Pisagor teoeremine yeni bir ispat

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir bağıntıdır. Pisagor teoreminde, hipotenüsün (dik üçgenin en uzun kenarı) uzunluğunun karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilir. Bu teorem, antik Yunan filozofu Pisagor'un adı ile literatürde yer almıştır. Teoremin çok çeşitli ispatları yapılmıştır. Daha önceki yazılarımızda konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler verilmiştir.  (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazıda, Amerika'daki iki genç yetenekten (Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson) süzülen farklı bir bakış açısı sunulmuştur.

 

Günümüzde bu teoreme yeni bir ispat metodu olarak; trigonometik yoldan ispatlama çalışması yapılmış ve bu yeni ispat matematik literatürüne kazandırılmıştır. New Orleans'taki St. Mary's Akademisi'nde son sınıf öğrencisi olan Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, okulda düzenlenen bir matematik yarışmasında Pisagor'un ispatı için yeni bir kanıt buldular. Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, Amerikan Matematik Derneği'nin bir toplantısında, buldukları bu ispatı, Pisagor Teoremi'nin yeni bir trigonometrik ispatı olarak jüriye sundular. Pisagor teoreminin trigonometrik ispatlarının bir zamanlar imkansız olduğu düşünülmesine rağmen, iki azimli lise öğrencisi tarafından bunun mümkün olduğu bir makale ile gösterilmiştir. 

Cosinüs teoremi ispatı

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay, yükseklik ve açıortaydır. Taban açıları birbirne eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende, eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları birbirine eşittir. İkizkenarlara ait, yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları, karşılıklı olarak birbirine eşittir.  

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene "dik üçgen" denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara "hipotenüs", diğer kenarlara da "dik kenar" adı verilir. Hipotenüs, dik üçgendeki en uzun kenardır. Hipotenüs kelimesi, Yunancada ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir. Medeniyetlerin etkileşim içinde olduğu Mısırlıların, piramitlerin inşa sürecinde kullandıkları dik üçgenler için ip germe tekniklerinden yararlanmış olmalarından hareketle, 'hipotenüs' isminin de bunlara ithafen verilmiş olabileceği ihtimal dahilindedir. 

Öklid Teoremleri ve ispatı

Öklid Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bir dik üçgende bir dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. (Bkz. Euclidin Hayatı ve Çalışmaları)

Pisagor Teoremi ve sonuçları

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. İşte bu kural pisagor teoremi olarak isimlendirilmiştir. 

Açılarına göre özel dik üçgenler

30°–60°–90° üçgeninde; Hipotenüsün uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır. 60° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun √3 katıdır. 

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Dik üçgenlerde en çok kullanılan ve kenar uzunlukları tam sayı olan belirli üçgenler bilinmektedir. Eğer bu üçgenleri bilirseniz pisagor bağıntısını uygulamadan daha pratik olarak pekçok soruyu çözebilirsiniz. 

3–4–5 üçgeni: Kenar uzunlukları (3,4,5) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

8–15–17 üçgeni: Kenar uzunlukları (8,15,17) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

5–12–13 üçgeni: Kenar uzunlukları (5,12,13) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

7–24–25 üçgeni: Kenar uzunlukları (7,24,25) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

9-40–41 üçgeni: Kenar uzunlukları (9,40,41) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

(20-21-29) üçgeni, (12-35-37) üçgeni,..... şeklinde devam ettirilebilir.

Sinüs teoremi ve ispatı

Sinüs teoremi, bir üçgende (kirişler üçgeni) bir kenar ve bu kenar karşısındaki açının sinüsleri oranı sabittir. Bir açının sinüsü trigonometri bilgisinden hatırlanacağı üzere, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında kalan dik kenar ile hipotenüsün (dik açının karşısında kalan kenarın) birbirine oranıdır. Kısaca açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüse oranıdır. Sinüs teoremi, bir açı ve iki kenar verildiğinde; bilinmeyen bir açıyı bulmak veya iki açı ve bir kenar verildiğinde de bilinmeyen bir kenar uzunluğunu bulmak için oldukça yararlı bir teoremdir.

Bazı Ardışık Toplam Formülleri

Bilinen hikayeye göre Alman matematikçi Gauss'un, 1 den başlayarak herhangi bir sayıya kadar olan ardışık sayıların toplamı şeklinde (1+2+3+4+5.....100 gibi) yazılan ifadeyi formüle etmesiyle birlikte diğer ardışık toplamların da aynı şekilde formüle edilebileceği gözlemlenmiş ve matematikçiler tarafından bu kavramlara kafa yorulmuştur. Tümevarım ispat yönteminin geliştirilmesiyle birlikte ardışık olarak gelen terimler arasındaki toplam formülleri daha net olarak gözlemlenmiştir. Daha kolay hesaplama yapmak için formüller bazen çok elzem olabilmekte lakin bütün bu formüllerin ezberlenerek zihnimizi doldurmaya çabalamasına da izin vermemiz bizden beklenen bir davranıştır. Matematiksel alt yapısını bilmeden kuru bir ezber iyi bir matematik çalışma stratejisine uygun olmayacaktır. Burada paylaştığımız tüm formüller tümevarım yöntemi ile ispat edilerek ortaya rahatlıkla çıkarılabilir. Tümevarım yöntemi matematik gibi ilimlerde doğruluğunu gösterse de diğer ilim dallarında tutarlı sonuçlar vermekten maalesef uzak kalmıştır. (Bkz. Tümevarım ispat yöntemi)

Aşağıda işlemlerde zamandan kazanmak maksadıyla kullanılmak için bazı ardışık toplam formülleri verilmiştir. Bu formüller kullanım sıklıklarına göre sıralanmıştır. 

Burada yer alan formüllerin ispatları için Tümevarım ispatları yazımıza bakabilirsiniz.

Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoereminin farklı ispatları önceki yazılarımızda verilmiş ve video çözümlerle de bu ispat teknikleri gösterilmiştir. (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazımızda pisagor teoreminin vektörel yolla nasıl ispat edilebileceğini göstermek istiyoruz. Bunun için önce bir dik üçgeni taşıyıcı kollar olarak üçgenin köşe noktalarından tanımlanmış vektörleri belirliyoruz. Bu belirlediğimiz vektörlerde dört işlem özelliklerinden yararlanarak pisagor teoreminin ispatını aşağıdaki gibi vektörel yolla göstermiş oluruz.

Pisagor Teoremi ve İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.

Üçgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Üçgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Geometride temel kavramlar

**Açı Ölçü Birimleri

Doğruda Açılar ve Özellikleri

Doğruların birbirine göre durumları

Düzlemlerin Birbirine göre Durumu

Üçgende Açılar

Üçgende açı soruları ve çözümleri

Katlama soruları genel özellikleri

Üçgende Kenar Bağıntıları

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

**Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Ders Anlatım Föyleri-Eşkenar Üçgen

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Ders Anlatım Föyleri-İkizkenar Üçgen

Açıortay ve Özellikleri

Üçgende Açıortay Dikmeleri

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Üçgende açıortay soruları ve çözümleri

Kenarortay ve Özellikleri

Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

**Kenarortay Teoremi İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Üçgende Kenarortay

Üçgenin Kenarorta Dikmeleri

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası

Üçgenin İç ve Dış Merkezi

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Thales Teoremleri ve İspatı

Eş üçgenlerde Yardımcı Elemanlar

**Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

**Menelaus Teoreminin İspatı

**Karnot Teoremi ve İspatı

**Stewart Teoremi ve İspatı

**Steiner - Lehmus Teoremi

Sinüs teoremi ve ispatı

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Açılarına göre özel dik üçgenler

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Öklid Teoremleri ve ispatı

Pisagor Teoremi ve sonuçları

**Pisagor Teoremi ve İspatı

**Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Dik Üçgen

Üçgende Alan Bağıntıları

Üçgenin Heron alan Bağıntısı ( U Formülü)

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alan hesabı

Koordinatları bilinen üçgenin alanı

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Konu ile ilgili olarak, ÜÇGENLER (Esen Yay) örnek fasikülünü de ayrıca inceleyebilirsiniz. İNDİRMEK İÇİN TIKLAYINIZ:::

Dünyayı Değiştiren 17 Denklem

"Matematikçi Ian Stewart "Bilinmeyenin İzinde: Dünya'yı Değiştiren 17 Denklem" başlıklı kitabını yayımladı ve insanlığın tarihinde keşfedilen 17 matematiksel denklemi, bilimsel yoğunluğundan kurtararak, herkes tarafından anlaşılabilir bir hale soktu. Prof. Dr. Ian Stewart'a bu kitabını neden yazmaya karar verdiği sorulduğunda şöyle yanıt veriyor: 

"Denklemler kesinlikle sıkıcı olabilir ve çok karmaşık görünebilirler. Ancak bunun sebebi genellikle sıkıcı ve karmaşık bir şekilde sunulmalarındandır. Benim okullarımızdaki matematik öğretmenlerine göre bir avantajım var: Size toplamayı kendi başınıza nasıl yapacağınızı göstermeye çalışmıyorum. Denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmeden de onların güzelliğini ve önemini takdir edebilirsiniz. Benim niyetim onları kültürel ve insani bir hale sokmak ve onları tarihimizdeki maskelerinden arındırmaktır. Denklemler, kültürümüzün önemli bir parçasıdır. Bu denklemlerin arkasındaki hikayeler, onları keşfedenler, onların yaşadıkları dönemler ve benzerleri oldukça etkileyicidir."

Önemli Not: Aşağıda kitapta yer alan denklemlerden 17 tanesinin ne anlama geldiği, tarihi, önemi ve modern dünyada nerelerde kullanıldığı ile ilgili örneklere değinilmiştir. Yazı metninin ana kaynağını şu adreste yer alan makaleden: (http://www.businessinsider.com/the-17-equations-that-changed-the-world-2012-7?op=1) orjinal diliyle inceleyebilirsiniz.Orjinal dilde yazılı metinden çeviri için aynen yararlanılan site: (http://www.evrimagaci.org/makale/18) adresidir. Bu adreste yer alan makalenin bazı bölümlerine sitemizde mevcut olan konu ile ilgili yazılarımızın bazı kısımlarının adresleri eklenerek okuyucuya daha fazla bilgiye ulaşma imkanı verilmeye çalışılmıştır.

1) Dik Üçgende Pisagor Teoremi

Ne Anlama Geliyor? 

Bir dik üçgende, en uzun kenarın (hipotenüsün) karesi, her zaman kısa kenarların karelerinin toplamına eşittir. Bu denklemde "a" ve "b" harfleri dik üçgenin kısa kenarlarını, "c" ise hipotenüsü (en uzun kenarı) temsil eder.

Tarihi Nedir?

Bu denkleme her ne kadar Pisagor ile ilişkilendirilse de, bu denklemi ispatlayan ilk kişinin kim olduğu halen kesin olarak bilinmemektedir. İlk net ispat Euclid tarafından yapılmıştır ve muhtemelen bu denklem Pisagor'dan 1000 yıl kadar önce Babilliler tarafından bilinmekteydi. Pisagorun yaşamı ve italya mektebi çalışmaları yazısı için: (Bkz. Arsimed Yüzeyleri ve çok yüzlüler) daha fazla bilgi elde edebilirsiniz.

Önemi Nedir?

Bu denklem, geometrinin temelinde bulunan denklemdir, cebir ile bağlantısını kurar ve trigonometrinin temelini oluşturur. Bu denklem olmaksızın isabetli bir şekilde haritacılık ve navigasyon yapılamazdı.

Modern Kullanımı Nedir?

Üçgenleme (triangülasyon) yöntemi sayesinde GPS ile yapılan navigasyonda noktalamalar ve kesin yer tayinleri yapılabilmektedir. Bunun haricinde mimaride, inşaat mühendisliğinde, adli bilimlerde merminin yolunun belirlenmesinde, depremlerin merkezinin tespitinde kullanılmaktadır.Üçgen şeklinde yer alan her türlü arazi ve alan hesaplamalarında ve uzunluk hesabında bu denklemden yararlanılmaktadır.

2) Logaritma Fonksiyonu ve Özellikleri

Ne Anlama Geliyor? 

Özellikle çok büyük sayılarla yapılacak çarpma işlemlerinin, belirli bir tabana göre logaritmik olarak yapıldığında, toplama biçiminde ifade edilebileceğini gösterir. Logaritmalar, "log" sembolüyle ifade edilirler ve genelde bu şekilde yazıldıklarında 10'luk tabandaki logaritma anlamına gelirler. Bu durumda, log(10³) sayısı, 3 sayısına, yani 10'un üssü şeklinde ifade edilen sayının üssüne eşit olmaktadır. Bu sayede 1000 sayısı, 3 olarak ifade edilerek daha kolay biçimde işlem yapılabilir. Ancak logaritmaları farklı tabanlarla da kullanmak mümkündür. Örneğin log₂(2⁸) sayısı, 8'e eşittir. Böylece 256 sayısı 2'lik logaritma tabanında 8 olarak ifade edilebilir. Yukarıdaki denklem, bu şekilde büyük sayıların birbiriyle çarpımında, logaritmanın kullanılarak çarpma gibi devasa sonuçlar verebilen bir işlemi toplama gibi daha ufak sonuçlar verebilen ve daha hızlı yapılabilen bir hale dönüştürebileceğimizi gösteriyor. Burada "x" ve "y" harfleri herhangi iki sayıyı ifade ediyor. Üslü ifadelerin yetersiz kaldığı durumlarda logaritma özellikleri bir başvuru aracı durumunda olmuştur.

Tarihi Nedir?

Konsept ilk olarak Merchiston'dan bir İskoç bilim insanı John Napier tarafından keşfedildi. Napier, büyük sayıların çarpımının çok zor ve uğraştırıcı olduğunu fark etti ve bunları kolay ve hızlı bir şekilde yapabilmeyi hedefledi. Geliştirdiği sistem sonradan Henry Briggs tarafından tablolaştırıldı ve çok daha güçlü bir araç haline geldi.

