Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit işlemleri yapılırken önce Genişletilmiş Reel Sayılar kümesinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Aşağıdaki örnekleri incelediğinizde bu küme üzerinde limit işlemleri yapmak daha kolay hale gelecektir.
Elipsin alanı ve ispatı
Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.
Elipsin çevresi ve ispatı
Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır.
Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.
Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.
Özet olarak yapılan işlem şu şekildedir: Elipsin denklemi x²/a² + y²/b² = 1 olsun. Elipsin parametrik denklemleri x = a sin t ve y = b cos t'dir. Parametrik bir eğrinin yay uzunluğu, L = ∫√[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt formülüyle hesaplanır. Bu nedenle önce parametrik denklemlerin türevleri alınır. Buradan dx/dt = a cos t ve dy/dt = –b sin t elde edilir. Bu ifadeler yay uzunluğu formülünde yerine yazıldığında [0,2π] aralığı için integral değeri: L = ∫ √(a²cos²t + b²sin²t) dt bulunur.
Elips x ve y eksenlerine göre simetrik olduğundan çevrenin yalnızca bir çeyreği hesaplanıp sonuç dört ile çarpılabilir. Böylece çevre, [0,π/2] aralığı için integral değeri: L = 4∫√(a²cos²t + b²sin²t) dt biçimini alır. Karekök içinden a² ortak çarpanı alınırsa [0,π/2] aralığı için integral değeri: L = 4a ∫√(cos²t + (b²/a²)sin²t) dt elde edilir.
Elipsin dışmerkezliği e = √(1 − b²/a²) olduğundan b²/a² = 1 − e² yazılabilir. Bu ifade integralde yerine konulduğunda [0,π/2] aralığı için integral değeri: L = 4a ∫√(cos²t + (1 − e²)sin²t) dt olur.
Son olarak sin²t + cos²t = 1 özdeşliği kullanılarak karekök içindeki ifade 1 − e²sin²t biçimine dönüştürülür. Böylece elipsin çevresi [0,π/2] aralığı için integral değeri: L = 4a∫√(1 − e²sin²t) dt şeklinde elde edilir. Bu integral elementer fonksiyonlarla hesaplanamadığından ikinci tür tam eliptik integral olarak adlandırılır ve elipsin çevresi genel olarak bu integral biçiminde ifade edilir.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun artan ya da azalan olduğunu bulmak için türev konusunu işlemeden bulmak her zaman işe yaramayabilir. Bunun için en kesin tespit türev sayesinde yapılabilir. Eğer türev konusu bilinmiyorsa o zaman fonksiyonun grafiğini çizerek buradan yorumda bulunulabilir. Ayrıca artan ve azalan fonksiyonun aşağıda verildiği gibi tanımını kullanarak da fonksiyonun çeşidi hakkında yorum yapılabilir.
Şimdi verilen bu tanıma göre artan ve azalan fonksiyonlara grafiklerini çizerek basit birer örnek verelim. Burada verilen örnek kavramı daha iyi anlamanız için özellikle basit fonksiyon türlerinden seçilerek hazırlanmıştır.
Birebir ve Örten Fonksiyon
Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesinde yer alan her elemanın görüntülerinin de farklı elemanlara eşlenmesi gerekmektedir.
Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit ise bu çeşit fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde dışarıda boşta eleman kalmayan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Eğer değer kümesinde dışarıda en az bir eleman kalmış ise bu tür fonksiyonlara da içine fonksiyon denir.
Şimdi bu tanımları grafik üzerinde görebilmek adına bir örnek daha verelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta bire-bir fonksiyonların grafikleri çizildiğinde grafiği kesecek şekilde x-eksenine paralel doğrular çizilmesi durumunda fonksiyonun grafiği hiçbir zaman iki farklı nokta kesilmez. Eğer çizilen doğrular ile grafik birden fazla noktada kesişim yapıyorsa o zaman fonksiyon bire bir olmaz. (Yatay Doğru Testi)
