Karekök yaklaşık değeri

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayıya en yakın ardışık tam kare sayılar kullanılır. Bu yöntemde önce sayının altındaki ve üstündeki en yakın tam kare sayılar bulunur. Daha sonra verilen sayının, bu iki tam kare arasındaki konumu oranlanır. Aynı oranın karekök değerleri arasında da geçerli olacağı düşünülerek alt karekök değerine bu oran eklenir. Böylece karekökün yaklaşık değeri hızlı ve pratik bir şekilde elde edilmiş olur. Bu yöntem, karekökü yaklaşık hesaplamak için kullanılan en eski sayısal yaklaşım tekniklerinden biridir ve temeli “doğrusal ara değer bulma (interpolasyon)” fikrine dayanır. Yöntemin tam olarak ne zaman ortaya çıktığı belli değildir. Babil, Çin, Mısır, Hint gibi farklı uygarlıklar, karekök ifadelerinin yaklaşık değerlerini bulmak için benzer metotları kullanmışlardır. (Bkz. Babil Metodu)

Örneğin √50 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 50 sayısının altında 49 = 7², üstünde ise 64 = 8² olacak şekilde 7 ve 8 sayıları vardır. Bu nedenle √50 sayısının 7 ile 8 arasında bir değer olduğu anlaşılır. Alt tam kare (49 = 7²) ile üst tam kare (64 = 8²) arasındaki fark 15 birimdir. Yani Bu sayıları bir sayı doğrusunda yerleştirdiğimizde bu aralık 64−49=15 eşit parçalık bir aralık gibi düşünülür. 50’nin 49’dan uzaklığı, 1 fazla ve 50 ile 64 arasındaki toplam fark 14 olacağından, 50 bu aralığın yaklaşık 1/15’i kadar 7 sayısından ileride olur. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 7’ye 1/15 eklenir ve yaklaşık ≈7,067... sonucu elde edilir. Bu değer gerçek değere (7,0710678118654755...) oldukça yakın olduğundan bu yöntem, hesaplamalarda sık kullanılır. Bu yaklaşımda karekök eğrisi kısa bir aralıkta düzmüş gibi kabul edilir; yani fonksiyondaki değişimin doğrusal olduğu varsayılır.

Karekök Hesaplama (Babil Yöntemi)

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini hesaplarken çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Bu yöntemlerden biri çok eski zamanlardan günümüze ulaşmış Babil Yöntemi (Babylonian method)dir. Bu yöntem bir sayının karekökünü yaklaşık olarak bulmada çok hızlı sonuç üreten bir yöntemdir. Hesap makinelerinde sıklıkla kullanılır. Babil Yöntemi, bir sayının karekökünü bulmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde önce karekök için yaklaşık bir değer seçilir. Daha sonra yapılan işlemlerle bu değer giderek daha doğru hale getirilir. Babil Yöntemi olarak bilinen bu yöntem, daha sonraki zamanlarda Newton-Raphson tarafından genelleştirilmiştir. (Bkz. Newton Raphson Yöntemi)

 

Örneğin 10 sayısının karekökünü bulalım. 3 × 3 = 9 ve 4 × 4 = 16 olduğu için √10 sayısının 3 ile 4 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 3 alınabilir. İlk adımda 10 sayısı 3’e bölünür: 10 / 3 = 3.3333 olur. Sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (3 + 3.3333) / 2 = 3.1667 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 3.1667 olur. İkinci adımda: 10 / 3.1667 = 3.1579 elde edilir. Önceki bulunan değerle birlikte aritmetik ortalama alınır: (3.1667 + 3.1579) / 2 = 3.1623 olur. Üçüncü adımda: 10 / 3.1623 = 3.1623 olur. Tekrar ortalama alınır: (3.1623 + 3.1623) / 2 = 3.1623 elde edilir. Sonuç olarak: Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 10 sayısının yaklaşık karekök değeri√10 ≈ 3.162277 olarak hesaplanır.

 

Babil yönteminin temel mantığı, tahmin ile bölme sonucunu dengeleyerek en doğru değere yaklaşmaya çalışmaktır. Tahmin büyük olduğunda bölme sonucu küçük çıkar, tahmin küçük olduğunda ise bölme sonucu büyük çıkar. Ortalama almak bu farkı azaltır ve daha doğru bir sonuç verir.

Başka bir örnek verelim: