Pisagor teoeremine yeni bir ispat

Etiketler : ispat matematik pisagor pisagor teoremi sinüs teoremi teorem ispatları trigonometri

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir bağıntıdır. Pisagor teoreminde, hipotenüsün (dik üçgenin en uzun kenarı) uzunluğunun karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilir. Bu teorem, antik Yunan filozofu Pisagor'un adı ile literatürde yer almıştır. Teoremin çok çeşitli ispatları yapılmıştır. Daha önceki yazılarımızda konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler verilmiştir.  (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazıda, Amerika'daki iki genç yetenekten (Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson) süzülen farklı bir bakış açısı sunulmuştur.

 

Günümüzde bu teoreme yeni bir ispat metodu olarak; trigonometik yoldan ispatlama çalışması yapılmış ve bu yeni ispat matematik literatürüne kazandırılmıştır. New Orleans'taki St. Mary's Akademisi'nde son sınıf öğrencisi olan Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, okulda düzenlenen bir matematik yarışmasında Pisagor'un ispatı için yeni bir kanıt buldular. Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, Amerikan Matematik Derneği'nin bir toplantısında, buldukları bu ispatı, Pisagor Teoremi'nin yeni bir trigonometrik ispatı olarak jüriye sundular. Pisagor teoreminin trigonometrik ispatlarının bir zamanlar imkansız olduğu düşünülmesine rağmen, iki azimli lise öğrencisi tarafından bunun mümkün olduğu bir makale ile gösterilmiştir. 

İspatta; öncelikle herhangi bir dik üçgenin dik kenarı üzerinden katlanarak birbirine eş iki dik üçgen oluşturulur. Oluşan bu üçgenlerde açılar yazılırak ikizkenar bir üçgen elde edilir. Daha sonra bu üçgenin bir köşesindeki açı, 90 dereceye tamamlanacak şekilde uzatılarak sonsuza kadar devam eden yeni dik üçgenler oluşturulup, kenarları arasında bir geometrik seri meydana getirilir. Meydana gelen yeni üçgenlerde eş açıların sinüs oranları yazılır. Sinüs oranların eşitliğinden pisagor teoremi ifadesi bulunmuş olur.

Oluşan yeni dik üçgenlerdeki dik kenarların uzunlukları, açıların sinüsleri yardımıyla bulunur. Şekilde x ve y dik kenarlarının uzunlukları, eş açıların sinüs oranları yardımıyla hesaplanması gösterilmiştir. Daha sonra buna benzer şekilde benzer dik üçgenler, birbirini 90 dereceye tamamlayan açılar yardımıyla devam ettirilerek yeni dik üçgenler oluşturulur.

Oluşan bu yeni dik üçgenlerin dik kenar uzunlukları, aynı şekilde eş açıların sinüs oranları yardımıyla hesaplanır. Her iki dik kenar uzunluğu da bulunduktan sonra önceki dik kenar uzunlukları ve hipotenüsleri ile karşılaştırılır. 

Sonsuza kadar aynı şekilde dik üçgen çizilmeye devam edilip eş açıların sinüs oranları yazıldığında bir seri oluşturulur. Dikkatle incelendiğinde oluşan bu küçük dik üçgenlerin hipotenüs uzunluklarının, belli bir oranla katlanan bir geometrik seri olduğu görülür. 

Bu geometrik serinin tüm elemanlarının toplamı, hipotenüs ve dik kenar uzunluğunu verecektir. Buna göre geometrik seri toplamı hesaplamasından  (1/(1-r)) küçük dik üçgenlerin hipotenüs ve dik kenar uzunlukları toplamı bulunur. Esasında bulunan bu toplam değeri, sonsuza kadar çizilmiş olan küçük dik üçgenlerin oluşturduğu büyük dik üçgenin kenar uzunluklarını verir. 

Büyük dik üçgende bulunan dik kenar ve hipotenüs uzunluğundan sonra, büyük dik üçgenin tepe açısından sinüs oranı yazılır ve daha sonra bu büyük dik üçgende  kenarlar ve karşılıklı açılar arasından sinüs teoremi yazılır. Önceki bulunan sinüs oranı ile sinüs teoreminden elde edilen sinüs oranı birbirine eşitlenir. 

Sinüs oranlarının büyük üçgende birbirine eşitlenmesiyle gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra bilinen pisagor teoremi eşitliği ortaya çıkar. Bu ispat yöntemi trigonometrik yoldan elde edilmiş farklı bir ispat yöntemidir.

İspat Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson tarafından matematik literatürüne kazandırılmıştır. (2023) Jackson ve Johnson'ın çalışması, pisagor teoremini trigonometri kullanarak kanıtlamanın beş yeni yolunu özetlemiştir.

Kaynakça:
https://edition.cnn.com/2024/10/29/science/teens-pythagorean-theorem-study
https://www.sciencenews.org/article/teenagers-pythagorean-theorem-math
https://pages.mtu.edu/~shene/VIDEOS/GEOMETRY/004-Pythagorean-Thm/Pytha-3.pdf