Arf değişmezi ve Arf Halkası

Etiketler : arf değişmezi cahit arf islam matematikçileri
Cahit Arf’ın “Makine Düşünebilir mi ve Nasıl Düşünebilir?”

Cahit Arf, Türk matematik tarihinin en önemli isimlerinden biridir. Arf değişmezi, Arf halkası ve Hasse-Arf teoremi gibi kavramlarla matematiğe kalıcı katkılar yapmıştır. Bilimi bir yaşam biçimi olarak görmüş ve öğrencilerine de bu şekilde davranmaları yönünde tavsiyelerde bulunmuştur. (Bkz. Cahit Arf Hayatı) Cahit Arf'in matematik çalışmaları erken dönem makine öğrenmesi veya bilişim çalışmalarına kaynaklık etmiştir. Cebirsel yapılar ve soyutlama konularındaki çalışmaları makine öğrenmesinin temellerine katkı sağlamıştır. Özellikle Cahit Arf'ın matematikte modelleme, örüntü tanıma ve soyut ilişkilerin formelleştirilmesi üzerine geliştirdiği düşünce tarzı, makine işlemlerinin öğrenme ve mantıksal temelleriyle örtüşür. Arf’ın “problemleri özünden anlamak” yaklaşımı, makine öğrenmesi ve yapay zekâ araştırmalarında öncülük eden Alan Turing, Marvin Minsky, Allen Newell, Herbert A. Simon. McCarthy, Minsky, Nathaniel Rochester, Claude E. Shannon gibi bilim insanlarının ülkemizdeki erken dönem yansımalarından biri olarak sayılabilir. Cahit Arf’ın “Makine Düşünebilir mi ve Nasıl Düşünebilir?” (1959) tarihli Erzurum sunumu, "makine öğrenmesi" üzerine yapılmış etkili bir konferans olmuştur. 

(Bkz: Makine Düşünebilir mi ve Nasıl Düşünebilir?)

Cahit Arf ile Alman matematikçi Helmut Hasse’nin ortak çalışmaları, modern sayı teorisi ve cebirsel yapıların gelişiminde önemli bir dönüm noktası olmuştur. Arf, Göttingen Üniversitesi’nde Hasse’nin danışmanlığında yaptığı doktora çalışması sırasında, lokal cisimler teorisini daha genel koşullara uyarlayarak derinleştirmiştir. Bu iş birliği sonucunda ortaya çıkan Hasse–Arf Teoremi, dallanma gruplarının davranışını açıklayan temel bir sonuç olmuş ve matematikte yerel alan teorisinin yapı taşlarından biri hâline gelmiştir. Bu çalışma, Arf’ın bilimsel yetkinliğini uluslararası düzeyde kanıtladığı gibi, Türk matematik tarihine de kalıcı bir iz bırakmıştır.

 

Hasse-Arf Teoremi: Sentetik geometri problemlerini cetvel ve pergelle çözülebilir olup olmadıklarına göre sınıflandırmayı tasarlayan Cahit Arf, yalnızca ikinci dereceden cebirsel denklemlere indirgenebilen problemlerin cetvel yardımıyla çözülebileceğini saptamıştır. Hasse’nin önerisi üzerine yürüttüğü çalışmalar sonucunda ortaya koyduğu değişmezler, “Arf değişmezi” olarak adlandırılmış ve bu sayede matematik dünyasındaki ününü pekiştirmiştir. 

Arf değişmezi, Cahit Arf’in matematikte tanımladığı bir kavramdır ve kuadratik formlar üzerinde ortaya çıkar. Bir cisimde veya halkada kuadratik bir form varsa, bu formu belirli kurallar çerçevesinde “dallanma” veya “sınıflandırma” açısından inceleyebiliriz. Arf değişmezi, bu kuadratik formun temel özelliklerini sayı olarak ifade eden bir değişmezdir. Başka bir deyişle, kuadratik formun farklı biçimlerini karşılaştırırken, onun yapı taşlarını belirleyen ve değişmeyen bir sayıdır. Matematiksel olarak, kuadratik formların eşdeğerliğini ve yapısını sınıflandırmak için kullanılır ve Hasse-Arf teoremleri gibi daha ileri teorilerde kilit bir rol oynar. Arf değişmezi, kuadratik formların temel özelliklerini tek bir sayı ile ifade eden tıpkı farklı desenlerdeki Lego parçalarının her birinin kendine özgü bir sayıyla tanımlanması gibi her birinin bütün detaylarını tek tek incelemek yerine bir temsille açıklamasını yapan bir kavramdır. Aynı yapıya sahip formlar aynı Arf değişmezine sahiptir. Yani Arf değişmezi, kuadratik formun “parmak izi” gibidir, formun değişmeyen, temel karakteristiğini sayısal olarak bize verir. Arf değişmezi aynı olan formlar matematikte eşdeğer kabul edilir. 

