Pisagor teoeremine yeni bir ispat

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir bağıntıdır. Pisagor teoreminde, hipotenüsün (dik üçgenin en uzun kenarı) uzunluğunun karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilir. Bu teorem, antik Yunan filozofu Pisagor'un adı ile literatürde yer almıştır. Teoremin çok çeşitli ispatları yapılmıştır. Daha önceki yazılarımızda konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler verilmiştir.  (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazıda, Amerika'daki iki genç yetenekten (Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson) süzülen farklı bir bakış açısı sunulmuştur.

 

Günümüzde bu teoreme yeni bir ispat metodu olarak; trigonometik yoldan ispatlama çalışması yapılmış ve bu yeni ispat matematik literatürüne kazandırılmıştır. New Orleans'taki St. Mary's Akademisi'nde son sınıf öğrencisi olan Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, okulda düzenlenen bir matematik yarışmasında Pisagor'un ispatı için yeni bir kanıt buldular. Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, Amerikan Matematik Derneği'nin bir toplantısında, buldukları bu ispatı, Pisagor Teoremi'nin yeni bir trigonometrik ispatı olarak jüriye sundular. Pisagor teoreminin trigonometrik ispatlarının bir zamanlar imkansız olduğu düşünülmesine rağmen, iki azimli lise öğrencisi tarafından bunun mümkün olduğu bir makale ile gösterilmiştir. 

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene "dik üçgen" denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara "hipotenüs", diğer kenarlara da "dik kenar" adı verilir. Hipotenüs, dik üçgendeki en uzun kenardır. Hipotenüs kelimesi, Yunancada ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir. Medeniyetlerin etkileşim içinde olduğu Mısırlıların, piramitlerin inşa sürecinde kullandıkları dik üçgenler için ip germe tekniklerinden yararlanmış olmalarından hareketle, 'hipotenüs' isminin de bunlara ithafen verilmiş olabileceği ihtimal dahilindedir. 

Pisagor Teoremi ve sonuçları

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. İşte bu kural pisagor teoremi olarak isimlendirilmiştir. 

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Dik üçgenlerde en çok kullanılan ve kenar uzunlukları tam sayı olan belirli üçgenler bilinmektedir. Eğer bu üçgenleri bilirseniz pisagor bağıntısını uygulamadan daha pratik olarak pekçok soruyu çözebilirsiniz. 

3–4–5 üçgeni: Kenar uzunlukları (3,4,5) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

8–15–17 üçgeni: Kenar uzunlukları (8,15,17) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

5–12–13 üçgeni: Kenar uzunlukları (5,12,13) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

7–24–25 üçgeni: Kenar uzunlukları (7,24,25) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

9-40–41 üçgeni: Kenar uzunlukları (9,40,41) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

(20-21-29) üçgeni, (12-35-37) üçgeni,..... şeklinde devam ettirilebilir.

Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoereminin farklı ispatları önceki yazılarımızda verilmiş ve video çözümlerle de bu ispat teknikleri gösterilmiştir. (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazımızda pisagor teoreminin vektörel yolla nasıl ispat edilebileceğini göstermek istiyoruz. Bunun için önce bir dik üçgeni taşıyıcı kollar olarak üçgenin köşe noktalarından tanımlanmış vektörleri belirliyoruz. Bu belirlediğimiz vektörlerde dört işlem özelliklerinden yararlanarak pisagor teoreminin ispatını aşağıdaki gibi vektörel yolla göstermiş oluruz.

Pisagor Teoremi ve İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.

Üçgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Üçgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Geometride temel kavramlar

**Açı Ölçü Birimleri

Doğruda Açılar ve Özellikleri

Doğruların birbirine göre durumları

Düzlemlerin Birbirine göre Durumu

Üçgende Açılar

Üçgende açı soruları ve çözümleri

Katlama soruları genel özellikleri

Üçgende Kenar Bağıntıları

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

**Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Ders Anlatım Föyleri-Eşkenar Üçgen

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Ders Anlatım Föyleri-İkizkenar Üçgen

Açıortay ve Özellikleri

Üçgende Açıortay Dikmeleri

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Üçgende açıortay soruları ve çözümleri

Kenarortay ve Özellikleri

Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

**Kenarortay Teoremi İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Üçgende Kenarortay

Üçgenin Kenarorta Dikmeleri

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası

Üçgenin İç ve Dış Merkezi

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Thales Teoremleri ve İspatı

Eş üçgenlerde Yardımcı Elemanlar

**Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

**Menelaus Teoreminin İspatı

**Karnot Teoremi ve İspatı

**Stewart Teoremi ve İspatı

**Steiner - Lehmus Teoremi

Sinüs teoremi ve ispatı

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Açılarına göre özel dik üçgenler

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Öklid Teoremleri ve ispatı

Pisagor Teoremi ve sonuçları

**Pisagor Teoremi ve İspatı

**Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Dik Üçgen

Üçgende Alan Bağıntıları

Üçgenin Heron alan Bağıntısı ( U Formülü)

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alan hesabı

Koordinatları bilinen üçgenin alanı

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Konu ile ilgili olarak, ÜÇGENLER (Esen Yay) örnek fasikülünü de ayrıca inceleyebilirsiniz. İNDİRMEK İÇİN TIKLAYINIZ:::

İtalyan mektebi ve Küreler Musikisi

İtalyan mektebi mensuplarına göre kâinat bir ahenkler bütünüdür. Dünya sistemi “kâinatın ocağı” ismi verilen mukaddes merkezî ateş etrafında dönen “10” adet semavî cisimden ibarettir. “Dünya da güneş etrafında hareket eden cansız cisimlerden biridir. Bu cansız cisimler muntazam kanunlar dairesinde hareket ederler, hareketlerinin neticesinde dolaştıkları esir dahilinde bir ses meydana gelir. Bu sese küreler musikisi denir. Bu sesler çok yüksektir. Biz bunu, yaratılışımızın zarifliği sebebiyle alamayız.” (Kranz, 34). Tabiatın evrensel aktif ilkesi Tanrıdır, ancak Pythagoras’a göre Tanrı, tabiatın bütün varlıklarında yayılmış olan ruhtur, insan ruhları da ondan elde edilmiştir (E. Barbe, 1986, 46).

Ruh kendiliğinden hareket eden bir sayıdır. Sayı ile, Pythagor zekayı anlıyor. Beden dağıldığı zaman ruh, yeniden Tanrı’ya döner eğer o temizse; temiz değilse, layık oluşuna göre ya bir vücudu canlandıracaktır ya da bir hayvan vücuduna yeniden dönecektir. Birtakım yalanlarla tenasuhu (ruh göçünü) savunan Pythagoras bir müddet kaybolduktan sonra benzi uçuk ve çirkin bir halde ortaya çıkıyor; cehennemden geldiğini, orada bazı şeyler gördüğünü, cisimlere girip çıktığını kendini dinleyen cahil halka anlatır (E. Barbe, 1986, 47). Aynı görüşü günümüzde savunanlar var. Ancak İslâm dini tenasuhu kesin olarak kabul etmez. İslâm’a göre her insanın beden ve ruhu sadece kendine aittir.

Pythagorascıların bilim alanındaki en büyük başarıları astronomide olmuştur. Antik Yunan dünyasında ilk defa bunlar, dünyayı evrenin merkezi olmaktan çıkarmışlar, onu küre şeklinde düşünmüşlerdir. Yerin, evrenin ortasında görünmeyen merkezî ateş etrafında döndüğünü söylemişlerdir. Böylece merkezde yanan ateşin yerine, güneşi koyarsak Kopernikus’un sistemine büsbütün yaklaşmış oldular. Pythagorascı anlayış, Platonculukta ve Descartes felsefesinde olduğu gibi, matematik ilmini dünyaya uygulayan tüm felsefelerde görülür.Bir sayı mistikliğine yol açtığı söylenebilir. Pythagorascılar mistik ve idealist oldukları için soyut kavramlar getirmiştirler.

 

 

Kaynakça:Felsefe Tarihi, Prof. Dr. Murtaza Korlaelçi, Prof. Dr. Celal Türer, Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim Merkezi, 2012, s.73

Pisagor ve İtalya Mektebi

Pisagor ve İtalya Mektebi M.Ö 580-500  Sisam  adasında  doğmuş  olan  Pythagoras, Küçük Asya ve Yunanistan’dan başlayarak eski kıtanın birçok ülkelerini gezmiştir. Fenikeliler,  Keldaniler,  Yahudiler,  İranlılar,  Hintliler,  Araplar  uğradığı  yerler arasındadır.  Mısır’da  eğitim  görürken  batınî  felsefeyi  öğrenmeye  çalışmış,  bu seyahatleriyle  zengin  bir  bilgi  hazinesi  elde  etmiştir.  Pythagoras  tam  olgunluk çağındayken  Polykrates’in  baskısından  kendini  kurtarmak  için  Güney  İtalya’daki Kroton  şehrine  göçtü  ve  orada  bir  topluluk  (tarikat)  kurdu.  Bunun  için  kurduğu mektebe  İtalyan  mektebi  de  denilir.  Sokrates  öncesi  en  uzun  yaşayan  mektep  de budur  (Gökberk,  1974,  37).  Bir  nevî  manastır  olan  bu  mektep  ikiyüz  sene  sonra Büyük İskender tarafından kapatıldı. Buraya  alınan  talebeler  beş  yıl  süreyle  sükunetle  durmaya  ve  sadece dinlenmeye  mecburdular.  Onlar,  Pythagoras’ı  görme  şerefine  ancak  bu  beş  yıllık hazırlık  eğitiminden  sonra  ulaşırlardı.  “Topluluğa kabul  edilerek  onun  kutsallık sınırına ortak edilenler, din ve ahlâkı tatmin edici ciddî bir hayat sürmeyi taahhüt ediyordu. (...) Ilımlılık, sadelik, zorlukla ülfet, beden ve ruhun sağlığı, tanrılara, ana babaya,  dostlara  ve  kanuna  karşı  kayıtsız  şartsız  bağlılık  ve  vefa  geniş  bir  şekilde nefse  hakimiyet  ve  boyun  eğme,  Pythagorascı  hayatın  temel  erdemleri  sayılırdı.” (Vorlander, 1927, 32). Pythagorascıların  dinî  cemaatlerinin  aynı  zamanda  siyasî  bir  yönü  de  vardı. Bunlar  birçok  İtalya  şehirlerinde  iktidarı  ele  geçirmişlerdir.  Halk  Pythagorascılara karşı ayaklanarak merkezlerini basmış ve 40 kadar Pythagorascıyı da öldürmüştür. Orfik  inançların  tesirinde  kalan  Pythagorascılar  tenasuha  (ruh  göçü/ reenkarnasyon)  inanırlar.  Tenasuh  nazariyesi,  bedenin  ölmesinden  sonra,  ruhun çeşitli varlıklar içinde, yeniden bu dünyaya geldiğini kabul eder. İnsanın bu dünyada yaşadığı hayatın değerine göre, ölümden sonra ruh, yeni bir varlık içinde, yeniden ortaya  çıkar.  Eğer  insan  bu  dünyada  suç  işlemiş,  aşağılık  bir  hayat  sürmüş  ise, ölümden sonra onun ruhu, aşağı bir hayvan, hatta bir bitki şeklinde ortaya çıkabilir.

Bu  nedenle  Pythagorascılar  et  ve  bazı  sebzeleri  (özellikle  baklagilleri)  yemekten kaçınır, kanlı kurbanlar kesmezlerdi. Hayvanlardan elde edilmiş hiçbir malzemeyi kullanmazlardı  (Birand,  1964,  16).  Onların  et  yememelerinin  sebebi  yakınlarının birine ait ruhun bu hayvan kalıbında yer alabileceği idi (Gökberk, 1974, 38). Cinayeti yasaklayan Pythagoras, insanları kolay ve rahat bir hayata alıştırmayı amaçlıyordu. Bunun  için  de  insanlar,  daima  kolaylıkla  bulabilecekleri  yiyeceklere  alışmalı, pişirmeye  mecbur  kalmamalıdır.  Sadece  su  içmekle  yetinmek,  vücudun  sıhhati  ve ruhun cevelanı için daha uygundu.

Pythagorascılar,  genellikle,  matematik,  astronomi  ve  tıp  ilimleriyle uğraşıyorlardı. Günümüz dünyası, geometri alanında halen, Pythagoras’ın dik üçgen bağıntısını  kullanmaktadır.  Bu  bağıntıya  göre  bir  dik  üçgende,  iki  dik  kenarın karelerinin  toplamı,  hipotenüsün  karesine  eşittir  (Russell,  108).  Pythagorascılar irrasyonel sayıları bulmuşlar ve telli musîkî aletleriyle de uğraşmışlardır. Pythagorascıların arche’si  sayıdır,  dolayısıyla  soyut  bir  kavram  antik  Yunan düşüncesinde  bir  kez  daha  arche  olmuştur.  Her  şeyin  özünde  bulunan  sayıdır. Dünyada  bulunan,  fizik  veya  metafizik  tüm  gerçekliklerle  ilk  on  sayı  arasında nispetler  vardır.  Her  sayı  belli  bir  şekle  karşılıktır.  Kare,  dikdörtgen  ve  pramit sayılardan  söz  ediyorlardı.  Alemin  özünü  sayılarda bulan  Pythagorascılara  göre, olguların  özünü  kavrayabilmek  için  ilkin  onların  temelindeki  matematik  esasların kavranması  gerekirdi.  Dolayısıyla  onlara  göre  bilgi,  matematik  düşünceden  ibaret görünüyordu (Birand, 1964, 17). Pythagoras’a göre tabiattaki her şey sayı yasaları çerçevesinde cereyan eder, ve sayılar tek ve çifttir. Tek sayılar bir başlangıca, bir ortaya ve bir sona sahip oldukları için tamdırlar. Bu sayılar temel olarak, olgunluk ilkesi tekliğe sahiptirler. Çift sayılar eksiktirler  ve  onlar  bölünmenin,  noksanlığın  ilkesi  olan  ikiciliğe  dayanırlar. Pythagorascıların  kendisiyle  yemin  ettikleri  dört  sayı  (tétractys),  birlik  (monade), ikilik  (dyade),  üçlük  (triade)  ve  dörtlük  (tétrad)  ten  oluşuyordu.  Bunların toplamından onluk (décade) meydana gelir. Onluk, birleşik sayıların en mükemmeli kabul  edilirdi.  Dört  sayı  nazariyesi,  astronomi,  psikoloji  ve  ahlâk  olaylarına  eşit olarak uygulanırdı (E. Barbe, 1986, 45-46). Pythagorascılara göre sayıların niteliği, insana vukuf kazandırır, her bilinmeyen ve her şüpheli şey hakkında insana yol gösterir, insanı aydınlatır. Eğer sayı ve onun mahiyeti  olmasaydı  eşyanın  kendisinden  veya  onların  nispetlerinden  kimseye  en cûzî  yön  bile  malum  olmazdı  (Vorlander,  34).  Bu  mektebe  göre  sayılar  bütün varlıkların ilkeleridir. Belli bir sayı belli bir niteliği ile adalettir, başka bir sayı ruhtur, başka  bir  sayı  akıldır  (Gökberk,  1974,  38-39).  “1” sayısı,  basitliği  sebebiyle  aklı gösterir. “4” sayısı, eşitin eşitle çarpımı olduğu için adaleti gösterir (Challaye, 1948,18). 5 evlenmeyi (zira 3+2=5 dir. İlk erkek sayının  ilk dişi sayı  ile birleşmesidir), 6 nefsi,  7  aklı,  sıhhati  veya  ışığı,  8  muhabbeti  veya  ihtiyat  ve  tedbiri  temsil  eder (Vorlander, 37).

Kaynak: Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim Yayınları Felsefe Tarihi, Murtaza Korlaelçi, 2012

Pisagor(Mö.580-Mö.500)

Yunan matematik ve felsefecilerinden olan Pisagor; doğum yeri olan Samos(Sisam) Adası'ndan M.Ö.529'da Güney İtalya'ya, Crotono'ya göç etti. Güney İtalya bu devirde bir Yunan kolonisiydi ve buraya yerleşenlerce Magna Graecia(Büyük Yunanistan) adıyla anılıyordu. Protona da bu yörenin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor işte burada biraz kişisel çekiciliği, biraz kendisinde var olduğunu iddia ettiği kehanet gücü ve biraz da etrafında oluşturmayı başardığı gizemci havayla kentin zengin ve soylu delikanlarından 300 kadarını bir çatı altında topladı ve bir gizli örgüt, okul ya da mezhep kurdu. Pisagor, öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu: Dinleyiciler ve Matematikçiler. Örgüte dinleyicilikle başlanıyor ve belirli bir deneme süresinden sonra başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu. (Bkz. Pisagor ve İtalya Mektebi)

Pisagorculuk; evrende herşeyin bir sayıya bağlı olduğunu öne sürer. Bir anlatıya göre; demirciler çalışırken örslerinden çıkan sesi duyan Pisagor bunun çok uyumlu olduğunu düşünmüş ve "Doğa kanunları buna izin veriyorsa, bu kanunlar matematikseldir," demiştir. Bundan hareketle, notaların matematiksel formüllere dönüştürülebileceğini keşfetmiştir. Böylece matematik ve müzik arasında bağlantı kurmuştur. Ayrıca ses perdesi ile tel uzunluğu arasında bir ilişki olduğunu bulmuştur. Ondan sonrakiler sayı oranlarında seslerin gizli bağlantılarını aramaya girişip bir sesin niteliği ile ses dizisindeki yerini bu sese karşılık olan sayının niteliği ve sayılar dizisindeki yeri ile bir tutmuşlardı. Matematik ile böylesine yakından uğraşan Pisagorcular, sayılardan edindikleri bilgileri genelleştirerek sayıları bütün varlığın ilkeleri (arkhe) yapmışlardır. Bir sayısı temel sayıdır. Tek ve çift sayıları meydana getirendir. Sayıların ve varlıkların sonsuz dizisi Bir'den çıkar. İki türlü Bir vardır. İlki, bütün sayılar (varlıklar) zincirinin içinden çıktığı ve sonuç olarak da onları içeren, kuşatan, özetleyen, karşıtı olmayan Mutlak Bir'dir. Bütün varlıkların değişmez ilkesi ve ebedî kaynağı, sarsılmaz ilkesidir. ...İki sayısı dişiliği ve doğanın bu dişilikten geldiğini ifade eder. Üç sayısı uyum ve düzenle maddenin içerdiği üçlü öğeyi temsil eder. Bu sayı, başlangıcı, ortası ve sonu olan ilk rakamdır, yetkin bir sayıdır. Dört tanrısal gücü simgeler. İlk çift sayı olan İki'nin kendisi ile çarpımından elde edilen bu sayı adaletin de simgesidir. Beş sayısı evliliğin simgesidir. Altı organik ve hayati varlıkların türlü şekillerini gösterir. Burada dişilik ilkesi olan (2), erkeklik ilkesi olan (3), mutlak (1) ile birleştiği için soyların devamını da gösterir. Yedi sayısı kritik sayıları temsil eder. Örneğin, yedi günlük, yedi aylık ya da yedi yıllık dönemlerin varlıkların gelişiminde baskın rolleri vardır. Sekiz sayısı akıl, ahlâk ve erdemin temsilcisidir. Dokuz sayısı mutlak Bir ayrı tutulacak olursa ilk tek sayı Üç'ün karesidir. O da Dört sayısı gibi adaleti temsil eder. On sayısı: Yetkin bir sayıdır bu. Her şey ondan çıkar. Yaşamın ilkesi ve yol göstericisidir. Göksel ve tanrısal olduğu kadar insanidir de. Eğer On'lu olmasaydı her şey belirsizlik içinde ve karanlıkta kalırdı. Bütün sayıların temelidir o. On sayısının içinde ilk olarak eşit sayıda tekler ve çiftler bir araya gelmiştir. (1,3,5,7,9 ve 2,4,6,8,10) vb."Pisagorculardan bazıları sayıların kullanım adlarına ilişkin, bunların düzenli bir sırada sıralanan on temel ilkesi olduğunu söylerler: Sınırlı-Sınırsız Tek-Çift Bir-Çok Sağ-Sol Erkek-Dişi Duran-Hareket eden Doğru-Eğri Aydınlık-Karanlık İyi-Kötü Kare-Dikdörtgen"
Pisagor'un öğretisinde; düzgün geometrik şekiller de önem taşır. Örneğin Pisagor yeryüzünün düzgün altı yüzlüden, ateşin piramitten, havanın düzgün sekizyüzlüden, suyun yirmiyüzlüden yaratıldığına inanır. Pisagorcuların sayılara ve şekillere verdikleri gizemci anlamlar bu kişilerin sayıları ve geometrik şekilleri yakından incelemesine de neden oldu doğal olarak. Bunlar arasında en önemlileri Pisagor bağıntısı (Bkz. Pisagor Teoremi)  ile İrrasyonel Sayının bulunmasıdır.

Pisagor, müzikle de uğraştı. Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katı ise, kısa telin çıkardığı ses, uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstündeydi. Eğer tellerin uzunluklarının oranı 3'ün 2'ye oranı gibiyse, iki telin çıkardığı sesler beşli aralıklı idi. Bu nedenle örneğin bağlamada parmağımızı tellerden birinin ortasına bastığımız zaman, teli titreştirirsek çıkacak olan ses, tel boş titreşirken çıkacak sesin bir oktav üstünde olacaktır. Benzer şekilde eğer parmağımız teli uzunluk 2/3 oranında bölen noktadaysa, telin boş durumuna oranla bir beşli aralık yukarda ses çıkacaktır.Sayılarla müzik arasında bu ilişkiyi keşfeden Pisagor, epey keyiflenmiştir. Pisagor; sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu anlayan ilk Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit ile anıldı. Bugün bunun Venüs Gezegeni olduğunu bilyoruz. Pisagor, gerek dayandığı öğrenci kitlesi gerekse öğretisinin içerdiği temel öğeler bakımından soylulara yatkın bir felsefeciydi. Pisagor'un ölümünden 10 yıl kadar önce, Güney İtalya'da demokratların egemenlik kurmasıyla Pisagorculuk ve Pisagorculuk yaygın bir şekilde kovuşturmaya uğradı. Pisagor'un kendisi de Crotona'dan sürüldü. Pisagorculuk da felsefecinin ölümünden sonra yalnızca yüzyıl kadar daha yaşadı ve tarih sahnesinden silindi gitti. Ancak Pisagor'un öğretisi ve fikirleri çağımıza kadar felsefe dünyasını etkiledi: Bir söylentiye göre "felsefeci" sözcüğünü üreten de O'dur..Ezoterizm'de Pisagor büyük inisiyelerden biri olarak kabul edilir. Delphoi’te, Mısır’ın Teb ve Memphys kentlerinde ve Babil’de bulunmuş olan Pisagor, inisiyatik eğitim aldıktan ve uzun gezilerinden sonra, Taranto Körfezi’nin uç noktasındaki bir Dor site-devlet’i olan Croton’da (Crotona) bir enstitü açarak kendi ezoterik ekolünü kurmuştur. İnisiyatik niteliğinin yanı sıra bilimler akademisi niteliği taşıyan bu enstitüde dinler ve manevi bilimlerin yanı sıra maddi bilimler (fizik, matematik, siyaset bilimi vs.) de öğretilmekteydi. Pisagor bu bilimlere “insan bilgisinin tümünü kuşatan” anlamında “matemata”lar adını vermişti ki, bilindiği gibi, matematik sözcüğü bu terimden doğmuştur. Pisagor’a göre, tüm felsefe ve dinlerde hakikatin (verite) dağınık ışınları yer almaktaysa da, bu ışınların merkezi ezoterik doktrindi. Ayrıca hakikate ulaşmada öncelikle “sezgi” gerekliydi, gözlem ve muhakeme yeterli değildi.Bildiğimiz kadarıyla Pisagor, öğretilerini sözle yaymıştır. Onunla ve öğretileriyle ilgili bilgileri, öğrencilerinin yazılarından alıyoruz. Fakat Diogenes Laertios'un eserinde belirttiği üzere, Pisagor'un da eserleri vardır: "Bazıları