Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher veya daha çok kullanılan şekliyle M.C. Escher 1898 yılında Hollanda’da doğdu. 1918 yılına kadar, inşaat mühendisi olan babası George Escher, annesi Sarah ve dört erkek kardeşiyle birlikte, doğduğu kent olan Arnhem’de yaşadı.Okul hayatı hiçbir zaman iyi olmayan M.C. Escher, çizimlerini gösterdiği grafik öğretmeni Samuel Jessurun de Mesquita’nın da tavsiyeleriyle grafik üzerine çalışmayı uygun gördü. Grafik eğitiminden mezun olduktan sonra hayatının her zaman önemli bir kısmını oluşturacak olan seyahat zevkinin etkisiyle İtalya’ya seyahat etti ve burada birçok çizim yaptı. 1922 Haziran'ında İspanya’yı ziyaret edip birkaç yıl sonra tekrar İtalya’ya gitti. 1924 yılında burada Jetta Umiker ile evlendi ve çift uzun süre Roma’da yaşadı.

İtalya’nın etkisi çizimlerinden eksilmeyecek, birçok çalışmasında İtalya’ya dair şeyler yer alacaktı. 1935 yılında çok sevdiği İtalya’dan, yükselişteki Faşist hareket yüzünden, ailesiyle beraber İsviçre’ye taşındı. Başlarda İsviçre'yi pek sevemeyen aile, uzun Akdeniz gezilerine çıktı ve bu Akdeniz gezileri de Escher'in eserlerini fazlasıyla etkiledi. 1937'de eserlerinin birkaçını gösterdiği kardeşi Berend, onu matematiğe yönlendirdi ve Escher'i matematikle tanıştıran kişi oldu. 

Escher simetri üzerine çalışmaya okuduğu bazı makalelerin tesiriyle başladı.Bu arada 1937'nin sonlarına doğru ailesiyle Belçika'ya taşındı. 1941'de Alman işgali yüzünden ailesiyle beraber Belçika'dan Hollanda'ya kaçmak zorunda kaldı. Sonraki yıllarda gelecekte çok ünlü olacak birçok çalışmasını yaptı. 1950'lerin ortalarında ilgisi sonsuzluğun (2 boyutlu bir düzlemde) tasvirine kaydı.Daha sonra 1958'de tanıştığı Coxeter ile ömür boyu arkadaş kaldı ve Coxeter'in çalışmaları Escher'in birçok eserine ilham kaynağı oldu. Aynı yıllarda büyük bir üne de kavuşmuştu Escher, 2-boyutlu (2-D) ve 3-boyutlu (3-D) öğeleri aynı anda içeren birçok harika çalışmaya imza attı. 1962'de hastalanıp hastaneye kaldırıldıktan sonra 1964'de yeniden hastalandı. 1970'de tekrar hastaneye kaldırıldı ve 1972 yılının 27 Martında, Hilversum'da kaldığı hastanede vefat etti.Son çalışması, yaklaşık altı ayını almış olan, ve 1969'da gösterime sunduğu "Snakes" idi. M.C. Escher insanı hayran bırakan ve insan zihnini fazlasıyla zorlayan özellikle simetrik ve perspektif konusunda zirvede olan eserleriyle ünlüdür.

Eserlerinin bir çoğunda yoğun bir matematiksel hava yer alır. Son dönemlerindeki eserlerinde sonsuzluk mefhumunu da bulmaktayız, ki belki de bunlar sonsuzluk üzerine yapılmış en ünlü ve profesyonel çalışmalardır. Bugün birçok bilimsel dergide gördüğümüz ve gözlerimizi kamaştıran, kafamızı karıştıran eserlerin üreticisi M.C. Escher'dir.Yaşamı boyunca 448 litograf ve 2000'in üzerinde çizim yapmıştır.Eserlerini 5 ana dönemde ele alarak incelemek eserleri anlamak bakımından çok önemlidir.

1922'ye kadar ki erken dönem çalışmalarında birçok yüz formu ile beraber bazı kompleks yapıtları görüyoruz. Her ne kadar bu ilk dönem gelecek dönemlerdeki eserleri üzerine bize ipucu verse de, bu dönemde yaptıkları ileriki dönemlerde yapacağı eserlere göre çok daha ilkel ve perspektif açısından daha basittir.

1922'den 1935'e kadar olan ve İtalya ağırlıklı çalışmalarında perspektif konusunda inanılmaz bir gelişme dikkat çeker. Çalışmaları daha kompleks bir biçim almıştır ve ilerde ünlü olacak bazı baskı ve litografını bu dönemde yapmıştır. Bunlardan birkaç örnek vermemiz gerekirse; "Tower of Babel" (1928), Castrovalva(1930), "Atrani, Coast of Amalfi" (1931), "Hand with Reflecting Sphere" (1935).

