Çemberin parametrik denklemi

Bir çemberin parametrik denklemi, genellikle merkez koordinatları ve yarıçapına bağlı olarak trigonometriden yararlanılarak yazılır. Bir çemberin merkezi (a,b) ve yarıçapı r ise bu çemberin parametrik denklemi t bir açı olmak üzere: x(t)=a+r.cos⁡(t) ve y(t)=b+r.sin⁡(t) şeklindedir. Merkezil çemberin merkezi M(0,0) orijindir.

Çemberlerin birbirine göre durumları

Düzlemde verilen iki çemberin birbirine göre 3 temel durumu vardır. İki çemberin merkezleri arasındaki mesafeye d ve yarıçaplarına r₁ ve r₂ dersek buna göre çemberlerin durumlarını şöyle açıklayabiliriz: 

1) Çemberler birbiriyle kesişmez.Yani çemberlerin hiç ortak noktaları yoktur. d>r₁+r₂ 

Çemberle doğrunun birbirine göre durumları

Bir düzlemde verilen bir çember ile bir doğru arasında üç temel durum vardır: 

1) Doğru Çemberi Kesmez (Çemberle doğrunun ortak bir noktası yoktur. Dıştan Ayrık) 

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi boş küme ise doğru çemberin dışındadır. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d>r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi kesmez, doğru bu durumda çemberin dışında yer alır. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında,  elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri, sıfırdan küçük olur. Yani düzlem geometride denklemin reel kökü olmaz.

2) Doğru Çembere teğet olur. (Çemberle doğrunun ortak sadece bir noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi sadece tek nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d=r ilişkisi vardır Böylece doğru çembere teğet olur. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfıra eşit olur. Yani denklemin tek kökü olur.

3) Doğru Çemberi iki farklı noktada keser. (Çemberle doğrunun iki ortak noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi iki farklı nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d<r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi keser. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfırdan büyük olur. Yani denklemin iki farklı kökü olur.

Çemberin Analitik incelemesi

Geometri biliminde düzlemdeki sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki sonsuz sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (kapalı eğriye) "çember" denir. Çemberin üzerindeki noktalara eşit uzaklıkta bulunan, çemberin tam ortasında yer alan sabit noktaya "çemberin merkezi" denir ve genellikle M veya O harfi ile gösterilir. Merkezi (a,b) olan ve yarıçapı r olan bir çember; Ç(M,r) şeklinde yazılır.  Çember merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa çemberin "yarıçapı" denir ve genellikle "r" harfi (radius) ile gösterilir. Çemberin merkezinden geçerek çemberin üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren en uzun doğru parçasına "çap" (diameter) adı verilir ve 2r ile gösterilir. 

Bir çemberin yay uzunluğunun tamamını veren ifadeye "çemberin çevresi" denir ve çemberin çevresi Çevre= 2πr formülüyle hesaplanır. Çemberin kendisi ve çemberin iç bölgesi de çembere dâhil edilirse bu plaka biçimine "daire" denir, daire bir yüzey (alan) belirtir. Yarıçapı r olan dairenin alanı: Alan=π.r² formülüyle bulunur. Alan ve çevrede kullanılan π sayısı irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265359... devam eden irrasyonel sabit bir sayıdır.

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: (x−a)²+(y−b)²=r² Bu çember denklemi, çember üzerindeki tüm noktaların merkez noktasına olan uzaklığının r olduğunu ifade eder. Esasında çember denklemi analitik geometride iki nokta arası uzaklık formülü ile oluşturulur. 

(x−a)²+(y−b)²=r² çember denklemine çemberin standart denklemi denir. Örneğin orijin merkezli ve yarıçapı 5 birim olan bir çemberi (x−0)²+(y−0)²=5² şeklinde yazabiliriz. Buradan orijin merkezli bu çember; x²+y²=25 olur. Merkez (3, -2) ve Yarıçapı r=4 olan bir çemberi, (x−3)²+(y+2)²=16 şeklinde yazabiliriz. 

1) Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi noktası M(a, 0) şeklindedir. Yani, merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin y-koordinatı sıfırdır. Bu durumda Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin genel denklemi şöyle olur:  (x−a)²+y²=r² olur. Bu çember, x ekseni üzerinde bir noktayı merkez alır ve y ekseni boyunca yukarı ya da aşağıya doğru simetrik olarak uzanır. Örneğin merkezi (2, 0) ve yarıçapı 6 olan bir çemberin denklemini (x−2)²+y²=36 şeklinde yazabiliriz. 

2) Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi M(0,b) şeklindedir. Yani, merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin x-koordinatı sıfırdır. Bu durumda çemberin genel denklemi şöyle olur: x²+(y-b)²=r² olur. Bu çember, y ekseni üzerinde bir noktada merkezlenmiştir ve x ekseni boyunca sağa ya da simetrik olarak uzanır. Örneğin; Merkezi (0,−3) ve yarıçapı 5 olan bir çemberin denklemi: x²+(y+3)²=25 olur. 

3) Merkezi orijin M(0, 0) üzerinde olan bir çemberin denklemi çemberin en basit ve standart halidir. Merkezi orijin M(0, 0) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: x²+y²=r² olur. Bu çember, hem x hem de y eksenine göre simetriktir çünkü merkez orijin üzerindedir.

Örneğin Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 7 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=49 şeklindedir. Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 9 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=81 şeklindedir. 

Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir trigonometrik fonksiyonları tanımlamada birim çember kullanılır. Birim çemberin denklemi: x²+y²=1 şeklindedir.

4) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember y eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |a| olur ve çemberin merkezi a koordinatına bağlı olarak x ekseninin sağında ya da solundadır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember, y eksenine teğet ise bu çemberin denklemi: (x−a)²+(y−b)²=a² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−r)²+(y-b)²=r² şeklinde yazarız.

5) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, x eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |b| olur ve çemberin merkezi, b koordinatına bağlı olarak y ekseninin aşağısında ya da yukarısında yer alır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember x eksenine teğet ise denklemi: (x−a)²+(y−b)²=b² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−a)²+(y-r)²=r² şeklinde yazarız. 

6) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, her iki eksene de teğet ise (x ve y eksenine teğet ise) çemberin merkezi M(a,b)=(±r,±r) şeklinde olur ve bölgelere göre dört farklı çember çizilebilir. Çemberin merkezi ve yarıçapı verildiğinde denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² olduğundan; merkez koordinatlarının bölgelere göre a=±r ve b=±r ihtimali olduğundan dört farklı çember yazılabilir. 

 

Buna göre birinci bölgedeki eksenlere teğet çember şöyle olur: (x−r)²+(y−r)²=r² 

İkinci bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y-r)²=r² olur. 

Üçüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y+r)²=r² olur. 

Dördüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi de (x-r)²+(y+r)²=r² olur. 

Eksenlere teğet olan bu çemberlerin merkez koordinatları bölgelere göre şöyledir: Birinci bölgede A(r,r) ; ikinci bölgede B (−r,r) ; üçüncü bölgede C(-r,−r) ; dördüncü bölgede D(r,-r) olur.

 

Bir çemberin standart denklemi denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² ifadesi açıldığında x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde çemberin genel denklemi elde edilir. Bu denklemde katsayılar olan D, E, F gerçek sayılardır. 

x²+y²+Dx+Ey+F=0 Denkleminin çember belirtmesi için x² ve y² terimlerinin denklemde kesinlikle olması ve x² ve y² terimlerin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca x.y çarpanı şeklinde bir terim bulunmamalıdır. Ayrıca denklemde elde edilecek r yarıçapının tanımlı olması gerekir. (r>0) 

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi: (x−a)² + (y−b)² = r² çemberin standart denklemi binom özelliğinden yararlanarak azalan kuvvetlere göre açılırsa:
(x−a)²+(y−b)²=r² ⮕ x² − 2ax + a² + y²−2by + b² = r²
x²+y²−2ax−2by + (a²+b²−r²) = 0 bulunur.
Bu ifade kısa bir şekilde D, E ve F katsayılarıyla D=−2a, E=−2b ve F=a²+b²−r² olacak biçimde en sade halde düzenlenirse; x²+y²+Dx+Ey+F=0 çemberin genel denklemi elde edilir. Bu genel çember denkleminde, çemberin merkezi M(-D/2, -E/2) olur.

x²+y²+Dx+Ey+F=0 tam kareye tamamlama işlemi ile yarıçap ve merkez koordinatları D, E ve F cinsinden yazılabilir. Yarıçap ifadesinde eğer karekök içi negatif çıkarsa, bu bir gerçek çember belirtmez. (bu denklemin reel sayılarda çözümü yoktur)

Çemberin genel denklemininde çemberin diskiriminantı denebilecek D²+E²-4F ifadesine göre üç farklı durum söz konusu olur.

