Çizge Kuramı (Graf Teorisi)

Graf teorisi veya çizge kuramı, grafları inceleyen matematik dalıdır. Graf, düğümler ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısıdır. Bir graf veya çizge, düğümlerden (köşeler) ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan (yaylardan, bağıntılardan) oluşur. Daha önceleri Çin, Hint ve İslam dünyasında kullanılmış olmakla birlikte literatür anlamında graf teorisinin temelinin 1736'da Leonhard Euler tarafından atıldığı söylenmektedir. "Graf" kelimesi, ilk kez 1822 yılında James Joseph Sylvester (1814-1897) tarafından kullanılmıştır. 1845 yılında Gustav Kirchhoff (1824-1887), elektrik devrelerinde akım ve gerilimleri hesaplamaya yardımcı olan ve kendi ismiyle anılan ünlü devre kuramlarını graf gösterimiyle yayımlamıştır. 1852 yılında Francis Guthrie (1831-1899), çözülmesi zor olan grafta dört renk problemini (İngiltere'nin kontluklarının haritasını renklendirirken, ortak bir sınırı paylaşan iki bölgenin aynı renk olmaması için en az dört renge ihtiyaç olduğundan hareketle "Herhangi bir haritayı renklendirmek için dört rengin yeterli olacağını varsayan problem") ortaya atmıştır. 1927 yılında Lev Semenovich Pontryagin (1908-1988), 1930 yılında ise Kazimierz Kuratowski (1896-1980), düzlemsel grafların özelliklerini bulmuşlardır. Macar matematikçi Denes König (1844-1944), graf teorisine ilişkin ilk kitabı 1936 yılında yayımlanmıştır. 

Graf (Çizge) Teorisi, çok farklı disiplinlerin çalışma alanına girmektedir. Network ağları, facebook, twitter gibi sosyal ağların kullanımı, kurye hizmetler, (travelling salesman problemi- en kısa yollardan müşteriye ulaşma), mektup dağıtımı, yol bakımı, kar temizleme, itfaiye, acil servis gibi araçların optimum güzergahları, çöp toplama, polislerin yollarda devriye gezinimi gibi pek çok alanda graf teorisi kullanılır. Sosyolojiden, bilgisayar bilimlerine, işletmeden, endüstri mühendisliğine kadar çok geniş alanlarda kullanımı olan bu teori, basitçe bir gerçek hayat probleminin çizge ile modellenmesini amaçlamaktadır. Model oluşturulduktan sonra çizge teorisinde bulunan yöntemler kullanılarak problem çözülebilmekte ve ardından da tekrar gerçek hayata uygulanabilmektedir. Graf (Çizge) teorisi temel olarak bir problemin hat/kenar (edge) ve düğümler (node) ile modellenmesi ve bu modelin bir çizge şeklinde gösterilmesi ilkesine dayanmaktadır. Çizge teorisinde tanımlı olan bazı özellikler bu modelin çözümüne ve dolayısıyla gerçek problemin çözümüne yardımcı olmaktadırlar. Yani çizge teorisinin işe yaraması için öncelikle gerçek dünyadan bir problem çizge olarak modellenir, bu model geometrik olarak çözülür ve daha sonra gerçek dünyaya uygulanır.

Graf teorisinin modern matematiksel tarihi, Königsberg köprüleri problemine dayanır. Leonhard Euler tarafından, 1736 yılında, Königsberg'in yedi köprüsü (Die Sieben Brücken von Königsberg) adında günümüzde hâlâ popülerliğini koruyan bir problem ile ilgili olarak yazılan bir makale, graf teorisinin başlangıç tarihi kabul edilir. Königsberg kentinde Eski Pregel ve Yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregel (Pregolya) nehrini oluşturmaktadır. Bu nehirler, şehri dört bölüme ayırmaktadır ve nehir üzerinde bu bölgeleri birleştiren yedi köprü bulunmaktadır. Ortaya atılan probleme göre: Königsberg'in yedi köprüsünden sadece bir ve yalnız bir defa geçmek koşulu ile bir yürüyüş yapılabilir mi? Bu sorun üzerine kafa yoran matematikçiler, çeşitli çözüm önerileri sunmuş ve en sonunda 1736'da İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından bir makale yayınlanarak problem cevaplandırılmıştır.

Algoritma Örnekleri

Bir problemin çözümüne dair işlem basamakları oluşturulabiliyorsa, o problem çözülmüş demektir. Herhangi bir programlama dilinde, işlem basamaklarını bilgisayarın anlayabileceği şekle dönüştürme yardımıyla problem çözüm işlemi başlamış olur. Bu dönüştürme işlemini kolaylaştırmak için, işlem basamaklarımızı oluştururken bilgisayar diline yakın bir dille yazmak önemlidir. Öyle ki; bilgisayara verilecek iki sayıyı toplayıp, sonucu ekrana yazacak bir program için oluşturulan işlem basamakları, 

1. Sayıları oku 

2. Sayıların toplamlarını hesapla 

3. Toplamlarını ekrana yaz şeklinde olduğunda, bu işlem basamaklarını herhangi bir programlama dilini kullanarak bilgisayara aktarmak, yeterli değişken kullanımı olmadığında daha zor olacaktır. 

