Noktanın y=x doğrusuna göre simetrisi

Koordinat düzleminde birinci açıortay y = x doğrusu, ikinci açıortay ise y = −x doğrusu olarak adlandırılır. Bir noktanın y = x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın x ve y koordinatlarını yer değiştirerek bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın koordinatlarının işaretlerini değiştirip yer değiştirerek bulunur.

Birinci açıortay (y = x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(b, a)
İkinci açıortay (y = −x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(−b, −a) olur. 

 

Örneğin; A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur. 

 

Noktanın y=x ve y=-x doğrularına göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:  

A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur.

 

B(−3,4) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi B'(4,−3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi B''(−4,3) olur. 

 

C(−2,−6) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi C'(−6,−2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi C''(6,2) olur.

 

D(3,−5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi D'(−5,3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi D''(5,−3) olur.

 

E(4,0) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi E'(0,4), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi E''(0,−4) olur.

 

F(0,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi F'(5,0), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi F''(−5,0) olur. 

 

Örnek: A(1, 5) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, y = −x doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, [BC] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 

 

Çözüm: A noktası: A(1, 5) olarak verilmiştir. A noktasının y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y yer değiştirir. Bu nedenle B noktası: B(5, 1) bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusuna göre simetrisi alınırken (x, y) noktası (−y, −x) olduğundan A noktasının y = −x doğrusuna göre simetrisi C noktası: C(−5, −1) olur. Daha sonra B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları bulunur: x koordinatı: (5 + (−5)) / 2 = 0 ve y koordinatı: (1 + (−1)) / 2 = 0 olur. B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları (0, 0) olduğundan orta noktanın koordinatları toplamı: 0 + 0 = 0 elde edilir.

Noktanın eksenlere göre simetrisi

Bir noktanın eksenlere göre simetrisi şu şekilde tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası verilsin. Bu noktanın x eksenine göre simetriği, x koordinatı aynı kalıp y koordinatının işaretinin değişmesiyle elde edilir. Buna göre simetriği A′(x, −y) olur. A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği ise y koordinatı aynı kalıp x koordinatının işaretinin değişmesiyle bulunur. Bu durumda simetriği A′(−x, y) olur. Özel bir durum olarak, A(x, y) noktasının orijine göre simetriği hem x hem de y koordinatlarının işaretinin değişmesiyle elde edilir ve A′(−x, −y) olur.  

Kısaca:x eksenine göre simetride; apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. y eksenine göre simetride; ordinat aynı kalır, x’in işareti değişir. Orijine göre simetride ise hem apsis hem ordinatın işareti değişir. Yani simetri alınan eksene göre, o eksene dik olan koordinatın işareti değişir. Örneğin; A’nın X eksenine göre simetrisi (-2,-8), Y eksenine göre simetrisi (2,8), Orijine göre simetrisi (2,-8) olur.

---

Noktanın eksenlere göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir: 
B(3,5) noktasının X eksenine göre simetrisi (3,-5), Y eksenine göre simetrisi (-3,5), Orijine göre simetrisi (-3,-5) olur.
C(-4,7) noktasının X eksenine göre simetrisi (-4,-7), Y eksenine göre simetrisi (4,7), Orijine göre simetrisi (4,-7) olur.
D(-6,-2) noktasının X eksenine göre simetrisi (-6,2), Y eksenine göre simetrisi (6,-2), Orijine göre simetrisi (6,2) olur.
E(5,-3) noktasının X eksenine göre simetrisi (5,3), Y eksenine göre simetrisi (-5,-3), Orijine göre simetrisi (-5,3) olur.
F(2,0) noktasının X eksenine göre simetrisi (2,0), Y eksenine göre simetrisi (-2,0), Orijine göre simetrisi (-2,0) olur.
G(0,6) noktasının X eksenine göre simetrisi (0,-6), Y eksenine göre simetrisi (0,6), Orijine göre simetrisi (0,-6) olur. 

 

Örnek: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B, Y eksenine göre simetrisi C noktaları ise BC uzunluğu kaçtır?

Çözüm: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B noktasıdır. X eksenine göre simetride x koordinatı değişmez, y koordinatının işareti değişir. Böylece B(3, -4) olur. A(3,4) noktasının Y eksenine göre simetrisi C noktasıdır. Y eksenine göre simetride y koordinatı değişmez, x koordinatının işareti değişir. Böylece C(-3, 4) olur.  Şimdi B(3,-4) ve C(-3,4) noktaları arasındaki uzaklığı, uzaklık formülü ile hesaplarsak: Uzaklık =√[(-6)² + 8²)]=√[(36 + 64)] =√100 =10 Böylece B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 br olur. 

