngülere göre optimize edilmiş ve edilmemiş algoritmalar verilmiştir. İnceleyebilirsiniz.

optimize olmayan kodlama çözümü

+function isHappyNumber(num) {
  num = num.toString().split('');
  var sum = 0;
for(i=0; i<num.length; i++) {
    sum+= num[i] * num[i];
  }
if(sum==0) {
    return true;
  } else {
    try {
      return isHappyNumber(sum);
    } catch(error) {
      return false;
    }
  }
}(19);

optimize çözüm

var sumArray = [];
+function isHappy(n) {
    n = n.toString().split('');
    var sum = 0;
    for(var i =0; i<n.length; i++)
        sum += +n[i] * +n[i];
if(sum==1) {
        return true;
    } else {
        if(sumArray.indexOf(sum)===-1) {
            sumArray.push(sum);
            return isHappy(sum);
        } else {
            return false;
        }
    }
}(13);

Pi Sayısı (3,1415926...)

Çoğumuz, resim yaparken dağların ardından parıldayan güneşi, altın sarısı bir daire; gece nuruyla arzı aydınlatan dolunayı da beyaz bir daire olarak çizmişizdir. İrili ufaklı çemberlerin, renk renk dairelerin resimlerimize kattığı güzelliğin farkına varmış, geometri derslerinde çoğumuz farklı boyutlardaki bu dairelerin ortak sırrı olan, çevresinin çapına oranını ifade eden π (Pi sayısı) sayısını öğrenmişizdir. Bu sabit sayı, Yunan alfabesinin 16. harfi olan "pi" sembolü ile gösterilir. Sezgisiel olarak pi sayısının değerini, bir sicim kullanılarak yapılan basit bir ölçmeyle, "yaklaşık" olarak 22/7 yani 3,142857142857... olduğu görebiliriz. Fakat bulunan bu değer, pi'nin gerçek değeri değildir. Ölçme büyüklüğü önemli olmayan herhangi bir çember çizilir, bu çemberin çevresi ile eşit uzunlukta bir ip temin edilir. Daha sonra ip, çemberin çapı uzunluğunda parçalara ayrılır, görüleceği gibi çap uzunluğunda 3 parça ile çapın yedide birinden biraz kısa bir parça ip elde edilir. Böylece çemberin çevresinin çapına oranı olan pi sayısının, 3 tam 1/7 yani 22/7'den biraz daha küçük bir sayı olduğu görülmüş olur. Fakat bulunan 1/7 ve 2/7 sayıları rasyonel bir sayıdır ve bu tip sayılarda virgülden sonraki basamaklar tekrar ettiği takdirde blok şeklinde sonsuza kadar devirli olarak aynen tekrar eder. π (Pi) sayısı veya e gibi irrasyonel sayılarda ise, virgülden sonraki basamaklar sonsuza kadar sürekli değişir (kaotik şekilde) ve bir kurala tâbi olmaz.

Çoğumuzun hafızasında pi sayısı 3,14 veya 22/7 olarak yer etmiş olsa bile, pi'nin gerçek değeri bunların ikisi de değildir. Peki bu sayı, yani π (pi sayısı) tam olarak kaçtır? İşte bu soru, pi sayısını tam olarak hesaplamak isteyenleri uzun yıllar boyunca meşgul etmiştir. Bilim ve teknolojinin bu kadar ilerlediği günümüzde bile halen pi sayısının basamakları araştırılmaktadır. Bir çemberin çapına oranının tam olarak hesaplanamaması, işlem sonsuza kadar devam ettiği için ilâhî hikmetleri açısından üzerinde düşünülmeye değer bir husustur.

Tarih boyunca matematikle ilgilenen birçok insan, pi sayısını hesaplamak için yıllarını vermiştir. ip sayısının 3,141592653589793238... şeklinde sonsuza kadar devam eden bir ondalık rakam serisi olduğu bilinmektedir. Virgülden sonra sonsuz sayıda basamak olduğu ve bir sayının sonsuza oranının sıfır olduğu göz önüne alınırsa, trilyonuncu basamağın bulunmasının bile p'nin bütün serisini bulmaya nispeten ne kadar önemsiz olduğu daha iyi anlaşılabilir. Buradan sonsuza uzanan bir seriyi araştırmanın pratik bir faydasının olmadığı da anlaşılacaktır.

pi sayısının bazı basamakları:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998

62803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410

27019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019

09145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920

96282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575

95919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119

49129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752

38467481846…

En hassas hesaplamalarda bile belli bir basamaktan sonrası önemini yitirdiği halde, insanlar niçin pi'nin sonsuza giden basamaklarını bilmek istiyor? Bu sorunun cevaplarından biri, muhtemelen, insanın sınırları ölçme isteği ve sonsuzu anlama iştiyakıdır. Bu sayı ile Yüce Yaratıcı'nın kâinatta vazettiği kanunlar arasında bir münasebet olduğunu düşünenler, bu sayının basamaklarında sanki bir işaret, bir mesaj aramışlardır. "Allah, kanunlarını her zaman geometri ile vazetmiştir." diyen Eflatun da onlardan biridir.

Pi sayısının içinde her türlü sayı kombinasyonu vardır. Bunun için bir site bile kurulmuş. Yazdığınız herhangi bir sayıyı Pi sayısının içinde aratarak hangi basamakta yer aldığını bulabiliyorsunuz. 

Pi Search   https://katiesteckles.co.uk/pisearch/

 

π (Pi sayısı) ile ilgili daha fazla yazıları aşağıdaki bağlantılardan okuyabilirsiniz...

Pi Sayısının tarihçesi

Çokgenden Pi Sayısına

Altın Oranın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler

Altın oran, matematikte ve sanatta, bir bütünün parçaları arasındaki en uyumlu ve dengeli oran olarak kabul edilen özel bir sayısal orandır. Bu oran, eski Mısırlılar ve Yunanlar tarafından keşfedilmiş ve mimaride, sanatta sıkça kullanılmıştır. Altın oran, aynı zamanda Fibonacci dizisinin terimleri büyüdükçe birbirine yaklaşan yaklaşık değeri olarak da bilinir. 

Bir doğru parçası olan |AB|, altın orana uygun şekilde iki parçaya ayrılmak istendiğinde, bu bölünme noktası |C| öyle seçilir ki küçük parçanın uzunluğu |AC|, büyük parçanın uzunluğu |CB|'ye oranı, büyük parçanın uzunluğu |CB|'nin tamamına yani |AB|'ye oranına eşit olur. Matematiksel olarak bu durum |CB| /|AC| veya |AB| / |CB| şeklide oranlanarak ifade edilir ve bu oran 1.61803...gibi sabit bir sayıya yaklaşır. Bu sayı (Fi) sayısı olarak tanımlanır ve Yunan alfabesinin Φ harfiyle gösterilir. Fi sayısı, matematikte altın oran olarak bilinen özel bir sayıdır. Fi sayısı, doğada, sanatta, mimaride ve matematikte uyum ve estetik için ideal oran olarak kabul edilir. Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894... şeklinde devam eder. 

 

(Altın oran hakkında daha ayrıntılı bilgi elde etmek için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Altın Oran)

 

Altın oranın görülebildiği bazı yerler:

1) Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir. Ayçiçeğinde tohumlar, altın açıya göre dizilmiştir ve bu sayede tohumlar birbirine en verimli şekilde yerleşir. Bu düzen, hem sağa hem sola doğru sarmal çizgiler oluşturur ve bu sarmalların sayıları ardışık Fibonacci sayılarıdır. Böylece ayçiçeği tohumlarının diziliminde doğrudan altın oran ve Fibonacci dizisi kendini gösterir.

Altın Oran (1,618033.... )

Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze estetik gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki oran olarak kullanılabilir. Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir. Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir: Altın oran, bir sayının kendisine 1 eklenmesiyle sayının karesine eşit olma durumudur. x²-x-1=0 denkleminin pozitif kökü altın oran olarak ifade edilir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden irrasyonel sayıdır.  

 

Altın oranın tam olarak ilk ne zaman kullanıldığına dair kesin bir bilgi yoktur. Matematik ve fizik çalışmalarında tarihin ilk dönemlerinden beri kullanıldığı gözlemlenmiştir. Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), "Elementler" adlı kitabında, bir doğruyu 1,6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, "bir doğruyu "önemli oranda bölmek" diye adlandırmıştır. Mısırlılar, çok daha eski zamanlarda farklı mimari tasarımlarda ve geometrik hesaplamalarda hem pi sayısını (π) hem de Fi (φ) oranını kullanmışlardır. Yunanlar, Parthenon'un tüm tasarımını, altın orana uygun biçimde planlamışlardır. 

 

Altın oran, ünlü Yunan heykeltıraş Phidias’ın eserlerinde sıkça kullandığı bir oran olduğu için, onun anısına Yunan alfabesindeki "Fi" harfi (φ) ile sembolleştirilmiştir. Bazı tarihçilere göre, altın oran Grek dünyasına ilk olarak Pisagor ve takipçileri tarafından tanıtılmıştır. Ancak Fi (φ) sayısını ilk olarak kimin tanımladığı kesin olarak bilinmemektedir. 1900’lü yıllarda Amerikalı matematikçi Mark Barr, bu oranı simgelemek için Phidias’a ithafen Yunan alfabesindeki “Fi” harfini kullanmaya başlamıştır. Bu sembol, zamanla matematiksel ve estetik çalışmalarda yaygın olarak kabul görmüştür. Bazı kaynaklarda "Fi" harfinin, Fibonacci'nin baş harfi olan “F” ile ilişkilendirilerek kullanıldığı iddia edilse de, bu bağlantı tarihsel olarak doğru değildir. Ayrıca, altın oranı ifade etmek için zaman zaman Yunanca’da "ölçü" anlamına gelen “το” (to) kelimesi de kullanılmıştır. Ancak günümüzde φ (Fi) sembolü, altın oranı temsil etmede evrensel olarak kabul görmüş durumdadır.

(Bkz. Altın oranın görüldüğü yerler) 

M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış olan Pisagor ve takipçileri, doğada, müzikte, matematikte ve özellikle geometrik şekillerdeki orantılar ve sayılar üzerine çalışmışlardır. Özellikle pentagram (beş köşeli yıldız) Pisagorcular için özel bir sembol olmuş ve bu şeklin içindeki uzun-kısa çizgilerin oranlarıyla altın oranı kullanmışlardır. Sözün doğruluğu kesin olmamakla birlikte Pisagor'un altın oranla ilgili şunu söylediği rivayet edilir: "Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir." 

Altın oran, matematiğin estetik üzerindeki etkisinin görüldüğü çok farklı alanlarda karşımıza çıkar. Altın oran, bir doğru parçasının belirli bir noktadan öyle bir şekilde bölünmesidir ki, küçük parçanın uzunluğunun büyük parçaya oranı, büyük parçanın tüm doğruya oranına eşit olur. Yani, bir doğruyu iki parçaya ayırdığınızda, küçük parçanın büyük parçaya oranı ile büyük parçanın tamamına olan oranı birbirine eşitse, bu doğru parçası altın orana göre bölünmüş demektir. Bu oran yaklaşık olarak 1,618 sayısına eşittir ve doğada, sanatta ve mimaride sıkça karşımıza çıkar. Bu özel oran, uyum ve estetiğin matematiksel karşılığı olarak kabul edilir. Altın orana göre bölünmüş bir doğru parçası, simetri ve denge açısından en kusursuz oranlardan biri olarak görülür.