Sarrus Kuralı

Determinat hesabında, kofaktör matrislerinden yararlanarak satır ya da sütuna göre açılım yapılarak hesaplama işlemi yapılır. (Bkz: Determinant Hesabı)  Bu şekilde determinant hesabının yanında bazı sık kullanılan kare matrislerin determinant hesabında pratik bir kural vardır. Lise müfredatında da sıklıkla karşımıza gelen 3 satır ve 3 sütundan oluşan 3x3'lük bir matrisin determinat hesabında, SARRUS kuralı uygulanabilir. Bu kural, Fransız matematikçi Pierre Frédéric Sarrus tarafından keşfedilmiştir. 

F.Sarrus (1798-1861), Strasbourg Üniversitesi (1826-1856) ve Fransız Bilimler Akademisi'nde (1842) çalışmış bir matematikçidir. 3x3 boyutlu bir kare matriste determinat hesabında kofaktör matrisleri yerine sıklıkla Sarrus Kuralı kullanılır. Verilen matrisin ilk üç satırı sabit olarak bırakıldıktan sonra 4.bir satır olarak matrisin ilk satırı en alta tekrar yazılır ve sağ ve sola doğru çaprazlama her bir eleman çarpılarak elde edilen toplam toplandıktan sonra sonuçlar karşılıklı olarak sağ toplamdan sol toplam birbirinden çıkarılıp determinant bulunur.

Sarrus kuralı, 3x3 matriste satır yerine sütun tercihi yapılarak da aynı işlemlerle yapılabilir. Burada verilen matriste en alta ilk satırı eklemek yerine matrisin yanına ilk sütunu tekrar ekleyerek determinant hesaplanır.

Analitik geometride, köşe koordinatları verilen üçgen veya dörtgenlerin alanları hesaplanırken de Sarrus kuralı kullanılır. Köşe koordinatları sırasıyla matris biçiminde yazıldıktan sonra ilk yazılan koordinatlar en alta tekrar yazılır ve çaprazlama Sarrus kuralı gibi işlem yapılır. Daha sonra sağ ve sol toplamlar, kendi arasında pozitif ve negatiflik durumuna göre toplandıktan sonra bulunan determinat sonucu üçgen alanı için mutlak değeri alınıp, hesaplama sonucunun yarısı alınarak kapalı bölgenin alanı bulunur. Bu formül üçgenin köşelerinin koordinatları matrise saatin tersi yönünde yerleştirildiğinde pozitif, saat yönünde yerleştirildiğinde negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır. Herhangi bir çokgenin alanı da aynı formülle hesaplanabilir. Bu formül hem konveks hem de konkav çokgenler için kullanılabilir

 

Determinant Hesabı

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. Bir matrisin kofaktör ve minörü ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için ilgili yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz: Bir matrisin kofaktörü)

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır (veya sütuna) göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır (veya sütun) seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satır veya sütunda sıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

 

  

Tevrat’ın tahrifatı ve Yahudi Irkçılığı

Tarih boyunca dinler, sadece manevi rehberlik değil, aynı zamanda toplumsal kimlik ve aidiyet aracı olarak da işlev görmüştür. Bu bağlamda kutsal kitap Tevrat, Yahudi toplulukları için hem kutsal bir metin hem de bir kimlik kaynağı olmuşken, zamanla dinlerinde aşırıya kaçmış bozgunculuk peşinde koşan Yahudiler tarafından, batıl amaçlar doğrultusunda kendi elleriyle tahrif edilmiştir. Tarihî araştırmalar ve metin incelemeleri, Tevrat’ın bu şekilde farklı dönemlerde bazı gruplar tarafından yorumlandığını ve zaman zaman değiştirildiğini ispatlamıştır. Bu yazı içeriği; zalimlik peşinde koşan, dinlerini diledikleri gibi değiştirip oyuncak haline getiren, iktidar ve hırsları uğruna dünyayı kendilerine ve diğer milletlere yaşanmaz hale getiren azgın ve bozguncu, zalim, siyonist yahudileri hedef almaktadır. Yazıda Tevrat’ın hükümlerinin dinde aşırı gitmiş Yahudiler tarafından değişimlerinin sonuçları, güncel ve tarihsel olarak açıklanmaya çalışılmıştır. 

"Fakat zalimler, kendilerine söylenenleri başka sözlerle değiştirdiler. Bunun üzerine biz, yapmakta oldukları kötülükler sebebiyle zalimlerin üzerine gökten acı bir azap indirdik." (Bakara Suresi, 59)

 

Tevrat, tarih boyunca farklı dönemlerde hem metinsel hem de yorum yoluyla azgın ve sapkın Yahudiler tarafından değişikliğe uğramıştır. El yazmalarıyla Tevrat çoğaltılırken çeşitli hatalar, eklemeler veya çıkarımlar olmuş; özellikle hukuk ve ritüel konularında yeniden heva ve heveslere göre düzenlemeler yapılmıştır. Midraş ve Talmud gibi yorum gelenekleri, metni toplumsal ve etnik çıkarlar doğrultusunda yeniden çıkarlara göre şekillendirmiştir. Siyasi ve toplumsal baskılar altında, savaş ve miras düzenlemeleri, ceza sistemleri gibi asıl Tevrat hükümleri, azgın Yahudi toplulukları tarafından kendi çıkarları doğrultusunda değiştirilip insan eliyle yazılmış hükümler uygulanmıştır. Böylece kutsal kitap Tevrat, kişisel görüşlere yorumlanan kutsallıktan arınmış tahrifatla dolu metinler haline dönüşmüştür. Bu süreçler; Tevrat’ın özünün bozulmasına yol açarken Yahudi cemaatleri arasında da uygulama ve anlayış farklılıkların ortaya çıkmasına yol açmıştır. Bu durum, Tevrat metinlerinin asıl Tevrat ile olan bağını karmaşıklaştırıp  kutsallığını bozduğu gibi metnin orijinal mesajının zamanla nasıl saptırıldığını da gözler önüne sermiştir.

Yahudi toplumunun kendi soylarına uygun peygamber beklentileri ve dünyevi çıkarlar doğrultusunda Tevrat’ı yorumlamaları, pek çok dinler tarihi araştırmacısı tarafından bilimsel bir gerçeklik olarak ortaya konumuştur. Bu yorumlama, sadece dini bir rehberlik ihtiyacından kaynaklanmamış, aynı zamanda toplumsal ve siyasi hedeflerle de bağlantılı olarak zamanın önceliklerine göre değişken bir yapıda olmuştur. Hz. Musa'ya (a.s) indirilen Tevrat hükümleri, Yahudiler tarafından mevcut toplumsal ve siyasal çıkarlara uygun şekilde, kendi heva ve hevesleri doğrultusunda yorumlanmış ve insani eklemelerle, orijinal metin üzerinde değişiklikler yapılarak ciddi anlamda büyük tahrifat yapılmıştır. Bu süreç, Yahudilerin dini inanışlarında Tevrat’ın uygulanabilirliğini, kendi lehlerine çekme amacı taşımıştır. Aynı zamanda, bu değişiklikler toplumun kolektif kimliğini koruma, ırkçılık ve aşırı milliyetçiliğini muhafaza etme ihtiyacından da kaynaklanmıştır. Dış tehditler ve farklı etnik grupların varlığı, Yahudi toplumunu diğer dünya milletleri arasında nedeni anlaşılmaz bir “ayrıcalıklı konum” algısı oluşturmaya yönlendirmiştir. Yahudiler; kendi dönemlerinde küfür ve dalâlet içinde yaşayan diğer milletlere karşı Hz. Musa (a.s) gönderilen emir ve yasakları benimsemeleri sebebiyle kazandıkları ilahi nimet ve üstünlükleri kaybedip (Bakara Suresi, 47), tevhid dininin ilke ve kurallarından sapmaları sebebiyle zalimlerden olmuşlar ve Allah’ın gazabına ve lanetine uğramışlardır. Buna rağmen Hz. Musa (a.s)'ın uyarılarını ve Allah'ın lanetini hazmedemeyen Yahudiler, Allah’ın kurallarına savaş açmışlardır. Yahudilerin bu şekilde sonradan tahrif ettikleri metinler, zaman içinde önceden kendilerine has kılınan üstünlük anlayışını meşrulaştıran bir araç hâline gelmiş ve kendi soylarından gelen peygamber beklentisi doğrultusunda pekiştirilerek yeniden yorumlanmış ve bu sayede zamanla siyaset malzemesi haline getirilmiştir.

Matrisin minörü ve kofaktörü

Matrisin minörü, bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü, 2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.

 

Bir matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir. Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.

Kofaktör matrisi; bir matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir. Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır. Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur: 

1. Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun. 

2. Minör matrislerin determinantını  hesaplayın. 

3. Hesaplanan determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak belirlenir. 

4. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken (2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 

5. Bütün bu hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.

Bir kare matrisin Kofaktör matrisi, transpoze edilince o matrisin ek matrisi (adjoint matrisi) elde edilir. Ek matris, ek(A) şeklinde veya adj(A) şeklinde gösterilir. Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır. 

 

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Bir matrisin transpozu

Bir matrisin transpozu (devriği) matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle oluşan yeni bir matristir. Bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alınırsa tekrar kendisini verir. Doğrusal (lineer) cebirde, bir A matrisinin transpozu Aᵀ şeklinde ifade edilir.

Skalerle çarpım işleminde transpoze işlemi geçerli olur. Yani bir matrisin skalerle çarpımının transpozu, o matrisin transpozunun aynı skalerle çarpımına eşit olur. Toplam matris üzerinde transpoz alınırsa ayrı ayrı matrislerin transpozları toplamına eşit olur.

Kare matrisin kuvveti

Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir. Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.

Bir kare matrisin kuvveti alınırken, verilen kuvvet kadar matris kendisi ile çarpılır. Birim matrisin tüm kuvvetleri kendisini verir. 

Matrislerde çarpma işlemi

Matrislerde çapma işlemi yaparken, ilk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Çarpılacak iki matrisin sütun ve satır sayılarına dikkat ederek, çarpma işlemi sonucu oluşacak yeni matrisin elemanlarını hesaplamak için satır ve sütun elemanlarını çarparız, ardından sonuç matrisine bu çarpımları toplayarak yeni matrisi oluştururuz. Sonuç matrisinin boyutları, ilk matrisin satır sayısı ve ikinci matrisin sütun sayısı olacaktır.

İki matrisin çarpımı, yeni bir matris oluşturularak yapılır. Yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin ilgili satırıyla ikinci matrisin ilgili sütununun elemanlarının çarpımının toplamıdır. Örneğin, A matrisi (m x n) boyutlu ve B matrisi (n x p) boyutlu ise, A ile B matrisi arasında çarpma işlemi tanımlanır ve bu çarpım sonucu elde edilen C matrisi (m x p) boyutlu yeni bir matris olacaktır. Son matrisin elemanları, bu oluşan toplam değerlere göre tek tek hesaplanır.