Noktanın noktaya göre simetrisi

Bir noktanın bir noktaya göre simetrisi matematiksel olarak şöyle tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) olsun. A noktasının O noktasına göre simetriği A′(x′, y′) noktasıdır. Bu simetri tanımlamasını günlük dilde ifade edersek; bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, o noktanın simetri alınan noktanın tam karşı tarafına eşit uzaklıkta olarak geçmesi demektir.   

A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) verildiğinde O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktasıdır. Bu nedenle A ve A′ noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması, O noktasının koordinatlarına eşittir.  Buna göre orta nokta tanımından, A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması a’ya, ordinat koordinatlarının ortalaması ise b’ye eşittir. Buradan A′ noktasının koordinatları ortalama tanımından hesaplanır ve sonuç olarak; A(x, y) noktasının O(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a − x, 2b − y) olur. 

Örneğin A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′ noktası olsun. O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktası olduğuna göre A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması 1’e, ordinat koordinatlarının ortalaması 4’e eşit olmalıdır. Bu durumda A′ noktasının apsis değeri 2·1 − 3 = −1, ordinatı ise 2·4 − (−2) = 10 olur. Böylece A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′(−1, 10) noktası olur.

---

Noktanın noktaya göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:
A(2,5) noktasının B(4,3) noktasına göre simetrisi A'(6,1) olur.
C(-3,7) noktasının D(-1,2) noktasına göre simetrisi C'(-5,-3) olur.
E(-4,-6) noktasının F(-2,-2) noktasına göre simetrisi E'(-6,-10) olur.
G(3,-5) noktasının H(1,-1) noktasına göre simetrisi G'(5,-9) olur.
T(2,0) noktasının J(5,0) noktasına göre simetrisi T'(-1,0) olur.
K(0,4) noktasının L(0,1) noktasına göre simetrisi K'(0,7) olur.

 

Örnek: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetriği B, B noktasının (7, 2) noktasına göre simetriği C ise bu C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetrisi B noktasıdır. Orijine göre simetri için, noktanın x ve y koordinatlarının işaretleri değişir. Böylece B noktası (2, −1) olur. Şimdi B(2, −1) noktasının (7, 2) noktasına göre simetrisini, yani C noktasını bulmamız gerekiyor. Bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, simetri noktası ile verilen nokta arasında doğru üzerinde olur ve bu doğru üzerindeki noktaların aralarında eşit uzaklık vardır. B ve C noktalarının ortası, verilen 7, 2 noktasıdır. Buna göre orta nokta formülünü kullanırsak: Orta nokta = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) Burada orta nokta (7, 2), B noktası (2, −1), C noktası (a, b) olarak alınırsa;  apsisler için orta nokta hesabı (2 + a)/2 = 7 ve ordinatlar için orta nokta hesabı  (−1 + b)/2 = 2 olur.  Bu iki denklemden a ve b değerlerini bulalım: (2 + a)/2 = 7 → 2 + a = 14 → a = 12 ve diğer denklem yardımıyla  (−1 + b)/2 = 2 → −1 + b = 4 → b = 5 bulunur.  Böylece C noktası (12, 5) olur. C noktasının koordinatları toplamı ise 12 + 5 = 17 olur.

Düzlemde Dönüşüm Fonksiyonu ve Öteleme

Düzlemin noktalarını yine düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyona düzlemin bir dönüşümü adı verilir. Analitik düzlemde verilen herhangi bir nokta düzlemde bir dönüşüm fonksiyonu altında aynı ya da farklı başka bir noktaya eşlenebilir.

Dönüşümler öteleme, yansıma ve dönme başlıkları altında incelenebilir. Bu dönüşümlerin ayrıntılarına geçmeden önce dönüşüm fonksiyonuna biraz örnek vermek yerinde olacaktır.

Behlül Dânâ Hikayeleri

Halid Ziya Uşaklıgil’in rezil romanı ile adını son zamanlarda duyduğumuz "Behlül" ismi, esasında Abbas halifesi Harun Reşid zamanında yaşamış büyük bir veliyi hatırlatır. "Behlül" ismini olumsuzlukla tanıtıp hatırlatanlara karşı, inadına asıl Behlül'ü tanıtalım. Peki kimdir Behlül Dânâ? 

Behlül Dânâ’nın asıl adı Ebû Vüheyb bin Ömer Sayrafî’dir. Doğum târihi kesin olarak bilinmez. Kûfeli olduğu halde Bağdâd’da yaşamış ve Bağdat'ta vefât etmiştir. Vefatı kesin olmamakla birlikte 806 yılı civarındadır. Behlül Dânâ, halk arasında “Behlûl-i Dîvâne” ve “Sultânü’l-meczûbîn” olarak da anılmış olup Abbâsî Halifesi Hârun Reşid (788-809) ile yakın ilişkisi sayesinde “Behlül er-Reşid” olarak tanınan ünlü bir zattır.  Hakkındaki bilgiler çoğunlukla ona atfedilen büyük ölçüde menkıbe ve fıkralardan oluşur. “Behlül” kelimesi Farsçada meczup, deli, çok gülen gibi anlamlara gelirken; “Dânâ” ise “çok bilen”, “bilgin” demektir. Bu bağlamda “Behlül Dânâ”, “bilgin meczup” veya “akıllı deli” anlamını taşır; yani hem güldüren hem de öğüt veren bilgin anlamına gelir. Behlül, ilâhî cezbeye tutulduktan sonra kendinden geçmiş ve nefsini tamamen silmiş, bundan sonra halk arasında onlara uymayan garip davranışlar sergilemiştir. Mezarlarda ve harabelerde dolaşmayı, yalnızlığı ve çocuklarla şakalaşmayı seven Behlül’ün sözleri, nükteli ve iğneleyici olsa da genellikle hikmet dolu ve uyarıcı olmuştur. Bazı menkıbelerde Hârun Reşid’in kardeşi, yeğeni veya nedimi olarak da gösterilmiştir. Behlül Dânâ, Halifeye hatalarını çekinmeden söylemiş, onu uyarmak için bulduğu fırsatları değerlendirmiştir.

Tasavvufî eserlerde Behlül, Allah âşığı bir sûfî ve meczup olarak tanıtılmış; Muhyiddin İbnü’l-Arabî, Şa‘rânî, İbnü’l-Cevzî ve Attâr gibi pek çok klasik yazar onun Hak âşığı olduğunu vurgulamıştır. Behlül’ün hikâye ve fıkraları Arap, İran ve Türk halk edebiyatında geniş yer tutmuştur. Şia kaynakları, Behlûl Dana'yı İmam Cafer es-Sâdık’ın talebesi olarak gösterse de, bu iddialarına ilmî delil yoktur. Behlül Dânâ'ya atfedilen ve gerçekliği konusunda sadece rivayet bilgileri bulunan bazı nükteli hikayeler aşağıda verilmiştir. 

Vicdanın Sesi

Bir gün Behlül Dânâ, halife Harun Reşit’in huzuruna çıkarak ondan bir görev ister. Harun Reşit bir süre düşündükten sonra ona, “Sana fırınları denetleme işini veriyorum. Git, fırınları dolaş, ekmekleri kontrol et,” der. Behlül Dânâ bu görevi hemen kabul eder ve çarşıya çıkarak işe koyulur. İlk girdiği fırında ekmeklerin gramajını kontrol eder. Bakar ki ekmekler olması gerekenden eksiktir. Bunun üzerine fırıncıyı yanına çağırır ve ona birkaç soru sorar: 

“Nasılsın, halin vaktin yerinde mi? Ailenle aran nasıl, geçimin iyi mi?” Fırıncı bu soruların hepsine olumsuz cevap verir; mutsuzdur, geçim sıkıntısı içindedir. Behlül Dânâ hiçbir ceza kesmeden oradan ayrılır. Fırıncı şaşırır ve arkasından seslenir: “Hiç mi ceza yazmayacaksın?” Behlül sadece “Hayır” diyerek yoluna devam eder. 

Daha sonra başka bir fırına girer. Bu kez ekmekleri tarttığında ekmeklerin olması gerekenden fazla olduğunu görür. Fırıncıyı yanına çağırır ve aynı soruları sorar: “Halin nasıl? İşinden memnun musun?  Ailenle aran nasıl?” Fırıncı bu soruların hepsine olumlu yanıt verir; mutludur, huzurludur, geçimi yerindedir. 

Behlül Dânâ bunun üzerine doğruca Harun Reşit’in yanına döner ve “Efendim, ben bu işi yapmayacağım. Bana başka bir görev verin,” der. Harun Reşit şaşırır: “Neden vazgeçiyorsun? Daha az önce sana bu işi verdim der. 

Behlül Dânâ, tebessüm ederek şöyle cevap verir: “Efendim, ben çarşıyı dolaştım. Gördüm ki benden önce bir başka ‘ağa’ gelmiş. Ekmeklerle birlikte insanların vicdanlarını da tartmış hesaplarını görmüş. Kimin terazisi eksikse onun gönlü de dertli, kimin ekmeği fazlaysa onun kalbi de huzurlu. Yani herkesin hesabı kendi vicdanında görülmüş. Artık bana gerek kalmamış.” 

İnsanların yaptıkları işler, onların iç dünyalarının bir yansımasıdır. Vicdanı rahat olanın terazisi de doğrudur; içi sıkıntı dolu olanın ise terazisi şaşar. Gerçek denetim, dıştan değil, insanın kendi vicdanından başlar.