1941'e kadar olan, İsviçre ve Belçika'da geçirdiği zamanlarda yaptığı eserleri başka bir dönem oluşturur. Bu döneme damgasını vuran daha sonraları çok ünlenecek olan simetrik çalışmalarıdır. Aynı zamanda bu dönemde yaptığı eserleri incelediğimizde, yaptığı Akdeniz gezilerinin eserlerinde İsviçre'den de Belçika'dan da fazla etkisi olduğunu görürüz. Bu dönemde yaptığı ünlü eserlere örnek verirsek; "Metamorphosis I" (1937), "Day and Night" (1938), "Sky and Water I" (1938), ve "Metamorphosis II" (1940).

1954'e kadar ki, Hollanda'da geçirdiği bir sonraki dönemde simetri eserlerinin yanı sıra, güçlü 3 boyutlu eserler de yapmıştır. Bu dönemdeki eserlerin bir kısmında 2-boyutlu ve 3-boyutlu öğelerin bir arada kusursuz bir biçimde bağlantılı olarak bulunduğu görülür. Aynı zamanda, sonsuzluk mefhumu üzerine ilk eserlerini de bu dönemde gerçekleştirmiştir. Bu dönemdeki bazı ünlü eserleri, "Reptiles" (1943), "Up and Down" (1947), "Drawing Hands" (1948), "House of Stairs" (1951), ve belki de gelmiş geçmiş en ünlü eseri olan Relativity (1953).

1972'deki ölümüne kadar olan son döneminde, ününün zirvesindedir. Bu dönemde yaptığı eserler hayatı boyunca yaptığı belki en kompleks ve başarılı eserlerdir. Örnek olarak, "Convex and Concave" (1955), "Rind" (1955), "Bond of Union" (1956), "Waterfall" (1961), "Moebius Strip II" (1963), "Metamorphosis III" (1967-1968) ve en son eseri olan "Snakes" (1969).

Constantijn Huygens

Ünlü Hollandalı matematikçi, fizikçi ve astronom; 1629'da The Hague'de doğdu. Babası ünlü bir şair olan Constantijn Huygens'ti. Öğrenimini Leiden ve Breda üniversitelerinde yaptı. Geometri üzerine yapıtlar yayımladıktan sonra fiziğe yöneldi.1655'de kardeşiyle birlikte teleskobu geliştirmeye çalışırken mercekleri parlatmak için yeni bir yöntem buldu. Gök dürbünlerinin uzunluğunu iki katına çıkararak büyüme gücünü çok yükseltti. Bu yöntem sonunda Satürn'ün halkasıyla birinci uydusu Titan'ı (1665), Jüpiter 'deki karanlık lekeleri, Mars'ın dönmesini ve dönemini buldu.1656'da Orion nebulasını gözlemleyen ilk kişi oldu. 

Yıldızların, bir olasılıkla canlı bulunan gezegenlerle çevrili, son derece uzak başka güneşler olduğunu ilk söyleyen de odur.

Yer ile Güneş arasındaki uzaklığın, Yer çapının 124253 katı olduğunu tahmin etti; bu değer günümüzde bulunan değerden yalnızca %7 oranında farklıdır.Yine 1656'da yazdığı De Ratiociniis in Ludo Aleae adıyla, ihtimaller hesabının ilk eksiksiz incelemesini yaptı. Açan ve açılan eğriler teorisini kurdu; bu teori ile eğrilik merkezlerinin tanımını yaptı ve sikloitin özelliklerini buldu. Şisoitin doğrulaştırılmasını başardı, logaritma teorisini kurdu ve zincir eğrisini problemini çözümledi.En ilginç buluşlarını ise fizikte, özellikle mekanik ve optikte yaptı. Louis XIV'e adadığı Horologium oscillatorium (1673) adlı yapıtında saatin hareketini düzenlemek için maddesel sistemlerin dinamiğinin ilk açılımı olan bileşik sarkaç kuramını buldu. Eşzamanlı basit sarkacın varlığını, tersinir sarkaçta, salınım ve asılma eksenleri arasındaki karşıtlığı buldu. Saat hareketinde sarkacı düzenleyici olarak kullandı ve kol saatleri için sarmal bir yayın kullanımını önerdi. İlk rakkaslı saati olan maşalı eşapmanı 1657'de tamamladı ve bir sarkacın tam eşzamanlı olması için izlemesi gereken eğriyi belirledi.

Ayrıca merkezkaç kuvvet kavramını (1673) ve etkin kuvvetler kuramını ortaya attı ve eylemsizlik momentinin tanımını yaptı. 1669'da devinim miktarının ve etkin kuvvetin korunumunu gözleyerek darbe probleminin çözümünü buldu.1663'te Londra Royal Society'ye kabul edildi. 1665'te Jean-Baptiste Colbert tarafından Fransa'ya çağrıldı. 1665-1681 yılları arasında Fransa'da Kraliyet Kütüphanesi 'nde çalıştı. Hollanda'ya döndükten sonra odak uzaklığı çok fazla olan mercekler yaptı. Robert Hooke tarafından 1665'te ortaya atılan ışığın dalga teorisini geliştirdi. Huygens'e göre bütün birincil dalga cepheleri, içlerinde sonsuz sayıda dalgalanmalar barındırıyorlardı. Bunun sayesinde optiğin temel yasalarını kanıtladı.

Optik konusundaki çalışmalarını 1690'da basılan Trait'de la Lumiere (Işığın İzi) adlı kitabında topladı. Bu eserinde ışığın, çok ince esnek bir maddesel ortam olan esirin titreşimlerinden oluştuğunu öne süren bir dalga kuramını benimsedi. Sözkonusu titreşimler bu ortamda madde taşınımı olmaksızın sonlu bir hızda yayılıyordu.Huygens kendi adını alan temel ilkeyi ortaya attı. Bu ilkeye göre; her titreşim merkezi küresel bir dalga yayar ve bu dalganın her noktası da aynı etkiyi gösteren bir titreşim kaynağıdır. Huygens; yansıma, kırılım ve hatta Erasmus Bartholin'in 1669'da bulduğu İzlanda spatındaki çift kırılımı da aynı şekilde açıkladı. Ama parçacık kuramları karşısında, ışığın doğrusal yayılımı üzerine doyurucu bir açıklama getiremedi. Bu başarısızlığın nedenlerinden biri, Fresnel'e kadar gelen fizikçilerin çoğu gibi, titreşimlerin boyuna yayıldığına inanmasıydı. Huygens'te dalga kavramı hala belirsizdi.Daha sonra doğa felsefesine değinen Discours sur la cause de la pesanteur (Yerçekiminin Nedeni Üzerine Konuşma) adlı eseri geldi. Bu eserde, ışığın dalgalı yapıda olduğunu kabul etti ve bu hipotezden gerçek bir fizik teorisi kurdu. Birçok alanı kapsayan önemli çalışmaları arasında en önemlisi Denis Papin ile birlikte ilk ateşli, içten yanmalı makineyi yapmasıdır. Huygens, pratik gerçekleştirmelere ulaşamamış da olsa, bu gibi makinelerin sanayide değerli bir enerji kaynağı olabileceğini öngördü. 1695'te doğduğu yerde yalnızlık ve hastalık içinde öldü. Ölümünden sonra, 1703'te yayımlanan Commentarii de Formandis Poliendisque Vitris ad Telescopia adlı eserinde mercekleri yontma sanatını açıkladı ve yeni metotlar öne sürdü.Bütün eserleri, Gravesande tarafından Christiani Hugenii Zulchemi, dum Viveret Zeleni Toparchae, Opera Varia (1724) adıyla toplandı ve Opera Reliqua ile tamamlanarak 1728'de yayımlandı.

Huygens modern bilimsel anlayışın ilk gerçek temsilcisidir.Bunun iki açıdan başardı: özellikle, deneyci bir fizikçi olarak daha çok kendi ürettiği aletleri kullanıp niteliği yüksek gözlemler yaptı; kuramcı olarak ise değişik sarkaç tiplerinin devinimlerini hesaplayıp, cisimlerin boşlukta düşüşü yasasını Galilei'den daha doyurucu biçimde formülleştirdi ve mekanikte, optikte ve doğa bilimlerinde matematik kullanımını büyük ölçüde geliştirdi.

Cahit Arf Hayatı

 

Cahit Arf (D. 11 Ekim 1910, Kayalar/Selanik – Ö. 26 Aralık 1997, İstanbul), dünya çapında tanınmış bir matematikçi olmuştur. Henüz iki yaşındayken, Balkan Savaşları sırasında Selanik’in Yunan ordusunun kontrolüne girmesi üzerine ailesi İstanbul’a göç etmiştir. Dört yaşında iken öğrenim hayatına İstanbul’da başlamıştır. 1919 yılında, dokuz yaşında iken ailesiyle birlikte Ankara’ya taşınmış, bir süre sonra tekrar İstanbul’a dönmüş ve ardından İzmir’e yerleşmişlerdir. Cahit Arf’ın matematiğe olan ilgisi İzmir yıllarında belirginleşmiştir. Cahit Arf’ın İzmir’deki öğrenim sürecinde, matematik öğretmeni tarafından Öklid geometrisine ilişkin problemler çözmeye teşvik edildiği bilinmektedir. 1926 yılında ailesi, kendisinin daha nitelikli bir eğitim alabilmesi amacıyla Fransa’da öğrenim görmesinin uygun olacağına karar vermiştir. Bu doğrultuda, Cahit Arf lise öğrenimine devam etmek üzere 1926 yılında Fransa’ya gönderilmiştir. 

