Bir sayının sıfırıncı kuvveti

Üslü ifade, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını kısa ve pratik bir şekilde göstermeye yarayan matematiksel ifadedir. Üslü ifadelerde, çarpılan sayıya taban, bu sayının kaç kez çarpılacağını gösteren sayıya ise üs (kuvvet) denir. Örneğin 2⁴ ifadesinde 2 taban, 4 ise üstür. Bu ifade, 2’nin kendisiyle dört defa çarpılması anlamına gelir: 2×2×2×2=16 Böylece bu uzun yazım 2⁴=16 olur. 

 

Bir sayının 0. kuvveti ise 1 olur. Bir sayının 0. kuvvetinin neden 1 olduğunu anlamanın en güzel yolu, üslerin oluşturduğu örüntüye bakmaktır:

........

2⁵=32
2⁴=16
2³=8
2²=4
2¹=2

........

 

Bu şekilde geriye doğru devam edildiğinde her seferinde 2 ile bölerek devam ederiz. Buna göre en son 2¹=2 sonucunu 2 ile bölersek 2⁰=1 olarak elde ederiz. Daha genel olarak sıfır hariç herhangi bir sayı için a⁰=1 (a ≠ 0) olur. 0⁰ ise matematikte kullanım alanına göre değişir. 0⁰ limitte belirsizlik ifade eder. Dolayısıyla 0. kuvvet, sonradan eklenmiş bir kural veya uydurma bir bilgi değildir. Üslü ifadelerin geriye doğru devam ettirilmesinin bir sonucu olarak a⁰=1 (a ≠ 0) olur. Aynı örüntüyü bir adım daha ileri götürdüğümüzde negatif kuvvetler ortaya çıkar. Örneğin 2^-1=1/2, 2^-2=1/4, 2^-3=1/8 şeklindeki diziyi sürdürürsek, her adımda yine 2'ye bölmemiz gerekir. Böylece negatif kuvvetlerin değerini buluruz. Buradan a^-n=1/aⁿ şeklinde genel kural ortaya çıkar. Buradaki “negatif kuvvet” ifadesi, sayının negatif olduğu anlamına gelmez. Bir sayının üssünün negatif kuvvet olması (a^-n), ilgili sayının çarpma işlemine göre tersinin alınıp (1/a) daha sonra o sayının (n) pozitif kuvvetinin alınması anlamına gelir. Böylece üslü ifadelerde pozitif kuvvetler, negatif kuvvetler ve 0. kuvvet özellikleri, tanımlanmış olur. Bütün bu tanımlar aynı matematiksel örüntünün kesintisiz devamıdır.

0⁰ Neden İlginçtir?

0⁰ ise bir sayının sıfırıncı kuvveti açısından en ilginç noktalardan biridir. Çünkü bir yandan sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvvetinin 1 olduğunu biliyoruz: a⁰=1 (a ≠0) Bu kuralı a yerine 0 yazarak denersek a=0 için 0⁰=1 sonucuna ulaşmak isteriz. Fakat diğer taraftan sıfırın kuvvetlerini sırayla alırsak buradan da 0 sonucuna ulaşırız. 0⁵=0, 0⁴=0, 0³=0, 0²=0, 0¹=0 Bu örüntüde kuvveti 0'a doğru götürdüğümüzde 0⁰ için doğal olarak 0⁰=0 demek isteriz. Ama bu söz, önceki açıklama {a⁰=1 (a ≠ 0)} ile {0⁰=0} iki  farklı matematiksel sonuç olarak aynı noktada  (0⁰=1 veya 0⁰=0 şeklinde) çelişir. İşte bu nedenle 0⁰ ifadesi matematikte kullanım yerine göre değişir. Özellikle limitlerde belirsiz biçim olarak kabul edilirken kombinasyon hesaplarında 0⁰=1 olarak kabul edilir. Matematiksel olarak bu açıklamalara göre 0⁰ ifadesi, kullanım kolaylığı açısından genel anlamda belirsiz olarak kabul edilmiştir.

0⁰ ifadesi için kesinlikle 0 veya 1 dir demek doğru olmaz. Çünkü matematiğin farklı alanlarında bu ifade farklı amaçlarla ele alındığında hesaplamalar daha kolay olabilir. Örneğin kombinasyon hesabında ve bazı cebirsel yapılarda (0⁰=1) kabul edilmesi, birçok formülün tutarlı ve sade biçimde çalışmasını sağlar. Kombinasyon konusunda 0⁰ ifadesiyle karşılaşıldığında, (0⁰=1) kabul edilmesinin nedeni; boş bir kümeden seçim yapma durumunun sadece tek yolu olduğunu göstermektir. Örneğin 0 elemanlı bir kümeden 0 eleman seçmek C(0,0) anlamına gelir ve bunun yalnızca "hiç eleman seçmemek" şeklinde ifade edebilmek için "bir yol vardır" denir. Kombinasyon formülünde C(n,r) = n!/[(n-r)!.r!] ifadesinde n ve r  yerine 0 yazılıp işlem yapıldığında C(0,0)=1 olur. Kombinasyonların üreteç fonksiyonlarında veya benzer formüllerde 0⁰ ifadesi ortaya çıktığında işlemlerin tutarlı olması için bu nedenle 0⁰=1 kabulü kullanılır. Yani burada 0⁰=1 olması, günlük matematikteki genel bir üs kuralından olmayıp kombinasyon ve benzeri alanlarda yapılan özel bir tanımdan kaynaklanır. Kombinasyonda seçim yaparken karşılaşılan faktöriyeldeki 0!=1 değeri, yokluktan 1'e ulaşılması anlamına gelmez. Tamamen faktöriyelin tanımından kaynaklanan bir durumun sonucu olarak 0!=1 olur. 

