Pisagor Teoremi ve İspatı

Etiketler : geometri ispat matematik pisagor teorem üçgen

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.

12.yy da yasamış Hintli Bhaskara'ya atfedilen Pisagor Teoremi ispatı için; bir kare çizilir. Kare içerisine dört adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin tamamının hipotenüsleri karenin kenarına gelecek şekilde çizilmesi önemlidir. Çizilen bu üçgenler birbiri ile benzer üçgenlerdir. Bu benzer üçgenlerden ikisini alttaki şekildeki gibi taşıyarak yeni şekil oluşturulup alanlar incelendiğinde ilk karenin alanı ile yeni oluşan şeklin alanı birbirine eşit olur. Buradan da pisagor teoreminin ispatı bulunur. 

 

Türk matematikçilerinden Hüseyin Demir'in daha ortaokul yıllarında iken(1931) keşfettiği ispat da Bhaskara'nın ispatına benzemekle birlikte daha ilgi çekici durumdadır.  Altta yer alan şekilde ABCDQP çokgenin alanı ile ABCDRS çokgenin alanı birbirine eşittir. Oluşan kare ve dikdörtgenlerin alanları teker teke yazılıp çokgenlerin alanları eşitlenirse pisagor teoremi ispatı ortaya çıkar. 

 

1876 yılında Amerika Devlet Başkanı James Garfield tarafından yapılmış bir Pisagor teoremi ispatı da diğer ispat şekillerine benzerliktedir. Birbirine eş iki adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin arasında kalan açı 90 derece olacak şekilde birbirine birleştirildiğinde oluşan ikizkenarlar için bir üçgen çizilirse çizilen bu yeni üçgen ikizkenar dik üçgen olur. Bütün bu üçgenlerin alanları toplamı oluşan tüm şeklin yani yamuğun alanına eşit olur ki bu da piasagor teoreminin ispatını verir.

Bir dik üçgen içerisinde hipotenüs ait bir dikme çizildiğinde oluşan iki küçük üçgen ve en baştaki büyük üçgen arasında açısal olarak bir benzerlik söz konusudur. Ayrı ayrı iki küçük üçgen büyük üçgenle benzer olduğundan benzerlik bağıntıları yazılırsa buradan da pisagor teoreminin ispatına ulaşılır.

 

Yine bir ABC üçgeni için aşağıdaki şekildeki gibi A noktasının karenin merkezine göre simetriği alınırsa ortaya çıkan şekildeki alanların arasındaki ilişkiden pisagor teoreminin ispatına ulaşılabilir.

 

Eş parçalama tekniklerine göre pisagor teoremi farklı yollardan da ispatlanabilir. Bunun için aşağıda diğer yöntemlerden farklı olarak bir başka ispat yöntemi daha sunulmuştur. Mantık yine aynı kareleri parçala alanlar arasındaki ilişkiyi incele ve sonuçta teoremin ispatına ulaşılır.

 

En son olarak pisagor teoreminin materyal geliştirme derslerinden bir model olarak tasarlanmış ispatını da sizlere video olarak sunuyoruz. 

Pisagor Teoreminin ayrıca vektörel olarak da ispatı yapılabilir. Bu ispat için vektörlerin iç çarpım özelliğini ve dik üçgenin taşıyıcı vektörlerini  bilmek yeterli olacaktır. (Bkz. Pisagor Teoremi vektörel ispatı)

Kaynakça:
Sinan Sertöz, Pisagor Teoreminin İspatı, Bilkent Üniversitesi, 
http://sertoz.bilkent.edu.tr/turk/pisagor.pdf 

Khan Academi Pisagor Teoremi İspatı http://www.khanacademy.org.tr/ZUaVQrcuQxw www.matematikciler.org
Kabasakal, Vedat, Çakımcı Tonay, Matematik 12,Nova Yay., Ankara,2016