Önemi Nedir?

Logaritmanın keşfi tek kelimeyle devrimdi. Bu sayede mühendisler ve astronomlar hesaplamaları çok daha hızlı yapabilmeye başladılar. Günümüzde bilgisayarların keşfiyle bu devrim önemsiz kalmıştır; ancak yine de bugünlere gelebilmemiz için bilim insanları açısından önemlidir.

Modern Kullanımı Nedir?

Logaritmalar halen radyoaktif bozunum gibi çok önemli konularda kullanılmaktadır. Aslında logaritmalar, zamana bağlı değişimlerin (azalma veya artma) olduğu hemen her alanda karşımıza çıkarlar. Örneğin banka kredilerinin üzerine eklenecek faizlerin hesabında logaritma fonksiyonları kullanılabilmektedir. Bunun haricinde biyologlar popülasyonlar üzerinde çalışırken, fizikçiler nükleer tepkimeler üzerinde çalışırken, kimyagerler zincir tepkimeleri üzerinde çalışırken, bankacılar yatırımları üzerinde çalışırken logaritmaları kullanmaktadır. Ayrıca fizyologlar tarafından gözün ışığa verdiği tepkiyi ölçmekte kullanılır. Son olarak, özellikle makina ve elektrik mühendisleri tarafından sinyallerin ve titreşimlerin zaman içerisinde sönümlenmesinin hesabında kullanılmaktadır. Bilgisayar mühendisleri de bir yazılımın ne kadar hızlı çalışacağını hesaplamak için logaritmalara başvururlar. 

3) Kalkülüs'ün Temel Teoremi (Türev Tanımı)

Ne Anlama Geliyor? 

Bir değerin zaman içerisindeki sonsuz küçüklükteki değişimlerinin birikerek, o değerin belli bir zamandaki toplam değişimine eşit olacağını gösterir. Bir diğer deyişle, değişim içerisindeki bir fonksiyonu, çok çok küçük zaman aralıklarında değerlendirecek ve bu değişimleri toplayacak olursak, bu değişimlerin toplamının, genel değişim toplamına eşit olacağını gösteren denklemdir. Burada "f" harfi değişimini incelediğimiz fonksiyonu, "t" harfi ise hangi değişkene göre değişimin izlendiğini göstermektedir. "t", genellikle zamanı ifade eder, dolayısıyla "f" fonksiyonunun zamana göre değişimi incelenir. Bunu ifade eden denklemin sol tarafı, fonksiyonun zamana göre türevinin alındığını gösterir. Denklemin sağ tarafındaki "t" yine zamanı, "f(t)" yine zamana bağlı olan herhangi bir fonksiyonu ifade eder. "h" ise küçük bir değişimi temsil etmektedir, dolayısıyla "f(t+h)", elimizdeki fonksiyonun "t" anından çok az bir zaman sonraki halini ifade etmek için kullanılır. Bu "çok az bir zaman farkını" anlatmak için ve fonksiyonun o ufak değişimini ifade etmek için matematiksel limit kullanılır ve "lim" ile gösterilen budur. Matematikte bu durum çok iyi bir şekilde bilinen türev kavramının limit ile ifadesi anlamına gelmektedir. Kısacası türevin temel tanımı olarak karşımıza çıkar.

Tarihi Nedir?

Günümüzde bildiğimiz Kalkülüs 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından geliştirilmiştir ve günümüzde Dünya'nın her yerinde aynı şekilde ifade edilir. Bu denklemin keşfiyle ilgili uzun yıllar bilgi hırsızlığı (intihal) iddialarında bulunulmuştur. Ne yazık ki halen bu denklemin gerçek sahibine karar verilememiştir. Bu sebeple bu iki bilim insanının da bakış açılarını ve dehalarını bu denklemi anmak için kullanıyoruz.

Önemi Nedir?

Ian Stewart'a göre bu denklemin önemi şöyledir: "Diğer bütün matematiksel tekniklerden öte, bu denklem modern dünyayı meydana getirmiştir." Kalkülüs, katı cisimleri, eğrileri ve alanları ölçmekte ve anlamakta kullandığımız temel araçtır. Birçok doğa kanununun temelinde yer alır ve diferansiyel denklemlerin kaynağıdır. Bu türev tanımını kullanarak çeşitli fonksiyonların türevlerini veren ifadeleri de rahatlıkla ispatlayabiliriz. Örnek olarak sinüs fonksiyonun tüevini bu tanım yardımıyla bulabiliriz. Örnek sinüs ve cos fonksiyonları türevleri için: (Bkz. Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları Türevleri ve İspatları) adresinden geniş bilgi alabilirsiniz.

Modern Kullanımı Nedir?

En uygun çözümün gerektiği her türlü problemde kullanılır. Tıp, ekonomi ve bilgisayar bilimleri için temeldir. Mühendisler tarafından GPS sistemlerinin geliştirilmesinde, gökdelenlerin ve köprülerin inşasında, robotların parçalarının belirli emirlere nasıl tepki vereceğinin analizinde, sistem tasarımında, araçların güvenliğinin geliştirilmesinde kullanılmaktadır. Biyologlar tarafından ekosistem içerisindeki türlerin değişiminde, ilaçların vücut içerisindeki derişiminin hesaplanmasında, anatomik ve fiziksel özelliklerin (kemik uzunluğu gibi) belirlenmesinde, bakteri gibi türlerin çoğalma hızlarının tespitinde kullanılır. Ekonomide pazar tahminlerinde, gelir düzeylerinin belirlenmesinde, problemlerin en uygun çözümlerinin geliştirilmesinde, aylık ödeme miktarlarının belirlenmesinde kullanılır. Bunlar haricinde anket sonuçlarının değerlendirilmesinde, hastalıkların ilerleme hızının tespitinde, küresel haritalandırma yöntemlerinin geliştirilmesinde, paradoksal sorunların çözülmesinde yer alır.

4) Newton'un Evrensel Çekim Yasası

Ne Anlama Geliyor? 

Evrendeki her bir cismin, her bir diğer cismi kütlesiyle doğru, aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak kendine doğru çektiğini gösteren denklemdir. Kısaca, evrendeki cisimler arasındaki çekim kuvvetini hesaplamak için kullanılır. Sol taraftaki "F", cisimlerin her birine etkiyen kuvveti gösterir. "G", evrensel kütleçekim sabitidir ve yaklaşık olarak 6.67 x 10^-11 N(m/kg)² değerine sahiptir. "m₁" ve "m₂", incelenen iki cismin kütlelerini ifade eder. "d" ise, iki cisim arasındaki dik uzaklıktır.

Tarihi Nedir?

Isaac Newton bu çalışmasını kendisinden önce Johannes Kepler'in yaptığı çalışmalar üzerine kurmuştur. Bir ihtimal, Robert Hooke'un çalışmalarından faydalanmış ve bir miktar intihal yapmış olabilir.

Önemi Nedir?

