Merkezi Yayılım Ölçüleri

Etiketler : gündelik hayatta matematik istatistik merkezi yayılım ölçüleri veri analizi

Merkezi Yayılım Ölçüleri: Bir veri grubundaki elemanların, merkezi eğilim ölçüsü etrafındaki yayılımını gösteren yani merkezi eğilim ölçüsüne yakın olup olmadığını belirten değerlerdir.

1)Açıklık (A): Bir veri grubundaki en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,17,17,18 veri grubunun açıklığını bulalım.

Veri grubundaki en büyük değer 18, en küçük değer 2 olduğundan veri grubunun açıklığı 18-2=16 olur.

2)Çeyrekler Açıklığı (ÇA): Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan) veri grubunu alt ve üst iki gruba ayırır. Alt ve üst grubun her birinin ortancasına sırasıyla alt çeyrek ve üst çeyrek denilir. Üst çeyrek ve alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,18,20 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Önce grubun medyanını bulalım. 2,4,6,7,10,14,16,18,20 Grubun medyanı 10’dur. Medyanın üst ve alt gruplarının medyan değerlerini bulalım. Alt grup için: 2,4,6,7 alt çeyrek (4+6)/2=5 Üst grup için: 14,16,18,20 üst çeyrek (16+18)/2=17 Alt çeyrek ve üst çeyreklerin farkını bulalım. 17-5=12 veri grubunun çeyrekler açıklığı 12 olur.

3)Standart Sapma (S): Bir veri grubunun aritmetik ortalamaya yakınlığını gösteren en hassas merkezi yayılım ölçüsüdür. Standart sapma varyansın kareköküdür. Varyans ölçüsü için veri birimlerinin karesi alınması gerekir ve varyansın birimi veri biriminin karesi olarak bulunur ki bu sonuç pratikte istenmeyen bir durumdur. Bu problemi gidermek için varyansın karekökü alınarak, standart sapma elde edilir ve böylece hesaplanan sonucun veri birimi olması sağlanır.

Standart sapma bulunurken öncelikle aritmetik ortalama hesaplanır. Her bir terimin aritmetik ortalamadan farkları bulunup kareleri alınır. Elde edilen bütün kareler toplanarak veri sayısının bir eksiğine bölünüp karekökü alınır.

Eğer birçok veri ortalamaya yakın ise, standart sapma değeri küçüktür; eğer birçok veri ortalamadan uzakta yayılmışlarsa standart sapma değeri büyük olur. Eğer bütün veri değerleri tıpatıp ayni ise standart sapma değeri sıfırdır.

Standart sapma ne kadar küçük olursa veriler birbirine çok benzer şekilde sıralanmıştır denir. Yani veri grubu homojendir.

Örnek: 2,4,6,7,11 veri grubunun standart sapma değerini bulalım.

Önce grubun aritmetik ortalaması: 2+4+6+7+11=30 30/5=6 olur. Her bir terimin aritmetik ortalamadan farklarını bulup karelerini alıp tüm sonuçları toplayalım.

(6-2)²+(6-4)²+(6-6)²+(6-7)²+(6-11)²=16+4+0+1+25=46

Elde edilen bütün kareler toplanarak bulunan sonuç veri sayısının bir eksiğine bölüp karekökünü alalım.

S=√(46/4)=√11,5≈3,39 bulunur. Grubun varyans değeri de 11,5 olur.

Ortalama mutlak sapma, bir dağılımdaki her bir verinin ortalamadan ne kadar saptığına odaklanır. Ortalama mutlak sapma hesaplanırken öncelikle aritmetik ortalama hesaplanır. Her bir terimin aritmetik ortalamadan farkları bulunur. Bu değerlere mutlak sapmalar denir. Bulunan bütün mutlak sapmalar toplanır. Elde edilen toplam sonucu veri sayısına bölünür.

Ortalama mutlak sapma, dağılımdaki verilerin nasıl yayıldığına ilişkin bilgi verse de dağılımın bütününü temsil etmekte yetersiz kalabilir. Ortalama mutlak sapma bir veri kümesindeki değerlerin ne kadar "yayılmış" olduğunu anlamamıza kısmen yardımcı olur.

Standart sapma aralığı, ortalama mutlak sapma aralığına göre daha fazla değeri kapsar ve ortalama sapma aralığından daha hassas ve güvenilir sonuç verir.

Örnek: 2,4,6,7,11 veri grubunun ortalama mutlak sapma değerini bulalım.

Önce grubun aritmetik ortalaması: 2+4+6+7+11=30 30/5=6 olur.

Her bir terimin aritmetik ortalamadan farklarını bulup mutlak sapma değerlerini hesaplayalım. Bütün mutlak sapma değerlerini toplayalım.

(6-2)+(6-4)+(6-6)+(7-6)+(11-6)=4+2+0+1+5=12

Ortalama mutlak sapma= 12/5=2,4 bulunur.

Merkezi yayılım ölçüsünün küçük olması, verilerin fazla dağınık olmadığını yani veri grubunun tutarlı ve istikrarlı olduğunu gösterir. İki veri grubu karşılaştırılırken açıklıkları aynı ise çeyrekler açıklığına, çeyrekler açıklığı aynı ise standart sapmalara bakılır.

İstatistiksel araştırma süreci ile ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)