Cahit Arf, Fransa’da École Normale Supérieure’de 1932 yılında tamamladığı yükseköğreniminin ardından, Kastamonu Lisesi’ne öğretmen olarak atanmak istemiştir. Ancak çevresinin yönlendirmesi ve desteğiyle, bir süre Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği yaptıktan sonra, 1933 Üniversite Reformu kapsamında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’ne doçent adayı olarak atanmıştır. Arf, 1937 yılında doktorasını yapmak üzere Almanya’nın Göttingen Üniversitesi’ne gönderilmiştir. Burada tez danışmanı Helmut Hasse ile birlikte yürüttüğü çalışmalar sonucunda, matematik dünyasında büyük yankı uyandıran ve kendi adıyla anılan “Hasse–Arf Teoremi”ni içeren doktora tezini 1938 yılında tamamlamıştır.  

(Bkz: Arf Teoremi)

1938 yılından itibaren Cahit Arf, cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çeşitli alanlarda yaptığı araştırmalarla matematik bilimine temel ve kalıcı katkılar sağlamıştır. Hasse’nin önerisiyle bir yıl daha Almanya’da kalarak çalışmalarına devam etmiş ve bu süre zarfında, matematikte önemli bir kavram olarak bilinen “Arf Değişmezleri”ni (Arf Invariants) geliştirmiştir. 

Cahit Arf ve Arf Teoremi

Cahit Arf (1910, Selanik – 26 Aralık 1997, İstanbul), Türk matematik dünyasının en önemli isimlerinden biridir. Kendi adıyla anılan matematiksel kuramları sayesinde uluslararası düzeyde tanınmıştır. Doktorasını yapmak üzere II. Dünya Savaşı dönemlerinde Almanya’ya giden Cahit Arf, burada ünlü matematikçi Helmut Hasse ile birlikte önemli çalışmalar yürütmüştür. Bu çalışmalar sonucunda matematikte Hasse-Arf Kuramı’nı geliştirmiştir. Ayrıca Arf değişmezi, Arf halkaları ve Arf kapanışları gibi kendi adıyla anılan kavramları bilim dünyasına kazandırmıştır. 

Cahit Arf, 1910 yılında Selanik'te dünyaya gelmiştir. 1918-1920 yılları arasında İstanbul Erkek Lisesi’nde öğrenim görmüştür. Mili Eğitim Bakanlığı’ndan kazandığı bursla yüksek öğrenimini Fransa’da, Ecole Normale Supérieure’de tamamlayan Arf, 1932 yılında mezun olmuştur. Türkiye’ye döndükten sonra bir süre Galatasaray Lisesi’nde matematik öğretmenliği yapmıştır. Ardından İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde doçent adayı olarak görev almıştır. Doktorasını tamamlamak üzere 1937 yılında Almanya’ya giden Arf, çalışmaları sonucunda büyük başarılar elde etmiş ve Türkiye’ye döndüğünde İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi’nde profesörlük görevine başlamıştır. Burada ordinaryus profesör unvanını da kazanmış ve 1962 yılına kadar akademik çalışmalarına devam etmiştir. Daha sonra Robert Kolej’de matematik dersleri vermeye başlamıştır. 1964-1965 yılları arasında Fransa’da bulunan Princeton’daki Yüksek Araştırma Enstitüsü’nde konuk öğretim üyesi olarak görev yapmıştır. Aynı yıllarda Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bünyesinde bilim kolu başkanlığı görevini üstlenmiştir. Cahit Arf, daha sonra Amerika Birleşik Devletleri’nde araştırmalar ve incelemeler yapmış, Kaliforniya Üniversitesi’nde konuk öğretim üyesi olarak görev almıştır. 