Arf Değişmezini anlamak için şöyle basit bir örnek verelim:  Form A, Q₁(x, y) = x² + xy + y² ve Form B, Q₂(x, y) = x² + y² olarak verilsin. Arf değişmezini bulmak için formun değerlerine bakıyoruz; yani 0 veya 1 çıktığında 1 değerinin kaç kere ortaya çıktığını sayıyoruz. Form A için değerler şunlardır: (0,0) → 0, (1,0) → 1, (0,1) → 1, (1,1) → 1. Burada 1 değeri üç kere çıkıyor, yani tek sayı olduğundan Arf değişmezi 1 olur. Form B için değerler ise şunlardır: (0,0) → 0, (1,0) → 1, (0,1) → 1, (1,1) → 0. Burada 1 değeri iki kere çıkıyor, yani çift sayı olduğundan Arf değişmezi 0 olur. Arf değişmezinin 0 veya 1 olmasının nedeni, 1 değerinin formun değerlerinde tek veya çift sayıda çıkmasına bağlıdır. Tek çıkarsa Arf değişmezi 1 olur, çift çıkarsa 0 olur. Bu şekilde kuadratik formun temel tipi hızlıca belirlenebilir. Yani Arf değişmezi, bu kuadratik formlar için formun “temel parmak izi” gibi çalışır: sadece 0 veya 1 değerlerini alır buna göre formlar arasında eşdeğerik söz konusu olur.

Arf halkaları, Cahit Arf’ın geliştirdiği bir kavramdır ve cebir alanında özellikle bir tür yerel halka yapısını tanımlar. Basitçe anlatmak gerekirse: Halkalar, matematikte sayıların toplandığı ve çarpıldığı bir yapı olarak düşünülebilir. Arf halkaları, özellikle kuadratik formların ve yerel halkaların incelenmesinde ortaya çıkar. Bu halkaların temel özelliği, elemanlarının çarpımı ve toplamı üzerinden kuadratik özellikleri kontrol edebilmektir. Daha somut bir örnekle: Arf halkası, bir lokal cisim üzerindeki tam bir halka olup, elemanlarının “kuadratik davranışını” Arf değişmezi ile ilişkilendirerek sınıflandırmayı mümkün kılar. Bu sayede matematikçiler, karmaşık kuadratik formları ve dallanmış uzantıları daha sistemli bir şekilde inceleyebilir. Arf halkaları kuadratik formların özelliklerini incelemek ve sınıflandırmak için kullanılan özel bir halka türüdür. Arf halkası, kuadratik bir formun değerlerini basit bir şekilde incelememizi sağlayan bir yapıdır. Örneğin, Q(x, y) = x² + xy + y² formunu ele alalım. Burada x ve y yalnızca 0 veya 1 değerlerini alıyor. Formun tüm olası değerleri şöyle hesaplanır: Hesaplamaalrda mod2'e göre kalan sınıfları yazılır. Q(0,0) = 0² + 0*0 + 0² = 0 ; Q(1,0) = 1² + 1*0 + 0² = 1 ; Q(0,1) = 0² + 0*1 + 1² = 1 ; Q(1,1) = 1² + 1*1 + 1² = 3 → mod 2 alırsak 1 olur. Yani formun değerleri {0,1,1,1} olur ve bu kümeyi mod 2 göre aldığımız için diğer sayılarla ilgilenmeyip sadece 0 veya 1 değerleriyle ilgileniyoruz. Arf halkası, bu değerleri {0,1} kümesi içinde toplama ve çarpma işlemleri ile mod2'e göre işlemlerle düzenler. Toplama mod 2 ile yapılır: 0 + 0 = 0 ; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0 Bu formun değerlerine göre iki adet 1 değerini topladığında, mod 2 işlemi ile 0 elde edilmiştir. Yani “burada iki adet 1 bir araya geldiğinde toplamda etkileri kaybolmuştur” deriz. Bu sayede formun değerlerinin birbirleriyle olan ilişkileri basit bir yapı içinde gözlemlenmiş olur. Böylece Arf halkası ve Arf değişmezi birlikte kullanıldığında, kuadratik formun temel davranışı hem küme ve işlem yapısı içinde hem de tek bir sayı ile kolayca anlaşılır. Arf değişmezi, formun temel özelliğini tek sayı ile gösterirken (1 veya 0). Arf halkası, formun değerlerinin birbiriyle nasıl etkileştiğini göstermiş olur. Bir bakıma Arf değişmezi “ne olduğunu” söyler, Arf halkası “nasıl davrandığını” gösterir.

Arf kapanışı, Arf halkası kavramıyla ilişkili bir yapıdır ve kuadratik formların değerlerini daha eksiksiz bir şekilde anlamamıza yarar. Basitçe şöyle açıklayabiliriz: Elimizde bir Arf halkası var ve bu halkadaki elemanlar toplama ve çarpma gibi işlemlerle birbirleriyle etkileşiyor. Arf kapanışı, bu halkadaki tüm elemanların birbirleriyle tüm mümkün kombinasyonlarını alıp tekrar halkaya dahil ettiğimizde elde ettiğimiz küme “tamamlanmış” kümedir. Yani halkayı, bütün kombinasyonlarıyla kapatarak formun değerlerinin tüm davranışlarını tek bir yapı içinde görmemizi sağlar. Arf kapanışı, kuadratik formun değerlerinin Arf halkası içindeki toplama ve çarpma işlemleriyle tam olarak nasıl etkileştiğini gösteren bir “tamamlanmış değerler kümesi”dir. Örneğin; Q(x, y) = x² + xy + y² kuadratik formu için mod2'e göre değerler kümesi {0, 1, 1, 1} olur. Bu Arf Halkasında  sadece {0,1} ile ilgileniyoruz. Burada işlemleri mod 2'e göre yaptığımızda: 0 ile 0’ı toplarsak 0, 0 ile 1’i toplarsak 1, 1 ile 1’i toplarsak 0 elde edilir; çarpma işlemlerinde ise 0 ile 0’ı çarparsak 0, 0 ile 1’i çarparsak 0, 1 ile 1’i çarparsak 1 elde edilir. Bulunan elemanlara göre kümeyi tamamlamak için Arf Kapanışı şöyle bulunur. Arf kapanışı, halkadaki tüm elemanların birbirleriyle tüm olası işlemlerini yaptıktan sonra oluşan kümedir. Başlangıçta küme {0,1} olup toplama ve çarpma işlemleri uygulandığında 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0.0=0, 0.1=0, 1*1=1 hepsi zaten kümede olduğundan başlangıçtaki küme değişmedi ve Arf kapanışı {0,1} oldu.

Cahit Arf, “Arf değişmezi” kavramını daha iyi anlamak için bazı sayı dizilerini incelemiştir. Bu diziler belirli kurallara göre birbirine bağlıdır ve Arf, bu dizilerdeki “sıçrama noktalarını” incelemiş ve bu noktaların her zaman tam sayı değerinde olduğunu göstermiştir. Yani, ne kadar karmaşık görünürse görünsün, bu dizilerdeki temel değişimler hep düzenli ve tam sayı olarak gerçekleşmektedir. Bu incelemeleri, matematikçiler için çok önemliydi çünkü sayıların ve cebirsel yapıların davranışını öngörebilmeyi sağlamıştır. Arf’ın çalışmaları, yalnızca teorik bir başarı değil, aynı zamanda daha karmaşık problemlerin çözümünde de bir rehber olmuştur.

Cahit Arf'ın "Lokal cisimler teorisi" üzerindeki çalışmaları, Helmut Hasse tarafından da çok etkin bir şekilde kullanılmıştır. Ancak o dönemdeki lokal cisimler teorisi, daha çok sayı cisimleri ve sonlu katsayılı cebrik fonksiyon cisimleri üzerine uygulanmak amacıyla geliştirilmişti. Bu nedenle, teori daima kalan sınıf cisminin sonlu olduğu varsayımıyla kullanılmıştır. Dolayısıyla, bu oldukça sınırlı şart yerine, daha genel bir koşul altında teorinin kurulması oldukça arzu edilen bir durumdu. Muhtemelen bu nedenle, Cahit Arf’ın Göttingen’de Hasse ile yaptığı ilk görüşmede Hasse, kendisine hemen bu problemi doktora konusu olarak önermiştir. Cahit Arf’ın aktardığına göre, bu görüşmeden sonra kendisi bir daha Hasse ile görüşmemiş ve doktora tezini bir yıl içinde tamamlamıştır. Cahit Arf’ın “Untersuchungen Über Reinverzweigte Erweiterungen Diskret bewerteter Perfekter Körper” adlı tezinde, kalan sınıf cisminin sonlu olması şartı yerine daha genel bir koşul altında lokal cisimler teorisi geliştirilmiştir. Bugün bu teoriyi ele alan kitapların içeriği (örneğin J.-P. Serre’in Corps Locaux) büyük ölçüde Cahit Arf’ın tezinde şekillenmiştir. Özellikle, tezde yer alan ve daha önce J. Herbrand tarafından incelenmiş olan yüksek mertebeden dallanma gruplarının indisleri ile ilgili Hasse-Arf teoremi çok meşhurdur. Bu teorem, dallanma gruplarının zinciri içindeki sıçramalara tekabül eden indislerin tam sayı olduğunu ifade eder. Arf’ın temsillerinin varlığının ispatı için de kilit nokta teşkil ettiği için, teorem büyük bir ün kazanmıştır. Böylece Cahit Arf, yalnızca bir yıl gibi kısa bir sürede bu doktora tezini hazırlayarak kabiliyetini göstermiştir. Ayrıca Göttingen’deki seçkin matematikçilerle kaynaşan genç Cahit Arf, sayı teorisine ait dönemin en öncü araştırma atmosferini bolca deneyimleme fırsatı bulmuştur.

Lokal cisim: Matematikte, özellikle sayı teorisinde bir lokal cisim, “küçük ölçekli” sayı sistemleri gibi davranan bir cisimdir. Daha teknik olarak, bir lokal cisim, bir discret valuasyona (kesin ve tam olarak sayılabilir bir değer sistemi) sahip ve bu valuasyona göre tam bir cisimdir. “Tam” olması, sayılar arasında limitleri alabilme yeteneği anlamına gelir; yani, diziler belirli kurallara göre yakınsadığında o limit de cismin içinde bulunur. Rank 1 valuasyon: Bir valuasyon, cismin elemanlarını bir değer sistemine eşleyen bir fonksiyondur. Rank 1, bu değerlerin tek bir “ölçekte” olduğunu ve aralarında basit bir sıralama olduğunu ifade eder. Diskret valuasyon (Z-değerli):“Diskret” veya “kesikli” demek, valuasyon değerlerinin $\mathbb{Z}$ gibi tam sayılar üzerinde olduğunu ifade eder. Yani aradaki değerler sürekli değil, adım adım ilerler. Cismin içinde “yakınsama” ile ilgili eksik bir şey olmadığında tam cisim anlamına gelir. Yani, p-adik sayılarda bir dizinin değerleri gittikçe p-adik uzaklıkta küçülüyorsa, bu dizinin bir limiti de yine p-adik sayılar kümesinde vardır. Bu tanımlamalara göre “Lokal bir cisim, tek bir ölçekte (rank 1) ve kesikli (tam sayılarla değer alan) bir ölçüm sistemi, yani valuasyon ile ölçülebilen ve bu ölçüleme altında eksiksiz, yani tam bir sayı sistemi olan cisimdir." P-adik sayı cismi Qp, bu tür lokal cisimlere tipik bir örnektir...