Constantijn Huygens

Ünlü Hollandalı matematikçi, fizikçi ve astronom; 1629'da The Hague'de doğdu. Babası ünlü bir şair olan Constantijn Huygens'ti. Öğrenimini Leiden ve Breda üniversitelerinde yaptı. Geometri üzerine yapıtlar yayımladıktan sonra fiziğe yöneldi.1655'de kardeşiyle birlikte teleskobu geliştirmeye çalışırken mercekleri parlatmak için yeni bir yöntem buldu. Gök dürbünlerinin uzunluğunu iki katına çıkararak büyüme gücünü çok yükseltti. Bu yöntem sonunda Satürn'ün halkasıyla birinci uydusu Titan'ı (1665), Jüpiter 'deki karanlık lekeleri, Mars'ın dönmesini ve dönemini buldu.1656'da Orion nebulasını gözlemleyen ilk kişi oldu. 

Yıldızların, bir olasılıkla canlı bulunan gezegenlerle çevrili, son derece uzak başka güneşler olduğunu ilk söyleyen de odur.

Yer ile Güneş arasındaki uzaklığın, Yer çapının 124253 katı olduğunu tahmin etti; bu değer günümüzde bulunan değerden yalnızca %7 oranında farklıdır.Yine 1656'da yazdığı De Ratiociniis in Ludo Aleae adıyla, ihtimaller hesabının ilk eksiksiz incelemesini yaptı. Açan ve açılan eğriler teorisini kurdu; bu teori ile eğrilik merkezlerinin tanımını yaptı ve sikloitin özelliklerini buldu. Şisoitin doğrulaştırılmasını başardı, logaritma teorisini kurdu ve zincir eğrisini problemini çözümledi.En ilginç buluşlarını ise fizikte, özellikle mekanik ve optikte yaptı. Louis XIV'e adadığı Horologium oscillatorium (1673) adlı yapıtında saatin hareketini düzenlemek için maddesel sistemlerin dinamiğinin ilk açılımı olan bileşik sarkaç kuramını buldu. Eşzamanlı basit sarkacın varlığını, tersinir sarkaçta, salınım ve asılma eksenleri arasındaki karşıtlığı buldu. Saat hareketinde sarkacı düzenleyici olarak kullandı ve kol saatleri için sarmal bir yayın kullanımını önerdi. İlk rakkaslı saati olan maşalı eşapmanı 1657'de tamamladı ve bir sarkacın tam eşzamanlı olması için izlemesi gereken eğriyi belirledi.

Ayrıca merkezkaç kuvvet kavramını (1673) ve etkin kuvvetler kuramını ortaya attı ve eylemsizlik momentinin tanımını yaptı. 1669'da devinim miktarının ve etkin kuvvetin korunumunu gözleyerek darbe probleminin çözümünü buldu.1663'te Londra Royal Society'ye kabul edildi. 1665'te Jean-Baptiste Colbert tarafından Fransa'ya çağrıldı. 1665-1681 yılları arasında Fransa'da Kraliyet Kütüphanesi 'nde çalıştı. Hollanda'ya döndükten sonra odak uzaklığı çok fazla olan mercekler yaptı. Robert Hooke tarafından 1665'te ortaya atılan ışığın dalga teorisini geliştirdi. Huygens'e göre bütün birincil dalga cepheleri, içlerinde sonsuz sayıda dalgalanmalar barındırıyorlardı. Bunun sayesinde optiğin temel yasalarını kanıtladı.

