Euler'in Matematik Çalışmaları

1. Analiz ve Kalkülüs: Euler, türev ve integral kavramlarının kullanımını sistematik hâle getirmiştir. Sonsuz seriler, limitler ve sürekli fonksiyonlar üzerine çalışmalar yapmış, e sayısını ve doğal logaritmayı matematiksel olarak formüle etmiştir. Özellikle Euler’in üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile ilgili çalışmaları, modern analiz temellerini atmıştır.

2. Cebir ve Sayı Teorisi: Euler, polinomlar ve denklemler üzerinde çalışmalar yapmış, asal sayıların dağılımı üzerine araştırmalar yürütmüş ve Euler totient fonksiyonunu tanımlamıştır. Fermat’ın küçük teoremi ve karmaşık sayıların cebirsel özellikleri üzerine katkılarda bulunmuştur. Karmaşık analiz alanının öncülerinden biridir.

3. Geometri ve Trigonometri: Düzlem ve uzay geometri problemlerini çözmüş, trigonometri fonksiyonlarının seri ve integral temellerini geliştirmiştir. Euler formülü, e^(iθ) = cosθ + i·sinθ, karmaşık sayıların trigonometrik temsiline öncülük etmiştir. Ayrıca üçgenler ve çokgenler ile ilgili birçok geometri teoremini ortaya koymuştur.

4. Graf Teorisi ve Kombinatorik: Köprüler problemiyle başlayan çalışmaları modern graf teorisinin temelini oluşturmuştur. Kombinatorik analiz ve olasılık kuramı üzerine de çalışmalar yapmış, permütasyon ve kombinasyonların matematiksel yapılarını geliştirmiştir.

5. Mekanik ve Fizik: Klasik mekaniğin matematiksel temellerini atmış, uzay-zaman sürekliliği ve hareket yasaları üzerine modeller geliştirmiştir. Akışkanlar mekaniği, hidrodinamik ve astronomi alanlarında formüller üretmiş, Ay’ın ve gezegenlerin hareketleri üzerine hesaplamalar yapmıştır.

6. Optik ve Mühendislik Uygulamaları: Köprülerin ve makine parçalarının dayanıklılık hesaplamalarına dair matematiksel yöntemler geliştirmiştir. Elektrik, makine ve havacılık mühendisliği gibi alanlarda uygulamalı matematiksel formüller sunmuştur.

7 . Astronomi: Euler, gezegenlerin ve uyduların yörüngeleri üzerine hesaplamalar yapmış, özellikle Ay teorisi üzerine detaylı çalışmalar gerçekleştirmiştir. Bu çalışmalar, hem teorik astronomi hem de gözlemsel astronomi için temel oluşturmuştur.

8. Fonksiyon Teorisi ve Sonsuz Seriler: Euler, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların sonsuz serilerle ifade edilmesini sistematik hâle getirmiştir. Matematiksel analizde serilerle çalışma yöntemlerini derinleştirmiştir.

9. Matematiksel İspatlar: Euler, birçok klasik matematik teoremini formüle etmiş ve ispatlamıştır. Özellikle sayı teorisi, kombinatorik ve geometri alanlarındaki kuramları modern matematiğin temel taşları hâline gelmiştir.

10. Uygulamalı Matematik: Euler, matematiği diğer bilimlerle ilişkilendirmiştir. Tıp, botanik, kimya ve mühendislik problemlerine matematiksel çözümler sunmuş, matematiksel yöntemlerin doğa bilimlerinde uygulanabilirliğini göstermiştir.

Çemberler Yardımıyla Fraktal Oluşturma

Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. 

Fraktallar nasıl oluşturulur? Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler fraktal olarak adlandırılır. Fraktalın bir özelliği de, küçük bir parçasındaki örüntünün şeklin tamamındaki örüntüyle aynı olmasıdır. 

Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark Fraktal ve örüntü arasındaki ilişki şöyledir: Her fraktal bir örüntüdür ancak her örüntü bir fraktal değildir.
Bir örüntünün fraktal olabilmesi için:
1- Öncelikle örüntü olabilmesi için bir kurala göre ilerlemesi gerekir.
2- Örüntünün büyümesi veya küçülmesi gerekir.
3- Bir önceki şekli içinde barındırması gerekir. 

Çemberde Açı Özellikleri

Çemberde Açı Özellikleri anlatılırken, merkez açı, çevre açı, teğet kiriş açı, iç açı ve dış açının her birine ait özellikler madde madde verilmiş ardından ilgili maddenin açıklamaları ve şekilleri çizilmiştir.

1. Bir çemberde iki küçük yayın eş  olması içi gerekli ve yeterli koşul, bu yayların merkez açılarının eş olmasıdır. 
2. İki teğet arasında kalan yayın ölçüsü ile açının ölçüsü bütünlerdir .Yani ölçüleri toplamı 180 derecedir.
3. Köşesi çemberin dış bölgesinde ve kenarları çemberin keseni veya teğeti olan açıya, çemberin  dış açısı denir. Bir çemberde bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir. 
4. Bir çemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açıların her birine, çemberin iç açısı denir. Bir çemberde bir iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin  toplamının yarısına eşittir.
5. Paralel kirişler arasındaki yayların ölçüleri birbirine eşittir.
6. Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada kesen bir açıya  merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın uzunluğunun yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. 
7. Köşesi çember üzerinde olan ışınları çemberi diğer iki noktada kesen bir açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. 
8. Çapı gören çevre açısının ölçüsü 90° dir. 
9. Köşesi çember üzerinde olan ve bir kiriş ile bir teğetin belirlediği açıya   teğet – kiriş açısı  denir. Bir teğet – kiriş açısının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.
10. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıları ile çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir. 
11. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıların ölçüleri eşittir.

Çemberde Teğet ve Kiriş Özellikleri

Yazı, çemberde teğet ve kiriş kavramlarının bütününü içeren uzun bir yazıdır. Çemberde teğet ve kiriş özellikleri ile ilgili, çeşitli kaynaklarda yer alan tüm içerikler, konu bütünlüğü bozulmadan listelenmiştir. Kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeni kavramları da yazıda ayrıca açıklanmıştır. Çemberde kuvvet ve iki çemberin ortak teğet terimlerinden de kısaca bahsedilmiştir. Aşağıda çizilen her çember üzerindeki numaraya göre, çemberde teğet ve kirişin özellikleri toplu olarak kavram haritasına dönüştürülmüştür. Bu özet içerikte yer alan özelliklerin madde numarası ile ilgili açıklamalar detaylıca izah edilecektir.

Teğet: Çembere üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen doğruya denir. Yani herhangi bir çember ile herhangi bir doğrunun, ortak kesişim noktası sadece tek nokta oluyorsa bu doğru, "çembere teğettir" denir. Kiriş ise çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına denir. Bir çemberde merkezden geçen kirişe çap adı verilir ve "çap" en büyük kiriştir.

Çemberde Kuvvet fonksiyonu

Çemberde kuvvet alınırken çemberin dışında ve içinde olan noktaya göre kuvvet alma işlemi, noktanın çemberin üzerindeki noktalara uzaklığını ifade eden parçaların arasındaki orana bağlı olur. Çemberin iç bölgesinde veya dış bölgesinde alınan rastgele bir noktaya göre, kuvvet fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.

Çokgenlerde Kaplama Teknikleri

Verilen  kaplama  örneğindeki  karesel  ve  düzgün  altıgensel  bölgelerin komşu kenarları silinir. Bölgeler boyanarak  farklı  bir  kaplama  oluşturulur. (Birleştirme tekniği)Verilen kaplama örneğindeki karesel ve düzgün altıgensel bölgelerin köşegenleri çizilerek yeni bölgeler oluşturulur. Oluşan yeni bölgeler boyanarak farklı bir kaplama oluşturulur. (Bölme tekniği)Verilen kaplama örneğindeki komşu çokgensel bölgelerin merkezleri birleştirilerek yeni bölgeler oluşturulur. Oluşan yeni bölgeler boyanarak farklı bir kaplama oluşturulur.  (Dual tekniği)

Çokgenlerle Fraktal Oluşturma

Fraktal da amaç herhangi bir yerinden alınan parça ile büyük parçanın birbirine benzerlik göstermesidir. Fraktal oluşturma basamaklarına bu şekilde istediğiniz gibidevam ediniz. Çizdiğiniz fraktal sonsuza kadar aynı biçimde devam edecek bir yapıya bürünmüş olursa fraktal özelliği kazanmış olur.

