Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar, (arcsin, arccos, arctan arccot) trigonometride değeri bilinen bir fonksiyon için o değeri veren açıyı bulmak için kullanılır. Yani “bir trigonometrik oranı verildiğinde, o orana sahip fonksiyon adını ve açıyı bulmak” için ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Ters trigonometrik fonksiyonlar sadece soyut matematikte değil, mühendislikten fiziğe kadar birçok alanda kullanılır. Eğim açısı, fırlatma açısı, yansıma açısı gibi durumlarda kullanılır. Örneğin bir topu fırlatıldığında, topun hızı ve yer değiştirmesi biliniyorsa, atış açısını bulmak için arctan kullanılır. Örneğin Trigonometride cos değeri 1/2 olan açı için arccos(1/2) yazılır ve buradan 60⁰ açısı elde edilir.  GPS sistemlerinde iki nokta arasındaki açısal yön hesaplanırken ve nesnelerin yönünü, kameraların bakış açısını veya robot kollarının dönme açısını hesaplamak gibi sebeplerle ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. 

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyon olduğundan belirli aralıklarda tanımlanarak ters fonksiyonları bulunur. 

(Bkz. Periyodik Fonksiyonlar)

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu Grafiği

Tanjant fonksiyonunun grafiği, sinx/cosx şeklinde tanımlandığı için paydayı sıfır yapan açı değerlerinde tanımsız olacağından buralarda dikey asimptotlara sahip periyodik bir eğridir. Grafik çizilirken belli özel açı değerleri alınır ve bunların y eksenindeki karşılıkları bulunur. x=0 noktasında y=0 değerinden başlar ve x arttıkça y değerleri yükselir. x=π/2 noktasında tanjant tanımsız olduğu için dikey bir asimptot oluşur; yani grafik bu noktada sonsuza doğru gider ve bu noktadan sonra aşağıdan yukarıya tekrar devam eder. x =π noktasında y=0 değerine tekrar ulaşır ve x =3π/2 noktasında tanjant yeniden tanımsız olacağından tekrar dikey asimptot oluşur. Bu şekilde, her π birimlik aralıkta aynı desen tekrar eder, yani tanjant fonksiyonu π periyoduna sahip bir fonksiyondur. 

Trigonometrik Değerler Tablosu

Dar açıların trigonometrik değerleri hesap makinesi yardımıyla bulunabileceği gibi trigonometrik değerler cetvelinden de bulunabilir. Bunun için cetvelde öncelikle açı değeri bulunu ve sin, cos, tan ve cot sütunu le kesiştirilerek ifadenin karşılığı bulunmuş olur. Hesap makineleri ile trigonometrik fonksiyonların kolayca bulunabilir. Excel tablosundan da trigonometrik değerleri, açıyı radyan cinsinden girecek şekilde komut yazarak [Mesela B2 hücresindeki bir sayısal değerin sinüsünü bulmak için excel'de =SİN(RADYAN(B2)) şeklinde bir komut kullanarak değeri hesaplayabilirsiniz.

Tanjant ve Kotanjant değişim cetveli için tıklayınız. 

Trigonometri Cetveli ve Tanjant Değişim Tablosu

Trigonometrik değerler tablosu, 0 ila 360 derece arasında belirli bir açı için trigonometrik fonksiyonların hesaplanmış değerlerini içerir. Geniş açıların trigonometrik değerleri dar açıya dönüştürülerek hesaplanır. Genellikle 0 ile 90 dereceden oluşan açıların yer aldığı trigonometri tabloları kullanımda yaygınlık kazanmıştır.

Teknik resim çizimlerinde de sıklıkla trigonometri cetvellerinden yararlanılır. Tanjant ve kotanjant değişimleri için de trigonometri cetvelleri kullanılır. Örneğin torna hesap işlemlerinde tanjant cetvelleri kullanılır. Tanjant cetvelleri, geçmişte trigonometrik hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanılan trigonometrik değer tablolarıdır. Bu cetvellerde, belirli açılara karşılık gelen tanjant (tan) değerleri yazılıdır. Tanjant, dik üçgenlerde bir açının karşısındaki dik kenarın, komşu dik kenara oranıdır. Yani bir açının tanjantını bulmak demek, eğim hesaplamak demektir. Eskiden hesap makineleri veya bilgisayarlar yaygın olmadığı için, bu tür trigonometrik hesaplamalar elle yapılırdı. Bu nedenle tanjant cetvelleri, mühendisler, haritacılar, mimarlar ve matematikçiler için çok önemliydi. Örneğin bir üçgende bir açının tanjantını bilerek diğer kenar uzunluklarını hesaplamak mümkündür. Tanjant cetveli sayesinde açının tanjant değeri kolayca bulunur, sonra bu değer kullanılarak problem istenen uzunlukta parça kesimleri yapılabilir.

Tanjant cetvelleri genellikle derece (°) cinsinden açılar için hazırlanır. Örneğin 30°, 45°, 60° gibi açılar için tanjant değerleri cetvelde yer alır. Derecenin alt birimleri olan dakika cinsinden de tanjant cetvelleri oluşturulabilir. Bu sayede daha hassas ölçümler yapılabilir. Tanjant cetveli kullanıcısı, açıyı cetvelden bulup karşısındaki değeri alarak hesaplama işlemine devam eder ve böylece istediği açı sonucunu bulabilir. Kısacası, tanjant cetvelleri trigonometrik işlemleri kolaylaştırmak için kullanılan açılar ve onların tanjant değerlerini gösteren tablolardır. Günümüzde artık pek kullanılmasalar da geçmişte matematiksel hesaplamalarda önemli bir yere sahip olmuştur.