0/0 neden belirsiz?

“0/0” ifadesi belirsizdir. Bunu özellikle bir soyut ve analitik bakış açısıyla şöyle açıklayabiliriz: Bir cebirsel yapı içerisinde bölme işlemi, paydanın sıfır olmadığı durumlarda tanımlıdır; dolayısıyla herhangi sıfırdan farklı bir reel ya da kompleks sayı için (a/0) ifadesi tanımsızdır. Ancak (0/0) özel bir konuma sahiptir; çünkü bu ifadenin tek bir değeri zorunlu kılan hiçbir cebirsel sayı değeri yoktur. Daha açık bir ifadeyle: Eğer (0/0 = L) gibi bir değere eşit olduğunu varsayarsak, bu durum mecburi olarak içler dışlar çarpımından  (0 = 0*L) eşitliğini gerektirir. 0*L= 0 eşitliği, her L Reel sayısı için sağlanır. Örneğin L yerine 0*4=0,  0*(-7)=0, 0*98=0, 0*√2=0, 0*0=0, 0*(-2/3)=0....vs gibi çeşitli L değerleri için doğru olur. Dolayısıyla bu 0*L=0 veya L*0=0 eşitliğinde L herhangi bir reel sayı olabileceğinden benzersiz bir L değeri atamak imkansız hale gelir. Bu nedenle 0/0 analizde ve özellikle limit kuramında, bir fonksiyonun değersel olarak değil, davranışsal olarak incelenmesi gereken durumları temsil eden bir belirsizlik durumunu gösterir.

Limit hesaplamalarında karşılaşılan (0/0) biçimleri, fonksiyonun çevresel değerlerinden hareketle çözülür; aksi hâlde bu ifade salt aritmetik düzlemde anlamsız kalır. Kısacası 0/0 sonucu hesaplanabilecek belirli bir sayı değildir; bölme gereği tanımlanamaz olduğu için ve hangi değerlere eşit olacağı tam olarak bilinemeyeceğinden 0/0 belirsizdir. Bu belirsizlik, cebirsel tanımlardan ziyade, analitik yöntemlerle ele alınması gereken yapısal bir özellik olarak ortaya çıkar.

0/0 bölme işlemi tanımından da 0/0 belirsizliğini açıklayabiliriz. Bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 5/5 gibi sonuç 1 çıkar. 0 da bir sayıdır dolayısıyla 0/0 bölme işleminin de sonucunun 1 çıkması beklenir. Örnek olarak 0'a çok yakın sayılar seçerek bölme işlemlerini yapalım. 0.1/0.1 = 1, 0.001/0.001 = 1 ve 0.000001/0.000001 = 1. Bu örnekler bize “o hâlde 0/0 da 1 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Diyelim ki 0/0 işleminin sonucu 1 olsun. Bu 0/0 işleminin sonucunun böyle olmadığını irdeleyelim. 0 sayısını 0 dan farklı herhangi bir sayıya bölersek sonuç 0 çıkar. Örneğin 0/7 işleminin sonucu 0'dır. Pay 0 iken payda sıfıra çok yakın ama sıfır olmayan sayılar aldığımızda, sonuç yine 0 çıkar; örneğin 0/0.1 = 0, 0/0.001 = 0 ve 0/0.000001 = 0. Bu da bölmeyi paydayı gittikçe 0'a çok yakın sayılar seçtiğimizde  ifade 0/0 = 0 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Ancak önceki durumdan 0/0 sonucu 1 çıkarken şimdi burada 0/0 işleminin sonucu 0 çıkmış olur ki iki farklı yaklaşım iki farklı sonuç verdiği için bu durum bir çelişki oluşturur: Bir yandan sonuç 1 gibi görünürken diğer yandan 0 gibi görünmektedir. Bu bir çelişki olur. İşte bu nedenle 0/0’ın tek bir kesin sonucu yoktur ve bu ifade matematikte belirsiz olarak kabul edilir.

Analiz ve kalkülüs perspektifinden bakıldığında 0/0 ifadesi, yalnızca aritmetik düzeyde tanımsız bir oran olmaktan çıkarak, limit süreçlerinde belirleyici bir yapısal belirsizlik hâline gelir. Kalkülüsün temel kavramlarıyla ilişkilendirdiğimizde bu durum daha net anlaşılır. Limit hesabında herhangi bir sayıya yaklaşırken f(x)/g(x) değeri 0/0 çıktığında, (aynı sayıya yaklaşırken limit alınınca bile) farklı limit değerleri ortaya çıkacağı için fonksiyonlar farklı olduğunda 0/0 belirsiz olarak ifade edilir. Aşağıda iki farklı 0/0 belirsizliği limit örneği verilmiştir:

lim (x²-4)/(x-2) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 4 çıkar. lim (x-2)/(2x-4) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 1/2 çıkar. Aynı sayıya yaklaşırken 0/0 ifadesi en basitinden iki farklı sonuç çıkmıştır. Bu nedenle 0/0 ifadesi limitte bir belirsizlik olarak alınır.

(Bkz. Limitte 0/0 Belirsizliği)

Peki bölme işleminde 0 ile bölmek neden tanımsızdır? Yani A/0 neden tanımsızdır? Bölme işleminin matematikteki tanımı çarpma işleminin tersi üzerine kuruludur. Bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde aslında şu ilişkiyi kurarız. "a sayısı b sayısına bölündüğünde c elde ediliyorsa, bu ancak a=b*c eşitliğinin doğru olması halinde mümkündür." Bu tanımın geçerli olabilmesi için bölenin, yani paydanın sıfırdan farkl olması gerekir. Çünkü bölen olarak sıfır alındığında bu tanım çöker. Bir sayının sıfır ile çarpım her zaman sıfırdır dolayısıyla a = 0. c eşitliği ancak a'nin da sıfır olması durumunda sağlanabilir. a sıfır değilse denklem çözümsüz kalır, a sıfırsa da denklem tüm c değerleri için sağlanır, c yerine 0=5*0, 0=7*0, 0=13*0, 0=-4*0 gibi ne yazılırsa yazılsın sonuç doğru olur ve tek bir sonuç elde etmek mümkün olmaz. Bu durumda bölme işlemi, işlemlerin temel özelliği olan "her girdi için tek bir çıktı üretme' ilkesini kaybeder. Bu nedenle bölme işleminde hiçbir zaman payda 0 olamaz. Yani A/0 tanımsızdır.

Cebirsel olarak da A/0 bölme işlemi tanımsızlık sunar. a = b = 1 olsun. Önce 1=1 yani a = b eşitliği yazılsın. Sonra eşitliğin her iki tarafını a (1) ile çarpalım. a² = ab, ardından her iki taraftan da b² ifadesini çıkaralım. Buradan bir özdeşlik elde etmeye çalışalım. a² – b² = ab – b² iki kare farkı özdeşliği elde edilir. Bu da (a + b)(a – b) = b(a – b) şeklinde çarpanlara ayrılır. Buraya kadar her şey doğru olmuştur. Şimdi hatayı yapalım. Eşitliğin her iki tarafını (a – b)’ye yani (1-1=0) ile bölelim. a = b olduğundan a – b = 0’dır. Yani yapılan işlem 0’a bölmedir ve matematikte tanımsızdır. Buna rağmen bölünürse (a + b)(a – b)/(a-b) = b(a – b) /(a-b)  işleminin sonucu a + b = b bulunur ki bu durumda yani 1 + 1 = 1 çıkar ve buradan 2 = 1 gibi saçma bir sonuç elde edilir. Bu sonucun nedeni tamamen 0’a bölme hatasıdır; işlem geçersizdir. Bu işlem hatası bize 0 ile bölmenin tanımsız olacağını gösterir. 

Sıfır Sayısı "Yoktan Yonga Kopmaz"

Sıfır (0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. 

MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor:

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir".

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir." "-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır." Böyle tanımlanan 0 ile bölme işlemi daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilmiştir.

Limitte 0/0 belirsizlik olarak tanımlanmakta ve bununla ilgili limit işlemleri ve türev işlemleri anlam kazanabilmektedir. (Bkz. Limitte 0/0 belirsizliği)  Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok. 0/5=0 diyebiliriz. Sıfır bölü sıfır (0/0) ise sıfır değil; o da matematikte belirsiz olarak tanımlanıyor. Herhangi bir sayının sıfıra bölümü (örn:5/0) ise paydada sıfır olamayacağı için tanımsız olarak belirlenmiştir. 

 

El-Harezmi tarafından Brahmagupta'nın eseri, Arapça'ya tercüme edilmiş bu sayede günümüz matematik dünyasına sıfır sayısı kazandırılmıştır. Bu nedenle günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sayı sistemini Avrupa'ya tanıtmıştır.

 

Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman olduğunu söyleriz. Oysa duruma şöyle bakalım:

3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+...+0 (m tane 0'ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. (m burada sonlu herhangi bir sayı olmak üzere aşağıdaki işlemleri yazabiliriz:)

0=m*0

0=m*0+(m-m)

0=m*0+((m*1)-m)

0=m*(0+1)-m

0=(m*1)-m

0=m-m=0

Sıfırın şifresi: "Yoktan yonga kopmaz."

Kaynak: http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/sayilar.htm