Optik konusundaki çalışmalarını 1690'da basılan Trait'de la Lumiere (Işığın İzi) adlı kitabında topladı. Bu eserinde ışığın, çok ince esnek bir maddesel ortam olan esirin titreşimlerinden oluştuğunu öne süren bir dalga kuramını benimsedi. Sözkonusu titreşimler bu ortamda madde taşınımı olmaksızın sonlu bir hızda yayılıyordu.Huygens kendi adını alan temel ilkeyi ortaya attı. Bu ilkeye göre; her titreşim merkezi küresel bir dalga yayar ve bu dalganın her noktası da aynı etkiyi gösteren bir titreşim kaynağıdır. Huygens; yansıma, kırılım ve hatta Erasmus Bartholin'in 1669'da bulduğu İzlanda spatındaki çift kırılımı da aynı şekilde açıkladı. Ama parçacık kuramları karşısında, ışığın doğrusal yayılımı üzerine doyurucu bir açıklama getiremedi. Bu başarısızlığın nedenlerinden biri, Fresnel'e kadar gelen fizikçilerin çoğu gibi, titreşimlerin boyuna yayıldığına inanmasıydı. Huygens'te dalga kavramı hala belirsizdi.Daha sonra doğa felsefesine değinen Discours sur la cause de la pesanteur (Yerçekiminin Nedeni Üzerine Konuşma) adlı eseri geldi. Bu eserde, ışığın dalgalı yapıda olduğunu kabul etti ve bu hipotezden gerçek bir fizik teorisi kurdu. Birçok alanı kapsayan önemli çalışmaları arasında en önemlisi Denis Papin ile birlikte ilk ateşli, içten yanmalı makineyi yapmasıdır. Huygens, pratik gerçekleştirmelere ulaşamamış da olsa, bu gibi makinelerin sanayide değerli bir enerji kaynağı olabileceğini öngördü. 1695'te doğduğu yerde yalnızlık ve hastalık içinde öldü. Ölümünden sonra, 1703'te yayımlanan Commentarii de Formandis Poliendisque Vitris ad Telescopia adlı eserinde mercekleri yontma sanatını açıkladı ve yeni metotlar öne sürdü.Bütün eserleri, Gravesande tarafından Christiani Hugenii Zulchemi, dum Viveret Zeleni Toparchae, Opera Varia (1724) adıyla toplandı ve Opera Reliqua ile tamamlanarak 1728'de yayımlandı.

Huygens modern bilimsel anlayışın ilk gerçek temsilcisidir.Bunun iki açıdan başardı: özellikle, deneyci bir fizikçi olarak daha çok kendi ürettiği aletleri kullanıp niteliği yüksek gözlemler yaptı; kuramcı olarak ise değişik sarkaç tiplerinin devinimlerini hesaplayıp, cisimlerin boşlukta düşüşü yasasını Galilei'den daha doyurucu biçimde formülleştirdi ve mekanikte, optikte ve doğa bilimlerinde matematik kullanımını büyük ölçüde geliştirdi.

Euclid ve Elements

Euclid (Öklid), çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnek olmuştur. Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı bilinen 13 ciltlik eseriyle ünlüdür. Bu kitap, geometriyi ispat bağlamında aksiyomatik olarak işleyen, bilinen ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan Elementler kitabının bazı yetersizliklerine rağmen, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir. Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin pek bir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; Iskenderiye'de dönemin saygın matematik öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!'' levhası asılı olduğu rivayet edilir. 

Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy , okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına, "Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?'' diye sorduğunda, Öklid "Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur'' der. 

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmiştir. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardır. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt akli yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuş bir çalışma olarak önemlidir. Bu kitap vesilesiyle Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir ilme dönüşmüştür. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, akıl ölçütleriyle denetlenebilir olmuştur. Bu yaklaşımda Öklid geometrisinin değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, geometrik yöntemlerle çözümlenmesi sürecini başlatmıştır. Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneğe dönüşmüştür. Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşünce uğraşı olduğu için önemlidir. Matematiğin sadece soyut bir akıl yürütme aracı değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. 

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama şu sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir? Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşünce ortamı göz önüne alındığında, başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir: 

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek; 

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak; 

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere göreceli zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek); 

4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak 

Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Antik Yunan bilginleri somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a²+b²=c² eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler).

Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi "aksiyom" dediği genel ilkeden, beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkeden oluşan, on öncüle yer vermiştir. (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Öklid'in Elementler adlı eserinde yer alan beş postulat ve beş ortak kavram (aksiyom) klasik biçimleriyle şöyledir:

Postulatlar (Geometriye Özgü İlkeler)

Herhangi bir noktadan başka bir noktaya bir doğru parçası çizilebilir.

Bir doğru parçası, her iki yönde de sınırsız olarak uzatılabilir.

Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember çizilebilir.

Bütün dik açılar birbirine eşittir.

Bir doğru, iki doğruyu kestiğinde aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o tarafta uzatıldıklarında mutlaka kesişir. (Bu, ünlü paralellik postulatıdır.)

 

Aksiyomlar (Ortak Kavramlar)

Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir.

Eşitlere eşitler eklenirse, elde edilenler de eşit olur.

Eşitlerden eşitler çıkarılırsa, kalanlar da eşit olur.

Birbirleriyle çakışan (üst üste gelen) şeyler birbirine eşittir.

Bütün, parçasından büyüktür.

Bu on temel ilke, Öklid geometrisinin üzerine inşa edildiği kabullerdir. Özellikle beşinci postulat, yüzyıllar boyunca en çok tartışılan önerme olmuş ve sonunda Öklid dışı geometrilerin (Lobaçevski ve Bolyai'nin hiperbolik geometrisi ile Riemann'ın eliptik geometrisi) doğmasına zemin hazırlamıştır. Öklid'in beşinci postulatı, geometri için zorunlu tek seçenek değildir. Farklı bir postulat seçildiğinde farklı bir geometri elde edilir. Örneğin Öklid'in ilk dört postulatı hemen hemen bütün klasik geometrilerde kabul edilir. Tartışma oluşturan ilke (paralellik postulatı) beşinci postulattır. Bu paralellik postülatına göre  Öklid geometrisi: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel çizilebilir." derken Hiperbolik geometri: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel çizilebilir." der. Eliptik geometri ise "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan hiç paralel çizilemez." der. Buna göre Öklid dışı geometrilerde ilk dört postulat korunur; yalnızca beşinci postulat değiştirilir. Sonuçta elde edilen geometriler de kendi içinde tamamen tutarlıdır.

Öklid'in ortaya koyduğu postülat ve aksiyomlar, tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, "nokta'', "doğru", vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, l8. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa, Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez. 

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: '"Elementler'e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir."

Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!"

Cahit Arf Hayatı

 

Cahit Arf (D. 11 Ekim 1910, Kayalar/Selanik – Ö. 26 Aralık 1997, İstanbul), dünya çapında tanınmış bir matematikçi olmuştur. Henüz iki yaşındayken, Balkan Savaşları sırasında Selanik’in Yunan ordusunun kontrolüne girmesi üzerine ailesi İstanbul’a göç etmiştir. Dört yaşında iken öğrenim hayatına İstanbul’da başlamıştır. 1919 yılında, dokuz yaşında iken ailesiyle birlikte Ankara’ya taşınmış, bir süre sonra tekrar İstanbul’a dönmüş ve ardından İzmir’e yerleşmişlerdir. Cahit Arf’ın matematiğe olan ilgisi İzmir yıllarında belirginleşmiştir. Cahit Arf’ın İzmir’deki öğrenim sürecinde, matematik öğretmeni tarafından Öklid geometrisine ilişkin problemler çözmeye teşvik edildiği bilinmektedir. 1926 yılında ailesi, kendisinin daha nitelikli bir eğitim alabilmesi amacıyla Fransa’da öğrenim görmesinin uygun olacağına karar vermiştir. Bu doğrultuda, Cahit Arf lise öğrenimine devam etmek üzere 1926 yılında Fransa’ya gönderilmiştir. 

Cahit Arf, Fransa’da École Normale Supérieure’de 1932 yılında tamamladığı yükseköğreniminin ardından, Kastamonu Lisesi’ne öğretmen olarak atanmak istemiştir. Ancak çevresinin yönlendirmesi ve desteğiyle, bir süre Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği yaptıktan sonra, 1933 Üniversite Reformu kapsamında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’ne doçent adayı olarak atanmıştır. Arf, 1937 yılında doktorasını yapmak üzere Almanya’nın Göttingen Üniversitesi’ne gönderilmiştir. Burada tez danışmanı Helmut Hasse ile birlikte yürüttüğü çalışmalar sonucunda, matematik dünyasında büyük yankı uyandıran ve kendi adıyla anılan “Hasse–Arf Teoremi”ni içeren doktora tezini 1938 yılında tamamlamıştır.  