Pythagoras'ın bir tane dahi yazılı eser bırakmadığını söylerler, ama bu doğru değildir. Doğa düşünürü Herakleitos neredeyse avaz avaz bağırarak şöyle diyor: "Mnesarkhos oğlu Pythagoras araştırma çalışmalarında bütün insanları aşmıştır ve bu yazılarından seçme yaparak, büyük bilgi ve kurnazlığa dayalı kendi bilgeliğini oluşturmuştur." Böyle söylüyor, çünkü Pythagoras Doğa adlı eserine şu sözle başlıyor: "Soluduğum hava adına, içtiğim su adına, bu eserimle ilgili herhangi bir yergiye katlanamayacağım."
Pisagor toplumu bir vücuda benzetir. Bu konuda insan yapısının 3 ana parça olduğunu belirtir: Akıl
(bilgelik), ruh (cesaret) ve maddi ihtiyaçlardır. Toplum da böyledir; akıllı kişiler toplumu idare etmeli, cesaretli kişiler asker olmalı, toplumun maddi ihtiyaçlarını ise üretim yapan halk karşılamalıydı. Piagor'a göre toplumda adaletin gerçekleşmesi için, bu sınıfların kendi arasında değil kendi içinde eşitliği olmalıdır. Yani yöneticiler kendi arasında, askerler kendi arasında, halk da kendi arasında eşittir. Bu hiyerarşik eşitsizlik anlayışı, reenkarnasyon inancında kendisine dayanak bulur. Pisagor'a göre, ruhlar bu dünyada iyi eylemlerde bulunup erdemli olmak için çabalarlarsa sonraki hayatlarında bir üst sınıfa uygun karakterli ve yetenekli bir şekilde doğacaklardır. Eğer kötü eylemlerde bulundularsa, daha aşağı bir sınıfa uygun olarak, hatta bitki ve hayvanlar aleminde doğacaklardır. Maddî isteklerin ve dünya malının kölesi gibi olan halk, erdemsizdir ve bu yüzden ruh bakımından aşağı düzeydedir. Şan ve şeref peşindeki asker sınıfı ve aklıyla hareket eden yönetici sınıfı ise daha üstündür. Pisagor bu yüzden insanlara aşırılıktan kaçınıp ölçülü olmayı öğütler.
Kısaca çalışmalarını özetlersek; Matematik ve astronomiye katkıları olmuştur. Ürettiği veya Hint coğrafyasından öğrendiği bağıntıya Pisagor bağıntısı (Bkz. Pisagor Teoremi ve İspatı) adı verilmiştir. Pisagor, irrasyonel sayılara dair keşiflerde de bulunmuştur. Müziğin matematiksel oranlara indirgenebileceğini ortaya koymuş ve diatonik skalayı keşfetmiştir. Günümüzde bazı bilim adamlarının çok sıcak baktığı “kürelerin müziği” adıyla bilinen “kürelerin armonisi” önermesini ortaya atmıştır. Müzikle tedavi çalışmalarıyla tıbba katkıda bulunmuştur. Bir iddiaya göre, Dünya’nın yuvarlak olduğunu ve ikili bir hareket içinde olduğunu biliyordu ve bunları yalnızca inisiyelerine açıklamıştı ki, bu açıklamaları, ezoterik doktrin yoluyla kuşaktan kuşağa aktarılarak bu bilgilerin kabulünde rol oynamıştır. (3,4,5) ve (5,12,13) özel üçgenlerini bulmuş veya nakletmiştir. Çarpım tablosunu ilk olarak onun modern anlamda kullandığı da belirtilmiştir.