Dünya'nın nasıl çalıştığını anlamamızı sağlar ve kalkülüsü kullanır. Her ne kadar sonradan Einstein'ın görecelik teorisi tarafından gölgede bırakıldıysa da, halen cisimlerin birbirleriyle nasıl etkileştiği konusunda bilgi edinmemizi sağlar. Günümüzde uyduların ve sondaların yörüngelerini tasarlamak için kullanılmaktadır.

Modern Kullanımı Nedir?

Yeni uzay görevleri başlatıldığında, en uygun kütleçekimsel tüplerin (veya yolakların) bulunmasını sağlar ve bunların enerji bakımından en verimli olmasını hedefler. Ayrıca uydu kanallarının televizyonlarımızda görünebilmesini sağlar. Bunun haricinde gezegenlerin hareketlerinin tahmininde kullanılır ve bu yöntemle yapılan Neptün'ün keşfi Nobel Ödülü getirmiştir. Ayrıca bu yasa kullanılarak gelgitler ve miktarları belirlenir. Son olarak, birçok füze ve uydu sistemlerinin analizi bu denklem ile yapılır.

5) Karmaşık Sayılar (Kompleks Sayıların) Kökeni

Ne Anlama Geliyor? 

Sanal (kompleks, karmaşık) bir sayının karesinin negatif olacağını gösterir. Buradaki "i" bir sayıdır ve her zaman "-1" sayısının kareköküne eşittir. Normalde, lise sıralarında negatif sayıların karekökü olmaz." diye öğretilse de, bu ifade tam olarak doğru değildir. Negatif sayıların karekökü, karmaşık sayılar verir. Reel sayılarda negatif bir sayının çift dereceli kökü olmadığından reel sayılar kümesi sanal birim oluşturularak genişletilme gereği duyulduğundan karmaşık sayılar inşa edilmiştir. i sanal biriminin kuvvetlerine göre artık reel sayıları da içerisine alan daha geniş bir sayı kümesi karmaşık sayılar elde edilmiş olur.

Tarihi Nedir?

Hayali sayılar aslında ilk olarak kumarbaz matematikçi Girolamo Cardano tarafından ileri sürülmüştür. Daha sonradan Rafael Bombelli ve John Wallis tarafından geliştirilmiştir. William Hamilton tarafından kesin tanımları yapılana kadar garip bir sorun olarak matematikte kalmışlardır.

Önemi Nedir?

Stewart'a göre: "Elektrik ışıklandırmalarından dijital kameralara kadar birçok modern teknoloji bu sayılar olmadan icat edilemezdi." Hayali sayılar, karmaşık analizlerde kullanılır ve bunlar da, mühendislerin çalışma alanındaki pratik sorunların çözülmesinde kullanılır.

Modern Kullanımı Nedir?

Elektrik mühendisliğinde ve karmaşık matematik teorisinde yoğun olarak kullanılır. Elektrik mühendisliği dahilinde bir devre elemanının verilen bir zamandaki durumunu belirlemek amacıyla kullanılabilir. Bunun haricinde elektromanyetik kuram dahilinde, elektrik alan kuvveti ile manyetik alan kuvvetini ifade etmekte kullanılır. Ayrıca akışkanların bir cisim etrafındaki hareketini tanımlarken karmaşık analizler gerekir ve burada bu sayılar devreye girer. Benzer şekilde, ekonomik sistemlerin davranışlarının analizinde bu sayıların kullanılması gerekir. 

6) Euler'in Çokyüzlü Katı Cisimler Formülü

Ne Anlama Geliyor? 

Bir uzayın, yöneliminden bağımsız olarak şeklinin ve yapısının tanımlanmasını sağlar. Yukarıdaki denklemde "F", bir çok yüzlü geometrik şeklin "yüz" sayısını, "E" aynı şeklin "kenar" sayısını, "V" ise aynı şeklin "köşe" sayısını ifade eder. Denkleme göre, yüz sayısı ile köşe sayısının toplamından kenar sayısını çıkarırsanız, hangi şekli inceliyor olursanız olun 2 sayısını elde edersiniz. Bir kübü düşünelim: 6 yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı vardır. Yukarıdaki denkleme koyacak olursanız, 6-12+8 işleminin sonucu 2'dir ve denklem sağlanır. Bunu her geometrik şekil ile deneyebilirsiniz.

Tarihi Nedir?

İlk olarak Descartes tarafından tanımlanan bu ilişki, sonradan Leonhard Euler tarafından 1750 yılında gözden geçirilmiş, ispatlanmış ve yayımlanmıştır. Platon cisimleri de denilen çok yüzeylilerdeki bu kenar köşe ve yüz sayıları arasındaki ilişkiyi Euler modern anlamda ispatlayarak eserlerinde neşretmiştir. 

Platon cisimleri için ayrıntılı bilgi: (Bkz. Platon-cisimleri) 

Euler Formülü kullanım örnekleri için: (Bkz. Çok yüzlü cisimler için Euler Formülü) 

Arşimed Yüzeyleri: (Bkz. Arşimed Yüzeyleri ve Çok yüzlüler) adreslerini inceleyebilirsiniz.

Önemi Nedir?

Topografi (yüzey bilimi) açısından temel öneme sahiptir. Bu bilim dahilinde herhangi bir geometri sürekli yüzey olarak ifade edilir. Aynı zamanda mühendisler ve biyologlar için önemlidir.

Modern Kullanımı Nedir?

Topoloji, DNA'nın davranışını ve fonksiyonlarını anlamakta kullanılmaktadır. Bunun haricinde, topoloji sayesinde robotik alanında kullanılan sensörlerin isabetliliği arttırılmıştır.

7) Normal Dağılım

Ne Anlama Geliyor? 

Özellikle istatistik alanında sıkça kullanılan normal dağılım eğrisinin formülize edilmiş halidir. Standart normal dağılımı tanımlar. Bu dağılım, bir çan eğrisi şeklinde gözükür ve bir gözlem olasılığının en muhtemel olarak ortalama civarında olduğunu ifade eder. Ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı azalır. Denklemde sol taraf, dağılım fonksiyonunu göstermektedir. Buradaki "1 bölü karekök içerisinde 2 çarpı pi'nin" varlığı, sol taraftaki fonksiyonun altında kalan alanın 1'e eşit olmasını sağlar. Karekök içerisindeki diğer harf olan "sigma", "standart sapma" ifadesidir. Sonrasında bu ifade, eksponansiyel ("e" üzeri olarak gösterilir) bir sayı ile çarpılmaktadır. Bu sayı içerisindeki "x" fonksiyonumuzun değişkenini, parantez içerisinde "x"ten çıkarılan "mü" sayısı ise "ortalama" değeri ifade eder. Geri kalanı, izah edilen değişkenlerle aynıdır. 

Tarihi Nedir?

İlk olarak Blaise Pascal tarafından geliştirilen sistem sonradan Bernouilli tarafından son hali verilmiştir. Bugünkü çan eğrisi ise Belçikalı matematikçi Adolphe Quetelet tarafından tanımlanmıştır.

Önemi Nedir?

Modern istatistiğin temelindeki denklemdir. Bilim ve özellikle sosyal bilimler, bu denklem olmadan bugünkü halini alamazdı.

Modern Kullanımı Nedir?

İlaçların, klinik deneylerde, negatif etkilerine karşılık yeterince etkili olup olmadıklarını anlamak için kullanılır. Bunun haricinde özellikle üniversite öğrencilerinin sürekli olarak yarışmaları gereken bir dağılım eğrisi çıkarılmasını sağlar. Genel olarak, dağılımların olduğu her yerde çan eğrileri kullanılabilir. Evrimsel biyoloji dahilinde, popülasyonları modellemek ve evrimsel değişim yönlerini analiz etmek amacıyla çan eğrilerine başvurulur.

8) Dalga Denklemi

Ne Anlama Geliyor? 

Dalgaların davranışlarını tanımlayan diferansiyel denklemdir. Esasında bir keman telinin titreşimini tanımlamak için geliştirilmiştir. Burada, sol taraftaki "u", genelde zamana ve konuma bağlı olan bir fonksiyonu ifade eder. "t", zamanı gösterir. Soldaki ifadenin tamamı ise, "u" fonksiyonunun zamana bağlı olarak ikinci türevidir. Sağ tarafta yer alan "c", denklemin başlangıç koşulları tarafından belirlenen, herhangi bir sabittir. Sonraki ifade ise, aynı "u" fonksiyonunun bu defa zamana göre değil, "konuma" göre, yani "x" harfine göre ikinci türevidir. Kimi zaman bunun yerine Laplasyen formda da yazılabilir. O zaman, Laplace operatörü olan ters üçgen işareti koyulur.

Tarihi Nedir?

Matematikçi Danielle Bernouilli ve Jean D'Alambert tarafından 18. yüzyılda keşfedilmiştir. İkili, aynı denklemi birbirlerinden biraz farklı olarak tanımlamışlardır.

Önemi Nedir?

Dalgaların davranışı, seslerin nasıl çalıştığına, depremlerin nasıl oluştuğuna ve okyanusların davranışlarına genellenebilmektedir.

Modern Kullanımı Nedir?

Petrol firmaları patlattıkları patlayıcılardan yayılan ses dalgalarını ölçerek jeolojik oluşumları tespit etmektedirler. Bunun haricinde müzik aletlerinin ve televizyonların yapılabilmesini ve geliştirilmesini sağlamaktadır. Evlerimizde kullandığımız mikrodalga fırınları mümkün kılmıştır. Günümüzde birçok tür elektromanyetik dalgaları kullanarak yönlerini, avlarını ve avcılarını tespit eder. Ayrıca sonarlar gibi engel ve yüzey tespit aletlerinin üretilebilmesini mümkün kılmıştır. Kısaca dalgaların olduğu her alanda geniş ufuklar açmıştır.

9) Fourier Dönüşümü

Ne Anlama Geliyor? 

Zamana bağlı fonksiyonları, frekansa bağlı olarak tanımlamaya yarar. Burada, sol taraf dönüşümün sonucunu gösteren fonksiyondur (ancak burada fonksiyonun tersi olarak yazılır) ve "xi" harfi, frekansı ifade eder. Sağ tarafta, eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar integral alınmaktadır. İntegrali alınan fonksiyon, genellikle zamana bağlı olarak ifade edilen ve frekansa bağlı ifadesini aradığımız fonksiyondur ve "f(x)" olarak gösterilir. Yani bu durumda, "x" genellikle zamanı belirtir. Geri kalan ifadeler ise, bildiğimiz "pi" sayısı, "i" karmaşık sayısı, "x" değişkeni ve "xi" frekansıdır. "dx" ise integralin değişkenini belirtmektedir.

Tarihi Nedir?

Joseph Fourier bu denklemi meşhur ısı denkleminden genişleterek çıkarmıştır. Bu denklemi daha önceden dalga denklemi olarak anılmaktaydı.

Önemi Nedir?

Bu denklem sayesinde karmaşık şablonlar basitleştirilebilir, temizlenebilir ve analiz edilebilir. Birçok sinyal analizi alanında önem taşımaktadır.

Modern Kullanımı Nedir?

Bilginin JPEG formatında saklanabilmesini ve moleküllerin yapısının keşfedilebilmesini sağlamaktadır. Optik görüntülerin, müzikal enstrümanların, kuantum mekanik sistemlerin anlaşılabilmesinde ve analizinde kullanılır. Ayrıca sinyal analizinde, ışık deneylerinde ve yüzey akımlarının radyasyonunun tespitinde geniş olarak kullanılır.

10) Navier-Stokes Denklemi

Ne Anlama Geliyor? 

Denklemin sol tarafı küçük miktarda bir akışkanın ivmesidir, sağ tarafı da üzerine etki eden kuvvetleri belirler. Dolayısıyla bu denklem, Newton'un İkinci Yasası'nın akışkanlara genişletilmiş bir versiyonudur. Bu denklemde sol taraftaki ilk harf olan "ro", akışkan yoğunluğunu gösterir. Parantez içerisindeki "del v bölü del t" olarak okunan ifade, akışın hızının zamana göre değişimi, yani akışın ivmesidir. Parantez içerisindeki ikinci terim, akışın hızı ile akışın gradyanını (değişim vektörünü) birbiriyle çarpan ifadedir. Denklemin sağ tarafındaki ters üçgen, del operatörüdür. İlk terimde akışın basıncının del operatörü ile çarpımı alınır. Sonrasında ise aynı işlem, toplam stres tensörü ile yapılır ve sonunda bu iki terimin toplamına "f" ile ifade edilen vücut kuvvetleri eklenir.

Tarihi Nedir?

Leonhard Euler bir akışkan hareketini tanımlamaya çalışan ilk kişi oldu, ancak denkleme son halini Fransız mühendis Claude-Louis Navier ve İrlandalı matematikçi George Stokes vermiştir.

Önemi Nedir?

Bilgisayarlar bu denklemi çözebilecek kadar güçlü hale geldiğinde, fizik alanında karmaşık ve çok faydalı alanların açılmasını sağlamıştır. Özellikle araçların daha aerodinamik olarak üretilebilmesini mümkün kılmıştır.

Modern Kullanımı Nedir?

Birçok diğer teknoloji ile birlikte, modern yolcu jetlerinin yapılabilmesini sağlamıştır. Bunun haricinde akışkanların düzgün ve türbülanslı bir biçimde hareketinin analizinde kullanılır. Bu sayede, içerisinde akışkanların hareketini barındıran her türlü teknolojinin geliştirilebilmesini mümkün kılmıştır.

11) Maxwell Denklemleri

Ne Anlama Geliyor? 