(Bkz: Arf Teoremi)

1938 yılından itibaren Cahit Arf, cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çeşitli alanlarda yaptığı araştırmalarla matematik bilimine temel ve kalıcı katkılar sağlamıştır. Hasse’nin önerisiyle bir yıl daha Almanya’da kalarak çalışmalarına devam etmiş ve bu süre zarfında, matematikte önemli bir kavram olarak bilinen “Arf Değişmezleri”ni (Arf Invariants) geliştirmiştir. 

Cahit Arf ve Arf Teoremi

Cahit Arf (1910, Selanik – 26 Aralık 1997, İstanbul), Türk matematik dünyasının en önemli isimlerinden biridir. Kendi adıyla anılan matematiksel kuramları sayesinde uluslararası düzeyde tanınmıştır. Doktorasını yapmak üzere II. Dünya Savaşı dönemlerinde Almanya’ya giden Cahit Arf, burada ünlü matematikçi Helmut Hasse ile birlikte önemli çalışmalar yürütmüştür. Bu çalışmalar sonucunda matematikte Hasse-Arf Kuramı’nı geliştirmiştir. Ayrıca Arf değişmezi, Arf halkaları ve Arf kapanışları gibi kendi adıyla anılan kavramları bilim dünyasına kazandırmıştır. 

Cahit Arf, 1910 yılında Selanik'te dünyaya gelmiştir. 1918-1920 yılları arasında İstanbul Erkek Lisesi’nde öğrenim görmüştür. Mili Eğitim Bakanlığı’ndan kazandığı bursla yüksek öğrenimini Fransa’da, Ecole Normale Supérieure’de tamamlayan Arf, 1932 yılında mezun olmuştur. Türkiye’ye döndükten sonra bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yapmıştır. Ardından İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde doçent adayı olarak görev almıştır. Doktorasını tamamlamak üzere 1937 yılında Almanya’ya giden Arf, çalışmaları sonucunda büyük başarılar elde etmiş ve Türkiye’ye döndüğünde İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde profesörlük görevine başlamıştır. Burada ordinaryus profesör unvanını da kazanmış ve 1962 yılına kadar akademik çalışmalarına devam etmiştir. Daha sonra Robert Kolej’de matematik dersleri vermeye başlamıştır. 1964-1965 yılları arasında Fransa’da bulunan Princeton’daki Yüksek Araştırma Enstitüsü’nde konuk öğretim üyesi olarak görev yapmıştır. Aynı yıllarda Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bünyesinde bilim kolu başkanlığı görevini üstlenmiştir. Cahit Arf, daha sonra Amerika Birleşik Devletleri’nde araştırmalar ve incelemeler yapmış, Kaliforniya Üniversitesi’nde konuk öğretim üyesi olarak görev almıştır. 

 

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Blaise Pascal, Fransız matematikçi, fizikçi ve düşünürdür. Pascal, 19 Haziran 1623 günü Fransa'da Clermont'ta doğdu. Babası kültürlü bir adamdı. Pascal yedi yaşına gelince, babası Paris'e yerleşti. Yedi yaşına gelen parlak çocuk öğrenimine başladı. Kendisi gibi çok güzel ve kültürlü iki kız kardeşi vardı. Özellikle Jak Qualine, Pascal'ın yaşamında önemli rol oynamıştır. Kız kardeşinin bu etkisi bazen iyi, fakat çoğu kötü yönde olmuştur. Pascal doğduğunda, Descartes yirmi yedi yaşındaydı. Descartes öldükten sonra Pascal daha on iki yıl yaşadı. Newton'dan sadece birkaç yıl önce doğmuştur. Descartes ve Fermat gibi büyük matematikçilerle çağdaş olması bir yerde kendisi için bir şanssızlıktı. Bu nedenle, tek başına oluşturabileceği olasılıklar kuramının keşfini Fermat'la paylaştı. Kendisini harika çocuk diye ünlü yapan geometri çalışmalarında, kendisinden daha az ünlü olan Desargues'dan esinlendi. Daha çok din ve felsefe konularına eğildiği için matematiğe az zaman ayırdı. Kız kardeşi ona bu konuda egemendi. Buna karşın, yapabileceğinin çok daha fazlasını verdi. 