1) D²+E²-4F>0 ise verilen denklem bir çember belirtir. 

2) D²+E²-4F=0 ise verilen denklem bir çember belirtmez.Yarıçap r=0 olduğundan bu denklem bir nokta belirtir. Bu nokta çemberin merkez koordinatlarıdır. 

3) D²+E²-4F<0 ise verilen denklem bir çember  belirtmez. Yarıçap ifadesi karekök tanımlı olmadığından hesaplanamaz.

 

Herhangi üç noktadan geçen bir çemberin denklemini bulmak için, çemberin genel denklemini: x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde kabul ederiz ve verilen üç noktayı bu denkleme yerleştirerek bir denklem sistemi kurarız. Bu denklem sistemi ikişerli olarak çözülerek D,E,F katsayıları bulunur. Bu katsayılara göre çember denklemi yazılır. 

 

Örneğin verilen 3 nokta: A(1,2), B(2,3), C(1,0) ise bu noktalardan geçen çemberin denklemini bulmak için genel çember denklemi: x²+y²+Dx+Ey+F=0 olarak alınır ve her nokta x ve y yerine koyularak bir denklem sistemi kurulur. 

A(1, 2) noktası için:

1²+2²+D(1)+E(2)+F=0⇒1+4+D+2E+F=0⇒D+2E+F=−5 

B(2, 3) noktası için: 

4+9+2D+3E+F=0⇒2D+3E+F=−13

C(1, 0) noktası için: 

1²+0²+D(1)+E(0)+F=0⇒1+D+F=0⇒D+F=−1

Bu üç denklemi kendi arasında ikişerli olarak yoketme metodu ile çözersek sonuçta denklemin katsayılarını D=-6, E=-2 ve F=5 buluruz. Bu katsayılara göre çemberin genel denklemi: x²+y²−6x−2y+5=0 olur. Böylece bu çemberin merkezi M(3,1) ve yarıçapı da r=√5 olur.

 

 Çemberin Analitik incelemesi ile ilgili konu özetine ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Analitik geometri ne işe yarar?

Analitik geometri, matematiksel ve geometrik problemleri cebirsel yöntemlerle çözmeye yardımcı olan bir alanıdır. Bu konsept, noktaların ve şekillerin koordinatlarını açıklayarak, bunların birbiriyle olan ilişkilerini analiz etmeyi sağlar. Özellikle fizik, mühendislik ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda kullanılan analitik geometri, karmaşık problemleri daha kolay bir şekilde çözmeyi ve görselleştirmeyi sağlar. Bu sayede, uzayda ve düzlemdeki objelerin konumlarını, uzaklıklarını ve ilişkilerini anlamada büyük bir kolaylık sunar.

Dörtgenlerin vektörel alan formülleri

Paralelkenarın alanı vektörel olarak bulunurken, paralelkenarın birbirinden farklı uzunluğa sahip olan kenarlarını taşıyan, taşıyıcı kenar vektörlerinin normları ve bu vektörlerin aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımı ile alan hesaplaması yapılır.

Doğrunun doğruya göre simetrisi

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetrisi alınırken temel mantık her noktası için simetriyi alıp yeni doğrudan geçmesini sağlamaktır. Yani: Simetri alınacak doğruya dik olacak bir doğru çizilir ve ax +by +c=0 doğrusunun herhangi bir noktası bu dik doğru üzerinde kullanılır. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Yani matematiksel olarak genel formül: Bir doğru ax+by+c=0 ise ve simetri alınacak doğru da a₁x+b₁y+c₁=0 olarak verilirse, her nokta üzerinde a₁(x'−x)+b₁(y'−y)=0 şartı sağlanır. 

Bir d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusu, d₂: a₂x+b₂y+c₂=0 doğrusuna göre simetrisi alınabilir. Her nokta simetrik noktasıyla yer değiştirir ve bu simetri noktaları yeni doğrudan geçer. Bunun için öncelikle simetri alınacak d₁ doğrusunun üzerinden bir nokta seçilir. (örn. kolaylık olması için genellikle x=0 veya y=0 değerleri kullanılır.) Bu noktadan d₂'ye dik doğru çizilir. Çizilen dik doğrunun denklemi yazılıp, d₂ ile kesişiminden ortak çözüm yapılarak kesişim noktası bulunur. Simetri noktası, noktanın noktaya göre simetrisi kullanılarak hesaplanır. Aynı işlemler, d₁ doğrusu üzerinde ikinci bir nokta seçilerek yapılır. Böylece iki farklı nokta elde etmiş oluruz. Bu noktalar simetrisini bulacağımız yeni doğrunun üzerinde olan noktalardır. Bu yeni noktaları kullanarak simetrisini elde edeceğimiz yeni doğrunun eğimi hesaplanır. Sonra bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminden doğrunun denklemi yazılır. Böylece d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusunun simetrisi olan doğru bulunmuş olur.

ÖRNEK: d₁: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre tam simetri doğrusunu bulalım.

 

Çözüm:
d₁: 2x + 4y − 12 = 0 üzerindeki iki nokta: x = 0 → y = 3 → A(0,3), y = 0 → 2x − 12 = 0 → x = 6 → B(6,0) olarak seçelim. 
Dik doğruların kesişim noktaları: d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna A ve B noktalarından geçen iki farklı dik doğru çizelim. d2: x + 6y − 6 = 0 Doğrusunun eğimi, m = −1/6 → dik doğruların (bu doğruları k ve m diye isimlendirelim) eğimi 6 olarak bulunur. 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi: k: y − 3 = 6(x − 0) →k:  y = 6x + 3
B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi m: y − 0 = 6(x − 6) → y = 6x − 36 olur.

Şimdi bu noktalardan çizilen dik doğrularla  x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak ayrı ayrı bulalım.

 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktası ortak çözüm yapılarak bulalım.  

y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 → x + 6.(6x + 3) − 6 = 0 → 37x + 12 = 0 → x = −12/37 → y = 6.(−12/37)+3 = 39/37 → C(−12/37, 39/37) kesişim noktası bulunur.

B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru: y = 6x − 36 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktasını bulalım. 

x + 6(6x − 36) − 6 = 0 → x + 36x − 216 − 6 = 0 → 37x − 222 = 0 → x = 222/37 → y = 6.(222/37) − 36 = 1332/37 − 36 → y = 0 → (222/37, 0)= (6,0) bulunur. Yani iki doğrunun kesişim noktası ilk olarak seçtiğimiz B(6,0) noktasıdır.

 

Simetri noktaları: A noktasının simetrisi A' için E şeklinde isim verelim. E noktasının koordinatlarını bulalım. x = 2(−12/37) − 0 = −24/37 ordinat değerini de aynı şekilde hesaplayalım: y = 2.(39/37) − 3 = 78/37 − 111/37 = −33/37 → E(−24/37, −33/37)  olur.

Aynı işlemi diğer noktanın simetrisi için de uygulayalım.

B noktasının simetrisi B' için D şeklinde isim verelim. B' için koordinatları bulalım. x = 2(222/37) − 6 = 444/37 − 222/37 = 222/37  D(222/37, 0) = D(6, 0) olur. Esasında B noktası ile D noktası aynı yerde bulunur. Yani simetrik nokta doğrunun üzerinde olarak görülür.  (B=B'=D) Hesaplamalar kolay olsun diye paydaları bozmamak için B'=D(222/37, 0) olarak alıp işlemlere devam edelim.