Elektrik ve manyetik alanlar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu denklemlerde "E" elektrik alanını, "H" (veya kimi kaynakta "B") manyetik alanı ifade eder. Yine "del" operatörü kullanılarak nokta (dot) ve çarpı (cross) çarpımları yapılmaktadır (bunlar vektörlerin birbiriyle çarpım biçimleridir). Denkleme göre del operatörü ile yapılan nokta çarpımı elektrik alanı için "ro" ile gösterilen elektrik yükü yoğunluğunun "epsilon sıfır" ile gösterilen dielektrik sabitine bölümüdür. Buna Gauss Yasası da denir. Aynı işlem manyetik alan için yapılacak olursa, sıfır elde edilir. Buna Gauss'un Manyetik Yasası da denir. Çarpı çarpımının sonucu ise görselin sağ tarafında gösterilen denklemleri verir ve elektrik alanı ile yapılan çarpım manyetik alanın zamana göre değişimini verir. Buna Faraday'ın Endüksiyon Yasası veya Maxwell-Faraday Denklemi de denir. Manyetik alana göre yapılan çarpım ise daha karmaşık bir denklem olan Amper'in Devre Yasasının Maxwell Doğrulaması olarak bilinen denklemi doğurur. Burada denklemin sağ tarafında "mü sıfır" olarak gösterilen boş uzayın geçirgenliği, "J" olarak gösterilen akım yoğunluğu, diğerleri ise daha önce bahsedilen özelliklerdir.

Tarihi Nedir?

Elektrik ve manyetik alanları birleştirmeye çalışan ilk kişi Michael Faraday'dır ve bu çabası ilk olarak James Clerk Maxwell tarafından denkleme dönüştürülmüştür. Bu keşif, fiziği temelden değiştirmiştir.

Önemi Nedir?

Elektromanyetik dalgaların tahmin edilmesini ve daha iyi anlaşılmasını sağlamıştır. Bu sayede, günümüzde kullandığımız birçok teknoloji mümkün olmuştur.

Modern Kullanımı Nedir?

Radar, televizyon ve modern iletişim bu denklem sayesinde mümkün olmuştur. Özellikle cep telefonu sinyallerinin dağıtımı ve ulaştırılmasında etkili olan bir denklemdir.

12) Termodinamik'in İkinci Yasası

Ne Anlama Geliyor? 

İzole bir sistemin entropisinin (düzensizliğinin) asla azalamayacağını ve düzensizliğin sisteme enerji akışı olmadığı sürece daima artmak zorunda olduğunu gösteren denklemdir. Tüm sistemlerin termodinamik denge hali olan maksimum düzensizlik haline evrimleşmek zorunda olduğunu gösterir. Denklemdeki "dS" ifadesi, entropinin zamana bağlı değişimini ifade eder ve bu değişim her zaman pozitif olmak zorundadır. Yani karmaşıklık (düzensizlik) daima artar.

Tarihi Nedir?

Sadi Carnot, doğada geri döndürülebilir bir sürecin olmadığını keşfeden ilk kişidir. Matematikçi Ludwig Boltzmann bu yasayı geliştirmiştir ve William Thomson resmi olarak ilan etmiştir.

Önemi Nedir?

Enerjiyi ve evreni entropi (kaos, düzensizlik) çerçevesinde anlamamızı sağlayan denklemdir. Isıdan elde edebileceğimiz iş miktarını anlamamızı sağlamış, daha iyi buharlı makineler üretebilmemizi sağlamıştır.

Modern Kullanımı Nedir?

Maddenin atomlardan oluştuğunu ispatlamamızı sağlamıştır. Bu bile yeterli bir kullanım alanıdır; ancak bunun haricinde, otomobil motorlarının, buzdolaplarının geliştirilmesini sağlamıştır. Üstelik canlı-cansız sistemlerinin doğal davranışlarını anlamamızı ve canlılığın öncelikle cansızlıktan nasıl evrimleştiğini ve bunu nasıl sürdürdüğünü, sonrasında ise canlılığın açık sistemlerde kendi içerisinde nasıl evrimleşebileceğini anlamamızı sağlamıştır. Bu sayede evrene ve doğaya bakış açımızı değiştirmiştir. Bunun haricinde birçok kimyasal tepkimenin hangi ortam koşullarında, nasıl ve ne biçimde gerçekleştiğini anlayabilmemizi sağlamıştır. Isı ve enerji akışının olduğu her sistemin analizini mümkün kılmıştır.

13) Einstein'ın Görecelik Teorisi

Ne Anlama Geliyor? 

Enerjinin, kütle ile ışık hızının karesinin çarpımına eşit olduğunu gösterir. Denklemin sol tarafındaki "E", enerjiyi ifade eder. Sağ tarafındaki "m" cismin kütlesini, "c" ise ışık hızını gösterir.

Tarihi Nedir?

Fiziğin içinden olmayan insanlar için daha az bilinen bir hikaye, Einstein'ın meşhur denkleminin Albert Michenson ve Edward Morley tarafından yapılan bir deneye dayanmasıdır. Bu deneyde ışığın referans düzlemleri açısından Newton fiziği ile açıklanamayan bir şekilde hareket ettiği gösterilmiştir. Einstein bu keşfin üzerinden giderek 1905 yılında özel görecelik, 1915 yılında genel görecelik kuramlarını ileri sürmüştür.

Önemi Nedir?

Muhtemelen insanlık tarihinin en meşhur denklemidir. Madde ve gerçeklik ile ilgili tüm görüşlerimizin değişmesini sağlamıştır. 

Modern Kullanımı Nedir?

Nükleer silahlarda, GPS cihazlarında kullanılmaktadır. Günlük yaşamda teknolojik açıdan doğrudan çok fazla çıkarımı olmasa da, evrene bakışımızı değiştirmesi açısından büyük öneme sahiptir. Zaman ve uzayla ilgili algımızı yeniden yaratmış, zamanın bile farklı referans noktaları için farklı değerlere sahip olabileceğini, hiçbir şeyin mutlak olarak ölçülemeyeceğini ispatlamıştır.

14) Schrödinger Denklemi

Ne Anlama Geliyor? 

Maddeyi bir parçacık yerine dalga olarak modellemeye yaramaktadır. Denklemin sl tarafındaki ifadede "i" karmaşık sayıyı, "çizgili h" indirgenmiş Planck sabiti olan 1.054x10^-34 J.s değerini, "t" zamanı gösterir. Bu ifadeden çıkarılan "psi" harfi ise dalga fonksiyonunu ifade eder. Denklemin sağ tarafındaki "şapkalı H" ise Hamiltonyen operatördür ve bu durumda, dalga fonksiyonunun toplam enerjisini ifade eder ve duruma göre farklı sonuçlar verebilir.

Tarihi Nedir?

Louis-Victor de Broglie maddenin ikili yapısını 1924 yılında göstermiştir. Bu denklem ise Erwin Schrödinger tarafından 1927 yılında geliştirilmiştir ve Werner Heisenberg gibi fizikçilerin bulguları üzerine kuruludur.

Önemi Nedir?

Küçük boyutlardaki fizik algımızda devrim yaratmıştır. Parçacıkların belirli olasılık düzeylerinde bulunduğunu keşfetmemiz, fiziğe tamamen yeni bir yön vermiştir.

Modern Kullanımı Nedir?

Yarıiletkenler ve transistörlerde kullanılır. Bu sebeple modern bilgisayar teknolojilerinin temelinde yer alır. Ayrıca maddenin atomik yapısının net olarak anlaşılabilmesine imkan sağlamıştır. Dalga mekaniğinin en güçlü araçlarından biri bu denklemdir.