 

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Blaise Pascal, Fransız matematikçi, fizikçi ve düşünürdür. Pascal, 19 Haziran 1623 günü Fransa'da Clermont'ta doğdu. Babası kültürlü bir adamdı. Pascal yedi yaşına gelince, babası Paris'e yerleşti. Yedi yaşına gelen parlak çocuk öğrenimine başladı. Kendisi gibi çok güzel ve kültürlü iki kız kardeşi vardı. Özellikle Jak Qualine, Pascal'ın yaşamında önemli rol oynamıştır. Kız kardeşinin bu etkisi bazen iyi, fakat çoğu kötü yönde olmuştur. Pascal doğduğunda, Descartes yirmi yedi yaşındaydı. Descartes öldükten sonra Pascal daha on iki yıl yaşadı. Newton'dan sadece birkaç yıl önce doğmuştur. Descartes ve Fermat gibi büyük matematikçilerle çağdaş olması bir yerde kendisi için bir şanssızlıktı. Bu nedenle, tek başına oluşturabileceği olasılıklar kuramının keşfini Fermat'la paylaştı. Kendisini harika çocuk diye ünlü yapan geometri çalışmalarında, kendisinden daha az ünlü olan Desargues'dan esinlendi. Daha çok din ve felsefe konularına eğildiği için matematiğe az zaman ayırdı. Kız kardeşi ona bu konuda egemendi. Buna karşın, yapabileceğinin çok daha fazlasını verdi. 

Pascal, çok erken gelişen bir çocuktu. Fakat, vücutça oldukça zayıftı. Bunun tersine, kafası çok parlaktı. Öğrenimi başlangıçta çok başarılı geçiyordu. Çok küçük yaşta olmasına rağmen, matematiğe gösterdiği ilgi çok dikkati çekiyordu. Hatta, matematik problemleriyle gece gündüz uğraşmaya başladı. Sağlığının bozulacağından kuşkulanan babası, bir aralık onun matematik çalışmasına engel olduysa da, onun bu davranışı Pascal'ın matematik çalışmasına daha çok yöneltti. Geometri çalışmak için oyunlarını bıraktı. On iki yaşında babasına, geometrinin ne dernek olduğunu sordu. Euclides'in "Elements" adlı geometri kitabını kısa bir zaman içinde yutarcasına bir roman gibi okudu. Hiç bir yardım görmeden ve hiç bir geometri okumadan, çok küçük yaşta bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece, yani iki dik açı olduğunu kanıtlamıştır. Daha önce, hiç bir kitabı okumadan, Euclides'in birçok önermesini ispatlamıştır. Yine, Pascal hakkında abartma yapmaktan özellikle kaçınan kız kardeşi Gilbert'in anlattıklarına göre; Pascal Euclides'in ilk otuz iki önermesini Elements adlı kitabındaki sıraya göre bulmuştur. Otuz ikinci önerme ise, bir üçgenin iç açılarının toplamı ile ilgili ispatıdır. 

Pascal on dört yaşına gelince, Mersenne tarafından yönetilen ilmi tartışmalara kabul edildi. Bu tartışmaların yapılması, Fransız İlimler Akademisini doğurdu. Pascal kendi kendine bir geometrici olmuştu. Baba Pascal'ın hükümet makamlarıyla boğuşması aileyi kötü duruma düşürdü. Güzel ve parlak kız kardeşi Jacqueline, vergi konusunda babası ile anlaşmazlığa düşen Cardinal de Richelieu'yu eğlendirmek için, önünde oynatılan bir oyunda kendisini tanıtmadan oyuna çıkar. Kendini hayran eden artistin kim olduğunu öğrenen Cardinal, tüm aileyi bağışlar ve ondan sonra baba Pascal'a bir memurluk verir. 

Pascal, on altı yaşından önce, 1639 yılında, geometri teoremlerden birini ispat etti. On dokuzuncu yüzyılda yaşayan İngiliz matematikçisi ünlü Sylvester, Pascal'ın bu geometrik ispatına "kedi beşiği" adını vermiştir. On altı yaşındayken, konikler üzerine bir eser yazarak, ünlü Descartes'i hayretlere düşürmüştür. On sekiz yaşına gelince, şimdi Paris sanayi müzesinde saklanan hesap makinesini bulmuştur. Fizikte, havanın ağırlığını, sıvıların denge halini ve basıncı hakkında Pascal kanunlarını bulmuştur. Apollonius ve başkalarının çalışmalarını birer sonuç kabul eden dört yüz tane önerine ortaya koymuştur. Bu eserin tümü basılamadığı için, bir daha da ele geçmemek üzere kaybolmuştur. Fakat, Leibniz bu eserin bir kopyasını görmüş ve onu inceleme şanslılığına ermiştir. Pascal'ın bu eseri geometrik bir metrik olmayıp bir izdüşüm geometrisidir. 

Aristo, matematiği çokluklar ilmi diye tanımlıyordu. Oysa Pascal'ın geometrisinde çokluk yoktur. Pascal, on yedi yaşından ölümü olan otuz dokuz yaşına kadar ızdırapsız ve acısız gün görmedi. Hazımsızlık, mide ağrıları, uykusuzluk, yan uyuklamalar ve bu ağrıların verdiği gece kabusları onu  bitirdi. Böyle olmasına karşın, yine de bu ağrılar içinde durmadan çalışıyordu. 