Aynı işlem basamakları aşağıdaki gibi yazıldığında programlama açısından daha kolay bir durum verir.

1. Başla 

2. A sayısını oku 

3. B sayısını oku 

4. C = A + B 

5. C sayısını yaz (ekrana yaz) 

6. Dur 

 

Örneğin bir pozitif tamsayının 5 ile tam bölünüp bölünmediği belirlemek için aşağıdaki gibi bir adımlama yapılabilir. 

1. Başla

2. Pozitif bir tamsayı gir

3. sayının birler basamağını bul b=x%10

4. eğer b=5 veya b=0 ise "x, 5 ile tam bölünür" değilse "x , 5 ile tam bölünmez"

5. bitir

 

Algoritmada akış diyagramları

Algoritmada akış diyagramlarından yararlanılarak çözüm basamakları adımlandırılır. Akış diyagramı, algoritmaların şekil ve sembollerle ifade edilmesidir. Akış şemasında her adım birbirinden farklı anlamlar taşıyan şekillerden oluşur ve adımlar arasındaki ilişki oklar ile gösterilir. Kodlanacak programın akış şemasının oluşturulması, sürecin daha kolay çözümlenmesine yardımcı olur. 

Algoritma ve Bilişim konu özeti ders notları için tıklayınız. (PDF)

Algoritma ve Özellikleri

Algoritma, belirli bir problemi çözmek veya belirli bir amaca ulaşmak için çözüm yolunun adım adım tasarlanmasıdır. "Algoritma" kelimesi, Müslüman matematikçi el-Harezmi'nin (Ebu Cafer Muhammed ibn Musa el-Harezmi'nin isminin Latince çevirisi olan Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī) adından gelir. Algoritma, bir problemi çözmek için gerekli yolun basit, net ve belirli bir sıraya göre tasarlanmış hâlidir. Bir problemi tanımlama, nedenini açıklama, çözümü için alternatif yolları belirleme ve bu yollar arasından en uygun olanı uygulama süreçlerinin tamamı “problem çözme” olarak adlandırılır. Matematikte ve bilgisayar biliminde bir işi yapmak için tanımlanan, bir başlangıç durumundan başladığında, açıkça belirlenmiş bir son durumunda sonlanan, sonlu işlemler kümesi algoritma içinde yer alır. Genellikle bilgisayar programlamada algoritma sıklıkla kullanılır ve tüm programlama dillerinin temeli algoritmaya dayanır. Aynı zamanda algoritma tek bir problemi çözecek davranışın, temel işleri yapan komutların veya deyimlerin adım adım ortaya konulmasıdır ve bu adımların sıralaması algoritmada oldukça önemlidir. Bir problem çözülürken algoritmik ve sezgisel (herustic) olmak üzere iki yaklaşım vardır. Algoritmik yaklaşımda da çözüm için olası yöntemlerden en uygun olan seçilir ve yapılması gerekenler adım adım ortaya konulur. Algoritmayı belirtmek için; metinsel olarak düz ifade ve akış diyagramı olmak üzere 2 yöntem kullanılır. Algoritmalar bir programlama dili vasıtasıyla bilgisayarlar tarafından işletilebilirler. 

İsra ve Mirac

“Bir gece, kendisine bazı âyetlerimizi gösterelim diye kulunu Mescid-i Haram’dan çevresini mübarek kıldığımız Mescid-i Aksâ’ya götüren Allah tüm eksikliklerden münezzehtir. O, gerçekten her şeyi işitmekte ve görmektedir.” (el-İsra-1)

سُبْحَانَ الَّذ۪ٓي اَسْرٰى بِعَبْدِه۪ لَيْلًا مِنَ الْمَسْجِدِ الْحَرَامِ اِلَى الْمَسْجِدِ الْاَقْصَا الَّذ۪ي بَارَكْنَا حَوْلَهُ لِنُرِيَهُ مِنْ اٰيَاتِنَاۜ اِنَّهُ هُوَ السَّم۪يعُ الْبَص۪يرُ

 

İsra ve Mirac hadisesi haktır. Ayet ile sabittir. İsra olayı, içerisinde çeşitli hikmetler barındırır. Kısa ve öz bir okumayla bu hadise, Resulullah'a ﷺ ikram edilmiş büyük bir mucizedir. Allah bizleri de o büyük peygamberin ﷺ şefaatinden mahrum etmesin. Allah bizleri, ümmeti Muhammede hediye olarak verilen namazla kurtuluşa erenlerden, Allah'a ﷻ kavuşanlardan eylesin. İsra ve Mirac hadisesi ile ilgili tefsir okumalarımdan bazı özet notları aşağıda paylaştım. Allah, ﷻ tüm bunların vesilesiyle dünyada ve ahirette lütuf ve ikram görenlerden kılsın.(Amin) Kadir PANCAR 

***

1) Allah'ın ﷻ gücü her şeye yeter, onun ilmi ve kudreti hiçbir şeyle sınırlandırılmaz. 