15) Shannon'un Bilgi Teorisi

Ne Anlama Geliyor? 

Bir kodun bileşen sembollerinin olasılıklarından yola çıkarak o kod içerisindeki veri miktarını tahmin etmeye yarayan denklemdir. Denklemde sol tarafta yer alan ve "H" harfi gibi gözüken ama Yunan harflerinden biri olan "eta", entropiyi (düzensizliği) simgeler. Denklemin sağ tarafındaki büyük E gibi gözüken ifade, seri toplama ifadesidir. p(x) incelemekte olan fonksiyonu gösterir ve bu fonksiyon, seri toplama ifadesi altında aynı fonksiyonun logaritmasıyla çarpılmaktadır.

Tarihi Nedir?

Bell Laboratuvarları mühendislerinden Claude Shannon tarafından 2. Dünya Savaşı sırasında geliştirilmiştir.

Önemi Nedir?

Stewart'a göre: "Bilgi çağını başlatan denklem bu olmuştur." Mühendislerin çok verimli kodlar aramasına engel olarak, CD'lerden tutun da dijital iletişime kadar birçok teknolojiyi mümkün kılmıştır.

Modern Kullanımı Nedir?

Kodlar içerisinde hataların bulunabileceği hemen her yerde kullanılmaktadır.

16) Popülasyon Büyümesinin Lojistik Modeli

Ne Anlama Geliyor? 

Bir türe ait popülasyonun nesiller içerisinde, kısıtlı kaynaklar dahilinde nasıl değişeceğini tahmin etmemizi sağlar. Denklemin sol tarafı verilen bir popülasyon büyüklüğünün belli bir zaman sonraki değerini ifade eder. Denklemin sağ tarafındaki "k" harfi popülasyonun büyüme oranını, "x_t" ise birim zamanda popülasyonun büyümesinin, popülasyonun taşıma kapasitesine bölümünden elde edilen sonuçtur.

Tarihi Nedir?

Popülasyon büyümesinin kaosa neden olabileceğini ileri süren ilk kişi 1975 yılında Robert May olmuştur. Vladimir Arnold ve Stephen Smale gibi matematikçilerin çalışmaları sayesinde bu kaosun diferansiyel denklemlerle ifade edilebileceği anlaşıldı.

Önemi Nedir?

Kaos teorisinin geliştirilebilmesini sağlamıştır. Bu da, doğal sistemlerin nasıl işlediğine dair anlayışımızı tamamen değiştirmiştir.

Modern Kullanımı Nedir?

Yer ve hava olaylarının araştırılmasında özellikle depremlerin modellenmesinde ve hava durumunun tahmin edilmesinde kullanılmaktadır.

17) Black-Scholes Modeli

Ne Anlama Geliyor? 

En risksiz biçimde fiyatın belirlenmesini ve bu belirlenen fiyatın ara kazanç fırsatı olmadan doğru fiyat olmasını sağlayan denklemdir. Denklemdeki "sigma" bir malın fiyatlarındaki dalgalanmayı, "S" malın fiyatını, "V" zamana ve mal fiyatına bağlı bir fonksiyonu, "r" yıllık risksiz faiz miktarını belirtir. Denklemde karmaşık bir türev hesabı yapılarak fiyatlar belirlenmeye çalışılmaktadır.

Tarihi Nedir?

İlk olarak Fischer Black ve Myron Scholes tarafından geliştirilmiştir ve sonrasında Robert Merton tarafından genişletilmiştir. Bu ikili, keşifleri sayesinde 1977 yılında Nobel Ekonomi Ödülü'nü almışlardır.

Önemi Nedir?

Günümüzde trilyon dolarlarla ifade edilebilen pazarların kurulmasını mümkün kılmıştır. Bu denklemlerin ve türevlerinin kötüye kullanımının ekonomik krize neden olduğu iddia edilmiştir. Bu denklemlerin, gerçek piyasada geçerli olmayan varsayımlarda bulunduğu bilinmektedir.

Modern Kullanımı Nedir?

Bu denklem ve türevleri halen ürünlerin fiyatlandırılmasında kullanılır. Ekonomi alanında ve ekonomik sistemlerin alt yapılarında iktisat teorilerinde bu denklem kullanımı mevcuttur."

KAYNAK: http://www.businessinsider.com/the-17-equations-that-changed-the-world-2012-7?op=1 orjinal dilde yazılı metinden çeviri için yararlanılan site: http://www.evrimagaci.org/makale/18 

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Herhangi bir üçgende iç açıortay veya dış açıortay çizilmiş olursa, buna bağlı olarak özel teoremler yazılabilir. Teoremler yazılırken üçgenlerde benzerlik ilişkisinden yararlanılır.

Açıortay ister iç ister dış açıortay olsun üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına bir paralel çizildiğinde benzer üçgenleri oluşturmak mümkün olur. Benzerlik yardımıyla karşılıklı eş açıların karşılarındaki kenarların birbirlerine oranları sabit olduğundan özel olarak iç açıortay teoremi ve dış açıortay teoremleri bulunur. 

İç açıortay teoreminin farklı bir çizimle ispatı yukarıdaki gibi verilmiştir. Yine A.A.A benzerlik kuralından yararlanarak, benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orandan iç açıortay teoremi elde edilir. Aynı çizimi dış açıortay içinde kullanarak,  dış açıortay teoremi Thales teoreminden yararlanarak ispatlanabilir. İspatı yapılırken benzer açılar ve kenarların oranlarına bakılır. (Bkz. Thales Teoremleri)

İç ve dış açıortay teoreminde kenarların oranları tamamen benzerlik teoremlerinin bir sonucudur. Benzerlik teoremleri de soruların çözümünde kullanılabilir. (Bkz. Eşlik ve Benzerlik Teoremleri) Her defasında benzerlik teoremlerini kullanmak yerine, açıortay ile elde edilmiş buradaki sonuçları kullanmak, soru çözümlerinde kolaylık sağlayacaktır. İç ve dış açıortay teoremlerinin uygulama örneklerini, aşağıda inceleyerek teoremleri daha iyi kavramaya çalışınız.

Açıortay dikmeleri ile ilgili diğer özellikler için farklı bir konu başlığı altında yazdığımız yazıyı da  inceleyebilirsiniz. (Bkz.Açıortay Dikmeleri)

Pisagor ve İtalya Mektebi

Pisagor ve İtalya Mektebi M.Ö 580-500  Sisam  adasında  doğmuş  olan  Pythagoras, Küçük Asya ve Yunanistan’dan başlayarak eski kıtanın birçok ülkelerini gezmiştir. Fenikeliler,  Keldaniler,  Yahudiler,  İranlılar,  Hintliler,  Araplar  uğradığı  yerler arasındadır.  Mısır’da  eğitim  görürken  batınî  felsefeyi  öğrenmeye  çalışmış,  bu seyahatleriyle  zengin  bir  bilgi  hazinesi  elde  etmiştir.  Pythagoras  tam  olgunluk çağındayken  Polykrates’in  baskısından  kendini  kurtarmak  için  Güney  İtalya’daki Kroton  şehrine  göçtü  ve  orada  bir  topluluk  (tarikat)  kurdu.  Bunun  için  kurduğu mektebe  İtalyan  mektebi  de  denilir.  Sokrates  öncesi  en  uzun  yaşayan  mektep  de budur  (Gökberk,  1974,  37).  Bir  nevî  manastır  olan  bu  mektep  ikiyüz  sene  sonra Büyük İskender tarafından kapatıldı. Buraya  alınan  talebeler  beş  yıl  süreyle  sükunetle  durmaya  ve  sadece dinlenmeye  mecburdular.  Onlar,  Pythagoras’ı  görme  şerefine  ancak  bu  beş  yıllık hazırlık  eğitiminden  sonra  ulaşırlardı.  “Topluluğa kabul  edilerek  onun  kutsallık sınırına ortak edilenler, din ve ahlâkı tatmin edici ciddî bir hayat sürmeyi taahhüt ediyordu. (...) Ilımlılık, sadelik, zorlukla ülfet, beden ve ruhun sağlığı, tanrılara, ana babaya,  dostlara  ve  kanuna  karşı  kayıtsız  şartsız  bağlılık  ve  vefa  geniş  bir  şekilde nefse  hakimiyet  ve  boyun  eğme,  Pythagorascı  hayatın  temel  erdemleri  sayılırdı.” (Vorlander, 1927, 32). Pythagorascıların  dinî  cemaatlerinin  aynı  zamanda  siyasî  bir  yönü  de  vardı. Bunlar  birçok  İtalya  şehirlerinde  iktidarı  ele  geçirmişlerdir.  Halk  Pythagorascılara karşı ayaklanarak merkezlerini basmış ve 40 kadar Pythagorascıyı da öldürmüştür. Orfik  inançların  tesirinde  kalan  Pythagorascılar  tenasuha  (ruh  göçü/ reenkarnasyon)  inanırlar.  Tenasuh  nazariyesi,  bedenin  ölmesinden  sonra,  ruhun çeşitli varlıklar içinde, yeniden bu dünyaya geldiğini kabul eder. İnsanın bu dünyada yaşadığı hayatın değerine göre, ölümden sonra ruh, yeni bir varlık içinde, yeniden ortaya  çıkar.  Eğer  insan  bu  dünyada  suç  işlemiş,  aşağılık  bir  hayat  sürmüş  ise, ölümden sonra onun ruhu, aşağı bir hayvan, hatta bir bitki şeklinde ortaya çıkabilir.

Bu  nedenle  Pythagorascılar  et  ve  bazı  sebzeleri  (özellikle  baklagilleri)  yemekten kaçınır, kanlı kurbanlar kesmezlerdi. Hayvanlardan elde edilmiş hiçbir malzemeyi kullanmazlardı  (Birand,  1964,  16).  Onların  et  yememelerinin  sebebi  yakınlarının birine ait ruhun bu hayvan kalıbında yer alabileceği idi (Gökberk, 1974, 38). Cinayeti yasaklayan Pythagoras, insanları kolay ve rahat bir hayata alıştırmayı amaçlıyordu. Bunun  için  de  insanlar,  daima  kolaylıkla  bulabilecekleri  yiyeceklere  alışmalı, pişirmeye  mecbur  kalmamalıdır.  Sadece  su  içmekle  yetinmek,  vücudun  sıhhati  ve ruhun cevelanı için daha uygundu.

Pythagorascılar,  genellikle,  matematik,  astronomi  ve  tıp  ilimleriyle uğraşıyorlardı. Günümüz dünyası, geometri alanında halen, Pythagoras’ın dik üçgen bağıntısını  kullanmaktadır.  Bu  bağıntıya  göre  bir  dik  üçgende,  iki  dik  kenarın karelerinin  toplamı,  hipotenüsün  karesine  eşittir  (Russell,  108).  Pythagorascılar irrasyonel sayıları bulmuşlar ve telli musîkî aletleriyle de uğraşmışlardır. Pythagorascıların arche’si  sayıdır,  dolayısıyla  soyut  bir  kavram  antik  Yunan düşüncesinde  bir  kez  daha  arche  olmuştur.  Her  şeyin  özünde  bulunan  sayıdır. Dünyada  bulunan,  fizik  veya  metafizik  tüm  gerçekliklerle  ilk  on  sayı  arasında nispetler  vardır.  Her  sayı  belli  bir  şekle  karşılıktır.  Kare,  dikdörtgen  ve  pramit sayılardan  söz  ediyorlardı.  Alemin  özünü  sayılarda bulan  Pythagorascılara  göre, olguların  özünü  kavrayabilmek  için  ilkin  onların  temelindeki  matematik  esasların kavranması  gerekirdi.  Dolayısıyla  onlara  göre  bilgi,  matematik  düşünceden  ibaret görünüyordu (Birand, 1964, 17). Pythagoras’a göre tabiattaki her şey sayı yasaları çerçevesinde cereyan eder, ve sayılar tek ve çifttir. Tek sayılar bir başlangıca, bir ortaya ve bir sona sahip oldukları için tamdırlar. Bu sayılar temel olarak, olgunluk ilkesi tekliğe sahiptirler. Çift sayılar eksiktirler  ve  onlar  bölünmenin,  noksanlığın  ilkesi  olan  ikiciliğe  dayanırlar. Pythagorascıların  kendisiyle  yemin  ettikleri  dört  sayı  (tétractys),  birlik  (monade), ikilik  (dyade),  üçlük  (triade)  ve  dörtlük  (tétrad)  ten  oluşuyordu.  Bunların toplamından onluk (décade) meydana gelir. Onluk, birleşik sayıların en mükemmeli kabul  edilirdi.  Dört  sayı  nazariyesi,  astronomi,  psikoloji  ve  ahlâk  olaylarına  eşit olarak uygulanırdı (E. Barbe, 1986, 45-46). Pythagorascılara göre sayıların niteliği, insana vukuf kazandırır, her bilinmeyen ve her şüpheli şey hakkında insana yol gösterir, insanı aydınlatır. Eğer sayı ve onun mahiyeti  olmasaydı  eşyanın  kendisinden  veya  onların  nispetlerinden  kimseye  en cûzî  yön  bile  malum  olmazdı  (Vorlander,  34).  Bu  mektebe  göre  sayılar  bütün varlıkların ilkeleridir. Belli bir sayı belli bir niteliği ile adalettir, başka bir sayı ruhtur, başka  bir  sayı  akıldır  (Gökberk,  1974,  38-39).  “1” sayısı,  basitliği  sebebiyle  aklı gösterir. “4” sayısı, eşitin eşitle çarpımı olduğu için adaleti gösterir (Challaye, 1948,18). 5 evlenmeyi (zira 3+2=5 dir. İlk erkek sayının  ilk dişi sayı  ile birleşmesidir), 6 nefsi,  7  aklı,  sıhhati  veya  ışığı,  8  muhabbeti  veya  ihtiyat  ve  tedbiri  temsil  eder (Vorlander, 37).

Kaynak: Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim Yayınları Felsefe Tarihi, Murtaza Korlaelçi, 2012