Açının sinüsü ve
kosinüsü: Birim çember
üzerinde, rastgele bir P noktası belirleyelim. P noktasından orijine çizilerek oluşturulan açıyı gözönüne alalım. P noktasının bu açı sayesinde oluşturduğu apsis değerine açının kosinüsü, P noktasının ordinatına da açının sinüsü denir. Verilen P noktası için; x = cosa , y = sina olduğundan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.
1.
P
noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çember üzerinde bir nokta olduğu için; Cosinüs fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı değerleri için cosinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu durum kolaylıkla görülebilir.
-1 < cosa < 1 veya
cos : R ---> [-1,1] dir. Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R,
görüntü kümesi [-1,1] dir.
Aynı şekilde ; Sinüs
fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı
değerleri için sinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve
alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu
durum cosinüs fonksiyonunda olduğu gibi kolaylıkla görülebilir.
-1 < sina < 1 veya
sin : R ---> [-1,1] dir. Yani
sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2.
x
= cosa
ve y = sina
olduğuna göre; birim çemberde çizilen dik üçgen yardımıyla bir a açısı için pisagor teoremi uygulanırsa; cos2a + sin2a= 1 bulunur. Bu trigonometrideki temel teoremlerden biridir.
Açının tanjantı ve
kotanjant değerleri bulunurken; Birim çemberin dışındaki bir A
noktasından çizilen teğeti incelersek; m, bir reel sayı olmak üzere,
T(1,m) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına oluşan açının tanjantı denir. Tanjsnt değeri aynı zamanda verilen bir doğrunun eğimini verir. Eğim m harfi ile gösterilirse kısaca m = tana yazılabilir.
Sonuç :T(1,m)
noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, m herhangi bir nokta
olabilir. Dolayısıyla; tanjant
fonksiyonunun tanım kümesi pi sayısı 180 derece olarak ifade edilen radyan açı olmak üzere, (pi/2 +kpi) yani 90 derece ve tek katlarında (90, 270, 450... gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılar kümesinde tanımlıdır. Tanjant fonksiyonun görüntü
kümesi ise R dir. Aynı şekilde cotanjant fonksiyonunun
tanım kümesi (pi+kpi) yani 180 derece ve katlarında 180, 360, 540,...vs gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılarda tanımlıdır ve görüntü kümesi de R olarak belirlenir.
Tanjant ve cotanjant fonksiyonları çarpma işlemine göre birbirlerinin tersi olduğundan yani tanx = 1/cotx olarak yazılabildiği için tanx.cotx=1 olarak önemli bir teorem bulunmuş olur.
Tanjant ve cotanjant fonksiyonları aslında esas fonksiyonlar olmayıp tali fonksiyonlardandır. Yani tan fonksiyonu aslında bir açının sinüs değerinin, cosinüs değerine bölümü ile bulunabilir. tanx=sinx/cosx olarak yazılabilir. Aynı şekilde cotx=cosx/sinx olarak yazılabilir.