2)  Allah, ﷻ her türlü kötülüklerden ve noksanlıklardan uzaktır, Allah, ﷻ çirkinliklerden münezzehtir. 

3) İsra hadisesinin inkarı, aklen ve naklen mümkün değildir. Bunu inkar edenler, esasında nübüvveti inkar ederler.

4) İsra hadisesinin bir hediyesi olan "Namaz", müminin miracıdır. Namaz, Allah'a ﷻ dünyada kavuşmanın bir vesilesidir. 

5) Kulluk makamı (abd), yüce bir mertebedir. Allah'ın ﷻ bir insanı "abd" olarak isimlendirmesi, ona izafe edilen makamın yüceliğini gösterir. "abd"(kul) sözüyle hem rûh hem de beden murad edilmiştir.

6) Allah ﷻ için zaman ve mekan kavramının boyutu bizim idrakimizden farklıdır. Kısacık zaman dilimine istediğini sığdırabilir. Nitekim gecenin az bir bölümünde İsra hadisesi vuku bulmuştur.

7) Yer ve mekan gibi kavramlar, mahlukları bağlar; uzaklık-yakınlık gibi kavramlar, akıl dairesinde bir anlamı ve sınırı olan kavramlardır. Mekansal olarak birbirine uzak gibi görünen iki mescidin yolunu bir anda katetmek, aklen mümkündür. 

8) Allah,ﷻ zaman içinde zaman, mekan içinde mekan yaratır. Bunu istediği anda ona engel olacak yoktur, dilediği kuluna böyle ikram eder. 

9) Nübüvvet, en büyük mucizedir. Tasdik edilmesi ancak hidayetle mümkündür. İsra ve mirac gibi büyük bir olayın ardında bile fitne gruplarının hezeyanları, hidayetin ancak Allah'a ﷻ ait olduğunu ifade eder. 

10) Üzüntü ve neşe gibi insana has durumlar, hep aynı hal üzere devam etmez. İnsanların halleri değişkendir. Allah ﷻ bir anda bütün bu durumları değiştirebilir. Nitekim peygamberimiz ﷺ isra ve mirac ile huzur ve kuvvet bulmuş, düşmanlarına karşı cesareti ve şecaati artmıştır.

11) Ayetin (el-İsra-1) belagatında, "Sübhân" kelimesi ile Allah'ın ﷻ yüceliği ve bütün çirkinliklerden uzak olması ile başladıktan sonra gecenin az bir bölümünde yine uzaklık bildiren "uzak mescid" Aksâ’ya, Mescid-i Haram’dan kulun yürüyüşü anlatılır. Sonra birtakım ayetlerin kuluna gösterildiği ifade edilir, Resulullah ﷺ bütün bunları müşahede ettiği, ayetleri dinlediği belirtilip, ayetleri müşahedenin iki büyük unsuru olan görme ve işitme ile ilgili iki sıfat (semi ve basar) ile ayet-i kerime biter ve Allah'ın ﷻ her şeyi "işiten ve gören" olması ile birlikte ilahi mesaj aktarılır. (26/01/2025)

***

 

Adjoint Matris (Ek Matris)

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Matrislerde elemanter satır işlemleri

Bir matristeki herhangi bir satır (veya sütundaki) tüm elemanlar bir Reel sayı ile çarpılıp farklı bir satır veya sütuna karşılıklı olarak eklenirse determinant değeri değişmez.  Bu özellikten yararlanarak lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri kolay bir şekilde bulunur. Matrisler kullanılarak doğrusal denklem sitemleri daha kolay çözümlenebilir. Elemanter satır veya sütun işlemi kullanılmadığında denklemler kendi aralarında karşılıklı yok etme metodu ile bilinmeyen sayısı en aza indirilerek çözüm kümesi bulunurken, determinant özelliği yardımıyla matris çözümü daha rahat yapılır. Elemanter satır ve sütun işlemleri; 

1) İki denklemin yerlerini değiştirmek R1==>R2

2) Herhangi bir denklemi bir reel sayı ile çarpmak 2R1==>R1

3) Verilen denklemlerden birini bir reel sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek 3R1+R2==>R2

                                    

    şeklinde üç temel esasa dayanır. Bu işlemlerde satır üzerinden yapılırsa satır yerine R1,R2, R3..ile, sütun üzerinden yapılırsa da sütun yerine L1, L2, L3.. yazılarak çözüm yapılır. 

Kendiniz yaparken bu satır ve sütun ifadelerini yazmak zorunda değilsiniz sadece ne yapmanız gerektiğini bilmelisiniz. Ayrıca yaptığınız işlemlerin yukarıda yazılan üç maddelik elemanter satır/sütun işlemlerine uygun olmasına dikkat etmelisiniz.

Şimdi burada yazılanları örnekleyecek bir doğrusal denklem sistemi verip bunu matrisler yardımıyla ifade edelim ve örnek bir denklem sistemi çözümünü elemanter satır işlemleri ile yapalım.