Örneğin torna veya benzeri işlemlerde, konik bir parçanın yüzey eğim açısını bulmak için tanjant cetveli kullanılır. Büyük çap ile küçük çap arasındaki fark, uzunlukla orantılanır ve buradan tanjant değeri bulunur. Böylece cetvel yardımıyla gereken eğim açısı hesaplanmış olur. Bu işlem için genel bir formül vardır: 

Büyük Çap (R) Küçük Çap:(r) Konik Boyu (L) olmak üzere ß açısının tanjant değeri: tanjantß=(R-r)/2*L formülü ile bulunur. Bu formülden yararlanarak şöyle bir hesaplama yapılabilir: Büyük çap 60mm, küçük çap 35 mm ve konik boyu 20 mm için hesaplama: tanjantß=(60-35)/2*20 buradan tanjantß=0,625 olur ki aşağıdaki tanjant değişim tablosundan da görüleceği gibi ß açısı yaklaşık 32 derece olur.

TANJANT DEĞİŞİM CETVELİ (PDF)

DERECE	TANJANT dakikaları  0° ... 45°
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'
0	0.0000	0.0029	0.0058	0.0087	0.0116	0.0145	0.0175	89
1	0.0175	0.0204	0.0233	0.0262	0.0291	0.0320	0.0349	88
2	0.0349	0.0378	0.0407	0.0437	0.0466	0.0495	0.0524	87
3	0.0524	0.0553	0.0582	0.0612	0.0641	0.0670	0.0699	86
4	0.0699	0.0729	0.0758	0.0787	0.0816	0.0846	0.0875	85
5	0.0875	0.0904	0.0934	0.0963	0.0992	0.1022	0.1051	84
6	0.1051	0.1080	0.1110	0.1139	0.1169	0.1198	0.1228	83
7	0.1228	0.1257	0.1287	0.1317	0.1346	0.1376	0.1405	82
8	0.1405	0.1435	0.1465	0.1495	0.1524	0.1554	0.1584	81
9	0.1584	0.1614	0.1644	0.1673	0.1703	0.1733	0.1763	80
10	0.1763	0.1793	0.1823	0.1853	0.1883	0.1914	0.1944	79
11	0.1944	0.1974	0.2004	0.2035	0.2065	0.2095	0.2126	78
12	0.2126	0.2156	0.2186	0.2217	0.2247	0.2278	0.2309	77
13	0.2309	0.2339	0.2370	0.2401	0.2432	0.2462	0.2493	76
14	0.2493	0.2524	0.2555	0.2586	0.2617	0.2648	0.2679	75
15	0.2679	0.2711	0.2742	0.2773	0.2805	0.2836	0.2867	74
16	0.2867	0.2899	0.2931	0.2962	0.2994	0.3026	0.3057	73
17	0.3057	0.3089	0.3121	0.3153	0.3185	0.3217	0.3249	72
18	0.3249	0.3281	0.3314	0.3346	0.3378	0.3411	0.3443	71
19	0.3443	0.3476	0.3508	0.3541	0.3574	0.3607	0.3640	70
20	0.3640	0.3673	0.3706	0.3739	0.3772	0.3805	0.3839	69
21	0.3839	0.3872	0.3906	0.3939	0.3973	0.4006	0.4040	68
22	0.4040	0.4074	0.4108	0.4142	0.4176	0.4210	0.4245	67
23	0.4245	0.4279	0.4314	0.4348	0.4383	0.4417	0.4452	66
24	0.4452	0.4487	0.4522	0.4557	0.4592	0.4628	0.4663	65
25	0.4663	0.4699	0.4734	0.4770	0.4806	0.4841	0.4877	64
26	0.4877	0.4913	0.4950	0.4986	0.5022	0.5059	0.5095	63
27	0.5095	0.5132	0.5169	0.5206	0.5243	0.5280	0.5317	62
28	0.5317	0.5354	0.5392	0.5430	0.5467	0.5505	0.5543	61
29	0.5543	0.5581	0.5619	0.5658	0.5696	0.5735	0.5774	60
30	0.5774	0.5812	0.5851	0.5890	0.5930	0.5969	0.6009	59
31	0.6009	0.6048	0.6088	0.6128	0.6168	0.6208	0.6249	58
32	0.6249	0.6289	0.6330	0.6371	0.6412	0.6453	0.6794	57
33	0.6494	0.6536	0.6577	0.6619	0.6661	0.6703	0.9745	56
34	0.6745	0.6787	0.6830	0.6873	0.6916	0.6959	0.7002	55
35	0.7002	0.7046	0.7089	0.7133	0.7177	0.7221	0.7265	54
36	0.7265	0.7310	0.7355	0.7400	0.7445	0.7490	0.7536	53
37	0.7536	0.7581	0.7627	0.7673	0.7720	0.7766	0.7813	52
38	0.7813	0.7860	0.7907	0.7954	0.8002	0.8050	0.8098	51
39	0.8098	0.8146	0.8195	0.8243	0.8292	0.8342	0.8391	50
40	0.8391	0.8441	0.8491	0.8541	0.8591	0.8642	0.8693	49
41	0.8693	0.8744	0.8796	0.8847	0.8899	0.8952	0.9004	48
42	0.9004	0.9057	0.9110	0.9163	0.9217	0.9271	0.9325	47
43	0.9325	0.9380	0.9435	0.9490	0.9545	0.9601	0.9657	46
44	0.9657	0.9713	0.9770	0.9827	0.9884	0.9942	1.0000	45
	60'	50'	40'	30'	20'	10'	0'	DERECE
KOTANJANT dakikaları  45° ... 90°