Yirmi üç yaşlarında, kız kardeşinin baskı ve etkisiyle Hristiyan dinine ve bunun içinde bazı tarikatlara girdi. Bu konuda epey sarsıntılar da geçirdi. Fakat, yine onda matematik ağır bastı. Pascal, hurma ağaçları gibi tepeden kurumaya başladı. Aynı yıl hazım organları bozuldu. Bu ara geçici bir felç geçirdi. Bu ona çok ağrılar verdi. Her şeye rağmen, düşüncesi ve kafasının çalışmaları sürüyordu. 1648 yılında Toriçelli'nin (1608 -1647) çalışmalarını inceleyerek, onun da önüne geçti. Yükseklikle basıncın değiştiğini saptadı. 

Descartes, Pascal'la çeşitli konuları konuşmak ve özellikle barometre hakkında bilgi almak için geldi. Bu iki bilginin yaradılış ve ruhsal durumları pek uyuşmuyordu. Descartes, konikler üzerine yazılan eserin on altı yaşında bir çocuk tarafından yazıldığına inanmayı açıkça kabul etmedi. Daha da ileri giderek, Pascal'ın barometre deneyleri düşüncesini, Mersenne'nin çalışmalarından çalmış olmasından şüphelendi. Descartes'le Pascal'ın aralarında çekememezliğe neden olan üçüncü konu din üzerine olan düşüncelerindeki ayrılıklardı. Descartes Cizvitleri tutuyor, Pascal'sa Jansen'in mezhebini savunuyordu. Pascal'ın açık sözlü kız kardeşi Jacqueline'nin sözlerine bakılırsa, bu iki dahi birbirlerini oldukça kıskanıyorlardı. Bu nedenle de, adı geçen yukarıdaki görüşme ve ziyaret soğuk bir buluşma olmuştu. Descartes'in genç dostuna bazı öğütleri oldu. Pascal da onu ciddiye almadı. 

1658 yılının bir gecesinde, uykusuzluk ve diş ağrılarından kıvranan Pascal, korkunç ağrılarını unutmak amacıyla, birçok ünlü matematikçinin uğraştığı zarif sikloid eğrisine daldı. Sikloid eğrileri üzerine o kadar daldı ki, tüm ağrı ve acılarını unuttu. Tam sekiz gün sikloid geometrisi üzerinde çalıştı. Bu eğri ile ilgili olan çeşitli problemleri çözmeyi başardı. Bu buluşlarının bazılarını takma Amos Detonville imzasıyla, Fransız ve İngiliz matematikçilerine meydan ,okumak amacıyla basılmıştır. 

1658 yılında kendini oldukça hasta hissetti. Kısa aralıklarla gelen uyuklamalar dışında, şiddetli ve dinmek bilmeyen baş ağrıları ona çok eziyet ediyordu. Tam dört yıl bu ağrılarla kıvrandı. 1662 yılının haziran ayında otuz dokuz yaşındayken öldü. Ölümünden sonra yapılan otopsisinde, ağrılarının nedeninin ciddi bir beyin hastalığından ileri geldiği saptandı. Pascal, Fermat ile birlikte olasılıklar kuramını kurmakla, yeni bir matematik dünyası meydana getirmişti. Bu kuramın tüm inceliklerini ortaya döktü. Bu kuramı oluştururken, Fermat'la sürekli haberleşmişlerdir. Yapılan bu mektup görüşmeleri incelendiğinde, bu kuramın gerçek kurucularının Pascal ile Fermat'ın eşit payları olduğu görülür. Yaptıkları şeyler temelde aynı, fakat derinlemesine incelendiğinde farklılıklar görülür. Bu arada Pascal'ın düştüğü ufak hatayı Fermat belirtince, Pascal da bu hatasını hemen düzeltti. Bu haberleşmedeki ilk mektuplar kaybolmuşsa da, daha sonraki mektuplar hala eldedir. 

Kumarbaz Chevalier de Mere'den hareketle olasılıklar hesabı üzerine çalışmıştır. Elli iki kağıt oyunu ve tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi üzerine yaptığı hesaplamalara bağlı olarak Pascal üçgeni olarak bilinen çalışmasını yayınladı. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda ondan çok daha önceleri Ömer Hayyam tarafından kullanıldığı gösterildi. (Bkz. Ömer Hayyam) Bu çalışma literatüre Pascal'ın ismiyle girmiş olmakla birlikte sonraki yıllarda olasılık kuramında sıklıkla matematikçiler tarafından kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunmuştur.

Pierre-Simon de Laplace

Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (23 Mart 1749 – 5 Mart 1827) "Doğanın tüm olayları birkaç değişmeyen kanunun matematik sonuçlandır" diyen Marquis Pierre-Simon de Laplace, 23 Mart 1749 günü bir köylü çocuğu olarak dünyaya geldi. Ailesi, Fransa'nın Calvados ilinin Beaumont-en-Auge Kasabasında yaşıyordu. Laplace'ın ilk çocukluk yılları hakkında çok az şeyler biliniyor. Onun çocukluğunu ve gençliğini saran karanlık yılları, kendini beğenen davranışlarından ileri geliyordu. Kökeninin fakir bir köylüden gelişi onun yüzünü kızartır ve sürekli onu gizlemek için elinden geleni yapardı. Kısaca, bir köylü çocuğu olarak doğmadı ve kendini beğenen birisi olarak ölmedi cümlesi ile yaşam öyküsü özetlenebilir. Laplace köylü olması ve ailesinin fakir olmasından dolayı utanç duyardı. Tüm yaşamı boyunca bu duygu ve düşünceden kendisini kurtaramadı. Bu da onun zayıf bir yanıydı. 

Laplace, ilk yeteneğini köy okulunda gösterdi. Bu başarısı zengin komşularının dikkatini çekti. İlk başarılarını, teolojik tartışmalarda elde ettiği söylenir. Laplace, kendisini çok erken matematiğe verdi. O zaman Beaumont'ta askeri bir okul vardı. Laplace bu okula devam ediyordu. Laplace sonraları bu okulda bir süre matematik dersleri de okutmuştur. Onun matematik yeteneğinden çok daha fazla hafıza yeteneğinin olduğu kanaati vardır. Bundan dolayı, Laplace on sekiz yaşına gelince zengin koruyucularının tavsiye mektuplarıyla Paris'in yolunu tuttu. Genç Laplace, kendine tam bir güven içinde Paris'e matematik dünyasını fethetmek için geldi. Paris'te d'Alembert'in evine gitti. Tavsiye mektuplarını d'Alembert'e gönderdi. Fakat bu mektupların hiçbiri kabul edilmedi. D'Alembert, büyük ve kuvvetli kimselerin referanslarından başka bir varlıkları olmayan, matematiğe ilgisiz kimselerle uğraşmıyordu. 

Laplace, evine döndü ve tekrar d'Alembert'e mekaniğin temel kuralları üzerine bir mektup yazdı. D'Alembert'in onu görmek için gönderdiği çağrı yazısında şöyle yazıyordu. "Bayım, görüyorsunuz ki öneri mektuplarına hiç değer vermiyorum. Sizin bu tür övgü mektuplarına hiç gereksinmeniz yok. Siz kendi kendinizi daha iyi tanıttınız. Bu bana yeter. Size yardım etmek bana bir borç olsun." 

Birkaç gün sonra Laplace, d'Alembert'in sayesinde Paris'teki askeri okula matematik öğretmeni olarak atandı. İşte bu sırada Laplace, Newton'un genel çekim kanununun güneş sistemine uygulaması adlı büyük eserini verdi. Astronom ve matematikçi olduğu için, kendisine Fransız Newton'u denmiştir. Olasılıklar kuramının kurucusu gözüyle bakılabilir. "Bildiklerimiz çok değil, bilmediklerimiz çoktur" sözüyle alçak gönüllülüğünü göstermiştir. Matematiğe önem vermediğini, şöhret ve ün için değil de kendi arzularını yenmek için matematikle uğraştığını kendisi söyler. 

Laplace, dahi kimselerin buluşlarını veya yaşayışlarını incelemek ve kendisini onların yerine koyarak engelleri aşmak düşüncesindedir. Yaptığı çalışmaların tümünün kendisine ait olduğunu ileri sürer. Bu söz doğru değildir. Örneğin, yazdığı "Gök Mekaniği" adlı şaheserinde, gelecek kuşaklara "bunu ben keşfettim" gibi bir izlenimi vermeyi ustalıkla kullanmıştır. Diğer matematikçilerden aldıklarına kaynak vermez, kendine yarayan ve dışarıdan aldığı şeyleri kendine mal etmeyi çok kurnazca becerirdi. Gök Mekaniği için gereken analiz bilgilerini Legendre'den almış olmasına rağmen adını çalışmasında vermemiştir. Yalnız Newton'un adı çalışmalarında geçer. 

Laplace, Lagrange'da değinilen üç cisim problemini güneş sistemi için düşünerek, Newton'un çekim kanununu Güneş sistemine uyguladı. Gezegenlerin hareketlerinin Güneş tarafından belirlendiğini, devirli küçük değişiklikler hariç, gezegenlerin Güneşe olan uzaklıklarının değişmediğini ispatladı. O zaman yirmi dört yaşında olan Laplace için tarih 1773 yıllarını gösteriyordu. Bu başarısından dolayı Paris İlimler Akademisine üye seçildi. Yaşamının ve meslek hayatının ilk şerefini ve ödülünü almış oluyordu. Bulduğu matematik sonuçlarının büyük birçoğunu astronomide kullanmak için elde etti. Sayılar kuramı üzerinde bir süre çalıştı ve onu kısa bir zaman sonra bıraktı. Olasılıklar kuramı üzerinde çalışması yine onu astronomide kullanmasından kaynaklandı. 

Gök Mekaniği adlı eseri, yirmi altı yıllık, bir zaman sürecinde parça parça olarak yayınlanmıştır. Gezegenlerin hareketleri, şekilleri, gel-git olaylarını inceleyen ilk iki cilt, 1799 yılında çıktı. 1802 ve 1805 yıllarında iki cilt ve 1823 ile 1825 yılları arasında da beşinci cildi yayınlandı. Yalnız, bu eserlerde matematik kısımlarının ispatları yeterince açıklanmıyor ve yorumlardan da kaçınılıyordu. Hatta, matematik hesapları için, "Kolayca görülür" deyimi kullanılıyordu. Aslında, bu kolayca görülür deyimi ters bir anlam da taşıyordu. Kendisi bile bu kolayca görülür dediği kısımları günlerce uğraşarak çözüyordu. Okuyucuları ve öğrencileri daha sonra bu deyim üzerinde haftalarca uğraşacaklarını bildiklerinden, homurdanmayı adet edinmişlerdi. 

Askeri okula giriş sınavında Napolyon Bonapart'ı (1768 -1821) imtihan etmişti. Daha sonra Napolyon onu siyasetin çamuruna sürükleyecekti. Gerek Laplace ve gerekse Lagrange ihtilalin dışında kalmadılar. Nasıl ki Newton son yıllarını siyasette geçirmiş, Laplace da onu yenmek amacıyla siyasete atılmıştı. Napolyon ona içişleri bakanlığını vermesine rağmen içişleri bakanlığı görevini ancak altı hafta sürdürebilmiştir. Napolyon'la beraber onun da siyasi hayatı sona ermiştir.

Laplace'ın en iyi tarafı, matematik çalışan gençleri tutar ve onlara yardım ederdi. Laplace'ın bulunduğu bir toplantıda, Biot adlı bir genç matematikçi Akademide bir çalışmasını okur. Toplantı bittikten sonra Biot'u bir kenara çeken Laplace, cebinden çıkardığı ve sararmış kâğıtları göstererek, aynı keşfi kendisinin yıllar önce elindeki. kâğıtların eskiliğinden de anlaşılacağı üzere, bulduğunu ve yayınlamadığını gizlice söyler. Laplace, Biot'a bunu kimseye söylemeyeceğini ve çalışmasını çekinmeden yayınlamasını içtenlikle istemiştir. 

Laplace, son günlerini Paris yöresinde Arcueil'de geçirmiş, kısa bir rahatsızlıktan sonra 5 Mart 1827 tarihinde yetmiş sekiz yaşında ölmüştür.

Euclid (M.Ö. 325 - M.Ö. 265)

Rönesans sonrası Avrupa'da, Kopernik'le başlayan, Kepler, Galileo ve Newton'la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, güneş-merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik'i öncelemişti. Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo'ya esin kaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti. Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler'in, kimi yetersizliklerine karşın, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir. Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; Iskenderiye Kraliyet Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!'' levhası asılıydı. 

Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy , okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına, "Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?'' diye sorduğunda, Öklid "Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur'' der. Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, ''Hocam, verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?'' diye sorduğunda, Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır, "Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa gitmediğini görsün!'' demekle yetinir . Öklid haklı olarak "geometrinin babası" diye bilinir; ama geometri onunla başlamış değildir. 

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düşünceler , düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuştu. 

Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüşmüştü. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti. Kuşkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediği demek değildi. Tam tersine, değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiği; ama Elementler'in, eğreti olarak değindiği bazı örnekler dışında, uygulamalara yer vermediği de bilinmektedir. Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneğe dönüşmüştür. Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde Soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. 

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama şu sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir? Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne alındığında, başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir: 1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek; 2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak; 3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek); 4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak 

Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a²+b²=c² eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler). Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi "aksiyom" dediği genel ilkeden, beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkeden oluşan, on öncüle yer vermiştir. (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Dizi, tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, "nokta'', "doğru", vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, l8. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa, Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez. 

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: '"Elementler'e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir."

Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!"