Pascal, çok erken gelişen bir çocuktu. Fakat, vücutça oldukça zayıftı. Bunun tersine, kafası çok parlaktı. Öğrenimi başlangıçta çok başarılı geçiyordu. Çok küçük yaşta olmasına rağmen, matematiğe gösterdiği ilgi çok dikkati çekiyordu. Hatta, matematik problemleriyle gece gündüz uğraşmaya başladı. Sağlığının bozulacağından kuşkulanan babası, bir aralık onun matematik çalışmasına engel olduysa da, onun bu davranışı Pascal'ın matematik çalışmasına daha çok yöneltti. Geometri çalışmak için oyunlarını bıraktı. On iki yaşında babasına, geometrinin ne dernek olduğunu sordu. Euclides'in "Elements" adlı geometri kitabını kısa bir zaman içinde yutarcasına bir roman gibi okudu. Hiç bir yardım görmeden ve hiç bir geometri okumadan, çok küçük yaşta bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece, yani iki dik açı olduğunu kanıtlamıştır. Daha önce, hiç bir kitabı okumadan, Euclides'in birçok önermesini ispatlamıştır. Yine, Pascal hakkında abartma yapmaktan özellikle kaçınan kız kardeşi Gilbert'in anlattıklarına göre; Pascal Euclides'in ilk otuz iki önermesini Elements adlı kitabındaki sıraya göre bulmuştur. Otuz ikinci önerme ise, bir üçgenin iç açılarının toplamı ile ilgili ispatıdır. 

Pascal on dört yaşına gelince, Mersenne tarafından yönetilen ilmi tartışmalara kabul edildi. Bu tartışmaların yapılması, Fransız İlimler Akademisini doğurdu. Pascal kendi kendine bir geometrici olmuştu. Baba Pascal'ın hükümet makamlarıyla boğuşması aileyi kötü duruma düşürdü. Güzel ve parlak kız kardeşi Jacqueline, vergi konusunda babası ile anlaşmazlığa düşen Cardinal de Richelieu'yu eğlendirmek için, önünde oynatılan bir oyunda kendisini tanıtmadan oyuna çıkar. Kendini hayran eden artistin kim olduğunu öğrenen Cardinal, tüm aileyi bağışlar ve ondan sonra baba Pascal'a bir memurluk verir. 

Pascal, on altı yaşından önce, 1639 yılında, geometri teoremlerden birini ispat etti. On dokuzuncu yüzyılda yaşayan İngiliz matematikçisi ünlü Sylvester, Pascal'ın bu geometrik ispatına "kedi beşiği" adını vermiştir. On altı yaşındayken, konikler üzerine bir eser yazarak, ünlü Descartes'i hayretlere düşürmüştür. On sekiz yaşına gelince, şimdi Paris sanayi müzesinde saklanan hesap makinesini bulmuştur. Fizikte, havanın ağırlığını, sıvıların denge halini ve basıncı hakkında Pascal kanunlarını bulmuştur. Apollonius ve başkalarının çalışmalarını birer sonuç kabul eden dört yüz tane önerine ortaya koymuştur. Bu eserin tümü basılamadığı için, bir daha da ele geçmemek üzere kaybolmuştur. Fakat, Leibniz bu eserin bir kopyasını görmüş ve onu inceleme şanslılığına ermiştir. Pascal'ın bu eseri geometrik bir metrik olmayıp bir izdüşüm geometrisidir. 

Aristo, matematiği çokluklar ilmi diye tanımlıyordu. Oysa Pascal'ın geometrisinde çokluk yoktur. Pascal, on yedi yaşından ölümü olan otuz dokuz yaşına kadar ızdırapsız ve acısız gün görmedi. Hazımsızlık, mide ağrıları, uykusuzluk, yan uyuklamalar ve bu ağrıların verdiği gece kabusları onu  bitirdi. Böyle olmasına karşın, yine de bu ağrılar içinde durmadan çalışıyordu. 

