Polinom, matematikte içinde değişken bulunan (genellikle x), bu değişkenin doğal sayı üsleri ve sayısal katsayılar bulunan cebirsel ifadelere denir. Yani matematiksel olarak; n ∈ ℕ ve a0, a1, a2 …, an ∈ ℝ olmak üzere: P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0x0 ifadesine reel katsayılı polinom denir. Polinomlar özel bir fonksiyondur. Bir ifadenin polinom olabilmesi için çok net iki kuralı vardır: 1) Değişkenin üssü kesinlikle doğal sayı olmalıdır. Değişkenin kuvveti negatif olamaz, kesirli bir ifade olamaz, irrasyonel bir sayılı kuvvet olamaz. 2) Tüm değişkenlerin katsayıları Reel Sayı olmalıdır. Karmaşık sayı olamaz.
Örneğin P(x) = 3x² + 5x − 7 ifadesi bir polinomdur, P(x) = x + 1 bir polinomdur, Q(x)=4 sayısı da polinomdur. Buna karşılık K(x) = 1/x + 2 polinom değildir çünkü değişken paydadadır, değişkenin kuvveti (-1)dir. T(x) = x⁻² + 3 polinom değildir çünkü değişkenin üssü negatiftir. S(x) = √x + 1 polinom değildir çünkü değişkenin kuvveti kesirlidir.
Polinomlar terimlerden oluşur. Toplama ya da çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. Örneğin P(x) = 2x3 − 5x + 4 ifadesinde 2x3, −5x ve 4 ifadelerinin herbiri birer terimdir. Bir polinomda değişkenin önündeki sayıya katsayı denir. En büyük dereceli terimin katsayısına da "başkatsayı" denir.. Örneğin P(x) = −3x2 ifadesinde katsayı −3’tür. Q(x) = −3x2 + 4x +7 ifadesinde başkatsayı −3 olup, diğer katsayılar 4 ve 7 dir. Değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin 0 olduğu x0 terimine sabit terim denir. Örneğin P(x) = 5x2 + 3x − 7 polinomunda sabit terim −7’dir. Bir polinomun derecesi ise terimlerdeki en büyük üssün değeridir. Örneğin P(x) = 4x5 + x2 − 1 polinomunun derecesi 5’tir, R(x) = 7x − 3 polinomunun derecesi 1’dir, Q(x) =9 polinomunun derecesi 0’dır.
Polinom–fonksiyon ilişkisi şu şekilde açıklanabilir: Bir polinom, değişkenler ve bu değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden oluşan cebirsel bir ifade iken bir fonksiyon ise, ifadedir. Bir polinom, bu kuralı sağladığı için aynı zamanda özel bir fonksiyon olarak da düşünülebilir. Yani her polinom, uygun bir tanım kümesi üzerinde tanımlandığında bir fonksiyon oluşturur. Örneğin p(x) = 2x2 - 3x + 1 ifadesi bir polinomdur. Bu durumda polinom, fonksiyonun kuralını; x ise fonksiyonun bağımsız değişkenini temsil eder. Fonksiyonun çıktısı olan f(x) değeri, x yerine yazılan sayıya bağlı olarak değişir.
Polinomların tanım kümesi gerçek sayılardır; çünkü polinomlarda kök, payda ya da mutlak değer gibi kısıtlayıcı ifadeler yoktur. Bu nedenle her gerçek sayı için polinom fonksiyonunun bir değeri vardır. Buna karşılık g(x)=1/x veya h(x)=√(x−2) gibi ifadeler tanım kümesi paydasına ve kök içine göre kısıtlandığında fonksiyon olurken polinom değildir; çünkü bu tür fonksiyonlarda tanım kümesi; g(x) için x≠0 şeklinde h(x) için de x≥2 şeklinde kısıtlanır. Bu karşılaştırma, polinom fonksiyonlarının neden tüm gerçek sayılarda tanımlı ve grafiklerinin neden kesintisiz olduğunu açıkça gösterir. Buna göre polinom fonksiyonları süreklidir ve grafikleri kesintisiz eğriler şeklinde olur. Polinomlarda x değerleri sürekli değişirken değerler de kopukluk veya ani sıçramalar olmaz. Bu yüzden polinom fonksiyonlarının grafikleri parçalılık, boşluk, kopukluk ya da delik içermez. Fonksiyonlarda ise kesikli şekiller, boşluklar veya parçalı grafikler de görülebilir. Sonuç olarak, Her polinom, bir fonksiyon tanımlar; ancak her fonksiyon polinom değildir.