Kareli kâğıda yukarıdaki fraktal görüntülerini çiziniz. (Büyük karenin  bir kenarının uzunluğunu istediğiniz kadar birim alınız.Örneğin 12 cm)
1. şekil için kareleri şekildeki gibi bir kenarın tam orta nokta sına gelecek biçimde birleştiriniz. Her seferinde karelerin küçüldüğünü göreceksiniz.
Her bir karenin köşelerine iki kare gelecek şekilde fraktal oluşturmaya devam ediniz.Karelerin bir kenarının her seferinde küçüldüğünü göreceksiniz. Karenin kenar uzunluklarını hesaplayınız. Bunun için özel üçgenden yararlanın. 12 cm kareden sonraki karenin bir kenarı için önce tam orta noktası 6 cm sonra burada oluşacak ikizkenar dik üçgen yardımıyla da diğer karenin bir kenar uzunluğu pisagor bağıntısından bulunur. (45-45-90 özel üçgeni) Bu şekilde sonsuza kadar devam edebilecek bir fraktal oluşturmuş olursunuz. İsterseniz araları boyayarak farklı bir desen oluşturabilirsiniz.
2. ve 3 şekillerde kareyi tam orta noktasından eşit karelere bölme ve diğerinde de karenin içine her seferinde bir önceki karenin kernar uzunluğunun yarısı kadar uzunlukta bir karenin tam merkeze gelecek şekilde çizilmesi ile fraktal oluşturulur.

Çokgenlerle Desen-Kaplama Oluşturma

Gündelik hayatta sıklıkla karşımıza çıkan motif örneklerinde çokgenler yardımıyla oluşturulmuş kaplama modelleri kullanılmaktadır. Kaplama modelleri yapılırken belli bir çokgenden yararlanılabileceği gibi farklı çokgenlerin bir uyumu içerisinde de kaplama yapılabilir. burada dikkat edilecek husus kaplama modeli yapılırken motifin içerisinde alınan herhangi bir köşedeki açıların ölçüleri toplamı 360 derece olmalıdır. yani bir noktada yer alan çokgenlerin iç açıları ölçüleri toplamına göre motifler düzgün bir sıralamayla sıralanmalıdır.

Örneğin bir motifte düzgün altıgen, kare ve eşkenar üçgen kullanılacaksa bunların iç açıları sırasıyla 120,90 ve 60 derece olduğuna göre sadece düzgün altıgenler yardımıyla 3 tane altıgeni bir köşede birleştirerek arı peteği gibi veya karelerden oluşmak üzere bir köşede dört kareyi birleştirerek veya bir köşede 6 adet eşkenar üçgeni birleştirerek veya bir köşede iki altıgen (120*2=240) ve 2 eşkenar üçgen (60*2=120) gibi buna benzer farklı şekilleri uygun biçimde birleştirerek kaplama yapılmalıdır. Kaplamada önemli olan bir husus da motifte hiçbir şekilde boşluk kalmamasıdır.

Bir diğer kaplama oluşturma yöntemi de eksenler yardımıyla doğru parçalarının arasında kalan kısımların kaplanarak oluşturulmasıdır. bu şekilde yapılan kaplamada öncelikle eksenler çizilir daha sonra bu eksenlerde eşit aralıklı noktalar belirlenir ve bu noktalar birbiriyle eşlenecek biçimde doğru parçaları ile birleştirilir sonra bu doğru parçalarının aralarında kalan parçalar boyanır veya uygun parçalarla kaplanır. Bu şekilde oluşturulan yöntemde dikkat edilecek husus nokta eşlemelerinin azami dikkatle yapılmasıdır.

Aşağıda farklı çokgen tipleriyle oluşturulmuş çeşitli kaplama ve desen modelleri gösterilmiştir. Dikkatle inceleyip sizlerde kendinize göre yeni motifleri öteleme ve yansıma dönüşümleri ile oluşturabilirsiniz.