Yirmi üç yaşlarında, kız kardeşinin baskı ve etkisiyle Hristiyan dinine ve bunun içinde bazı tarikatlara girdi. Bu konuda epey sarsıntılar da geçirdi. Fakat, yine onda matematik ağır bastı. Pascal, hurma ağaçları gibi tepeden kurumaya başladı. Aynı yıl hazım organları bozuldu. Bu ara geçici bir felç geçirdi. Bu ona çok ağrılar verdi. Her şeye rağmen, düşüncesi ve kafasının çalışmaları sürüyordu. 1648 yılında Toriçelli'nin (1608 -1647) çalışmalarını inceleyerek, onun da önüne geçti. Yükseklikle basıncın değiştiğini saptadı. 

Descartes, Pascal'la çeşitli konuları konuşmak ve özellikle barometre hakkında bilgi almak için geldi. Bu iki bilginin yaradılış ve ruhsal durumları pek uyuşmuyordu. Descartes, konikler üzerine yazılan eserin on altı yaşında bir çocuk tarafından yazıldığına inanmayı açıkça kabul etmedi. Daha da ileri giderek, Pascal'ın barometre deneyleri düşüncesini, Mersenne'nin çalışmalarından çalmış olmasından şüphelendi. Descartes'le Pascal'ın aralarında çekememezliğe neden olan üçüncü konu din üzerine olan düşüncelerindeki ayrılıklardı. Descartes Cizvitleri tutuyor, Pascal'sa Jansen'in mezhebini savunuyordu. Pascal'ın açık sözlü kız kardeşi Jacqueline'nin sözlerine bakılırsa, bu iki dahi birbirlerini oldukça kıskanıyorlardı. Bu nedenle de, adı geçen yukarıdaki görüşme ve ziyaret soğuk bir buluşma olmuştu. Descartes'in genç dostuna bazı öğütleri oldu. Pascal da onu ciddiye almadı. 

1658 yılının bir gecesinde, uykusuzluk ve diş ağrılarından kıvranan Pascal, korkunç ağrılarını unutmak amacıyla, birçok ünlü matematikçinin uğraştığı zarif sikloid eğrisine daldı. Sikloid eğrileri üzerine o kadar daldı ki, tüm ağrı ve acılarını unuttu. Tam sekiz gün sikloid geometrisi üzerinde çalıştı. Bu eğri ile ilgili olan çeşitli problemleri çözmeyi başardı. Bu buluşlarının bazılarını takma Amos Detonville imzasıyla, Fransız ve İngiliz matematikçilerine meydan ,okumak amacıyla basılmıştır. 

1658 yılında kendini oldukça hasta hissetti. Kısa aralıklarla gelen uyuklamalar dışında, şiddetli ve dinmek bilmeyen baş ağrıları ona çok eziyet ediyordu. Tam dört yıl bu ağrılarla kıvrandı. 1662 yılının haziran ayında otuz dokuz yaşındayken öldü. Ölümünden sonra yapılan otopsisinde, ağrılarının nedeninin ciddi bir beyin hastalığından ileri geldiği saptandı. Pascal, Fermat ile birlikte olasılıklar kuramını kurmakla, yeni bir matematik dünyası meydana getirmişti. Bu kuramın tüm inceliklerini ortaya döktü. Bu kuramı oluştururken, Fermat'la sürekli haberleşmişlerdir. Yapılan bu mektup görüşmeleri incelendiğinde, bu kuramın gerçek kurucularının Pascal ile Fermat'ın eşit payları olduğu görülür. Yaptıkları şeyler temelde aynı, fakat derinlemesine incelendiğinde farklılıklar görülür. Bu arada Pascal'ın düştüğü ufak hatayı Fermat belirtince, Pascal da bu hatasını hemen düzeltti. Bu haberleşmedeki ilk mektuplar kaybolmuşsa da, daha sonraki mektuplar hala eldedir. 

Kumarbaz Chevalier de Mere'den hareketle olasılıklar hesabı üzerine çalışmıştır. Elli iki kağıt oyunu ve tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi üzerine yaptığı hesaplamalara bağlı olarak Pascal üçgeni olarak bilinen çalışmasını yayınladı. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda ondan çok daha önceleri Ömer Hayyam tarafından kullanıldığı gösterildi. (Bkz. Ömer Hayyam) Bu çalışma literatüre Pascal'ın ismiyle girmiş olmakla birlikte sonraki yıllarda olasılık kuramında sıklıkla matematikçiler tarafından kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunmuştur.