Çemberin çevresi ve ispatı

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. Çevre formülünün hesabı yapılırken, Archimedes’in (Arşimet) π sayısının değerini elde etmek için kullandığı yaklaşımdan yola çıkılarak ispatlama yapılabilir. Bu yaklaşımda pi sayısı şu gerçeğe dayanır: Bir çemberin çevre uzunluğu, n kenarlı düzgün kirişler ve teğetler dörtgenlerinin çevre uzunlukları arasındadır ve n arttırılarak iki çevre uzunluğu arasındaki sapma azalır. Bu gösterim, çokgenler ile çemberin çevre uzunluğu arasındaki fark yavaş yavaş tüketidiği için "tüketme yöntemi" olarak bilinir. Tüketme yöntemini kullanan Archimedes, π sayısının olduğu aralığı 3+10/71< Pi sayısı<22/7 olarak hesaplamış ve buna göre pi sayısının yaklaşık değerini de 3,14 olarak bulmuştur. 

Archimedes’in Pi saysısının bulunması için gösterdiği bu yaklaşımı, çemberin çevresi için kullandığımızda, çemberin içine çizilen kirişlerin oluşturduğu düzgün çokgenlerin kenar sayısı, ne kadar çok arttırılırsa çokgenin çevresi ile çemberin çevresi birbirine o kadar yakın olur. Buna göre düzgün çokgenin kenar sayısı, sonsuza yaklaştığında ise düzgün çokgen, artık çembere dönüşmüş olur ki bu durumda düzgün çokgenin çevresinin limit değeri, çemberin çevresini verir.

Çemberin çevresi, yay uzunluğunun toplamını veren integral bağıntısı ile de hesaplanabilir. Bunun için Çember üzerinde alınan rastgele bir P noktasının kutupsal biçimi yazıldıktan sonra çemberin yay uzunluğunun toplamını veren integral yazılır. Aynı metod dairenin alanını veren bağıntı içinde kullanılır. (Bkz. Dairenin Alanı integral ispatı)

O merkezli, r yarıçaplı dairede AOB merkez açısının gördüğü yay uzunluğunun ölçüsü |AB|;  oran ve orantı yardımıyla bulunur. Daireyi sınırlayan çember, ölçüsü 360° olan bir yay olarak kabul edilebilir. Buna göre orantı yapılırsa merkez açıya karşılık gelen yayın uzunluğu bulunmuş olur.

Üçgenin çevrel çemberi ve alanı

Herhangi bir üçgenin köşe noktalarından çizilen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. Esasında çember üzerinde alınan üç farklı noktayı birleştiren doğru parçaları (kirişler) yardımıyla çember içinde bir üçgen oluşturulur. Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesinde veya dış bölgesinde yer alabilir. Meydana gelen bu üçgenin alanını, çevrel çemberin yarıçapını kullanarak bulabiliriz. Çevrel çember yardımıyla üçgenin alanı hesaplanırken, üçgenin bütün kenar uzunlukları çarpılır ve çarpım sonucu çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölünür. Bu şekilde üçgenin alanı bulunmuş olur. 

TEOREM: Bir üçgenin alanı, tüm kenar uzunluklarının çarpımının, çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölümüne eşittir. 

İSPAT-1:İspatını yaparken üçgenin sinüs alan formülü kullanılarak ispat yapılabileceği gibi çember özellikleri ve benzerlik kullanılarak da ispatlama yapılabilir. Bunun için bir çember çizelim. Ve çember üzerinde üç farklı nokta alarak bir üçgen oluşturalım. 

Şekilde ABC üçgeni çizilmiştir. Üçgende B noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, BO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |BD| çapını elde etmiş oluruz. ABD üçgeninde A açısı çapı gördüğünden, çapı gören çevre açının ölçüsü 90 derece olur. Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açıların ölçülerini y olarak adlandıralım. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, BEC üçgenindeki B açısıyla, ABD üçgenindeki B açısı birbirine eşittir. Bu açılara da x diyelim. x+y=90 derece olur. Şekilden de görüldüğü gibi BEC ve BAD üçgenlerinin iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır. 

Benzelik teoremi gereğince bu iki üçgende, açıların gördükleri kenarların oranları birbirine eşit olduğundan, 90 derecenin gördüğü kenarların oranı ile, y açılarının gördükleri kenarların oranı birbirine eşit olur. Buradan, a/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Bu eşitlik düzenlenip h tek başına bırakıldığında; yüksekliği h=(a.c)/(2.R) olarak buluruz. ABC üçgeninde alan formülü olan taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı formülü uygulandığında, taban uzunluğu b, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.b)/2 olur. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz. 

İSPAT-2:Sinüs alan bağıntısı kullanılarak da aynı formül ispatlanabilir. Bunun için üçgenin sinüs alan formülü yazılır ve buradan sinüs teoreminden elde edilen eşitlik yerine yazılarak, çevrel çember alan ispatı yapılmış olur.

Kirişler Dörtgeni

Bir çember üzerinde yer alan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına "kiriş" adı verilir. Çember üzerinde alınan dört farklı noktanın kirişler yardımıyla birleştirilmesiyle bir dörtgen meydana gelir. Köşe noktaları bir çember üzerinde buluna bu dörtgene "kirişler dörtgeni"  denir. 

Çemberde Kiriş Özellikleri

Bir çemberde kirişin çizilmesi için, çember üzerinde iki farklı noktanın belirli olması ve bu noktaların bir doğru parçasıyla birleştirilmesi gerekir. Buna göre çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş adı verilir. Merkezden geçen kirişe çap adı verilir. Çap bir çemberde çizilebilecek en büyük kiriştir.

1-Bir çemberde eş kirişlerin yaylarının ölçüleri de birbirine eştir.

Çemberde Kiriş Uygulamaları

Çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş nedir. Doğru parçalarından merkezden geçenine "çap" denir ve çap bir çemberdeki en büyük kiriştir.

Çemberde Teğet ve Kiriş Özellikleri

Yazı, çemberde teğet ve kiriş kavramlarının bütününü içeren uzun bir yazıdır. Çemberde teğet ve kiriş özellikleri ile ilgili, çeşitli kaynaklarda yer alan tüm içerikler, konu bütünlüğü bozulmadan listelenmiştir. Kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeni kavramları da yazıda ayrıca açıklanmıştır. Çemberde kuvvet ve iki çemberin ortak teğet terimlerinden de kısaca bahsedilmiştir. Aşağıda çizilen her çember üzerindeki numaraya göre, çemberde teğet ve kirişin özellikleri toplu olarak kavram haritasına dönüştürülmüştür. Bu özet içerikte yer alan özelliklerin madde numarası ile ilgili açıklamalar detaylıca izah edilecektir.

Teğet: Çembere üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen doğruya denir. Yani herhangi bir çember ile herhangi bir doğrunun, ortak kesişim noktası sadece tek nokta oluyorsa bu doğru, "çembere teğettir" denir. Kiriş ise çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına denir. Bir çemberde merkezden geçen kirişe çap adı verilir ve "çap" en büyük kiriştir.