 

Simetri doğrusunu bulalım: İki simetri noktası olduğundan E(−24/37, −33/37), D(222/37, 0) üzerinden geçen doğrunun denklemi: 
E ve D noktalarından geçen doğrunun eğimi: m = (0 − (−33/37)) / (222/37 − (−24/37)) = (33/37) / (246/37) = 33/246 = 11/82 olur.

Doğru denklemi: y − y₁ = m(x − x₁) → y + 33/37 = (11/82)(x + 24/37) denklem düzenlenirse; 
 −407x + 3034y + 2442 = 0 elde edilir. Sonuç olarak: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre simetrisi: −407x+3034y+2442=0 olur. 

Doğrunun simetrisi

Bir doğrunun orijine göre simetrisinde x ve y değişkenlerinin katsayılarının işaretleri değişir; yani (ax + by + c = 0) doğrusu orijine göre simetrisi alındığında (-ax - by + c = 0) olur.

Doğrunun x eksenine göre simetrisi alınırken sadece y’nin işareti değişir, Simetrisi: (ax - by + c = 0) olur. 

Doğrunun y eksenine göre simetrisi alınırken ise sadece x’in işareti değişir, Simetrisi: (-ax + by + c = 0) olur. 

Doğrunun y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y’nin katsayıları yer değiştirir; Simetrisi: (bx + ay + c = 0) olur. 

Doğrunun y = -x doğrusuna göre simetrisinde ise hem katsayıların işaretleri değişir hem de koordinatlar yer değiştirir; simetri doğrusu: (-bx - ay + c = 0) olur.

Bir doğrunun x = k doğrusuna göre simetrisi alınırken doğru denkleminde gördüğümüz x yerine (2k - x) yazılır. Benzer şekilde y = k doğrusuna göre simetri alınırken de y yerine (2k - y) yazılır. Bu şekilde simetri doğrusunun denklemi elde edilir. 

Daha genel olarak, bir doğrunun (k, m) noktasına göre simetrisinde x yerine (2k - x), y yerine (2m - y) yazılır. Böylece, simetri işlemi hangi eksen ya da doğruya göre yapılırsa, ona uygun olarak x ve y’nin yer değiştirmesi veya işaret değiştirmesi ile yeni doğrunun denklemi bulunmuş olur.

 

---

Herbirine ayrı ayrı örnekler vererek konuyu pekiştirelim:
Örnek: 2x+3y−5=0 doğrusunun Orijine göre simetrisi nedir?
Orijine göre simetri: katsayıların işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: −2x−3y−5=0 olur.

Örnek: 4x−5y+6=0 doğrusunun x eksenine göre simetrisi nedir?
x eksenine göre simetride y nin işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu 4x+5y+6=0 olur.

Örnek: 7x + 2y − 3 = 0 doğrusunun y eksenine göre simetrisi nedir?
Y eksenine göre simetride sadece x’in işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-7x + 2y - 3 = 0) olur.

Örnek: 3x + 4y − 7 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir. Buna göre simetri doğrusu: (4x + 3y - 7 = 0) olur.

Örnek: 5x − 6y + 2 = 0 doğrusunun y = -x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = -x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir ve işaretleri de değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-6x + 5y + 2 = 0) olur.

 

Örnek: 2x − y + 5 = 0 doğrusunun x = 3 doğrusuna göre simetrisi nedir?

x = 3 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz x yerine 2⋅3−x=6−x yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

 2(6−x)−y+5=0⇒12−2x−y+5=0⇒−2x−y+17=0 olur.

 

Örnek: x + 4y - 7 = 0 doğrusunun y = 4 doğrusuna göre simetrisi nedir?

y = 4 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz y yerine 2⋅4−y=8−y yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

x+4(8−y)−7=0⇒x+32−4y−7=0⇒x−4y+25=0 olur. 

 

Örnek: 2x-5y-1=0 doğrusunun K(2,-1) noktasına göe simetrisi nedir? 

2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi için x yerine 2.2 − x = 4 − x, y yerine 2(−1) − y = −2 − y yazılır. Buna göre: 2(4 − x) − 5(−2 − y) − 1 = 0 olur, buradan denklem düzenlenirse;  8 − 2x + 10 + 5y − 1 = 0 → −2x + 5y + 17 = 0 doğrusu elde edilir.  2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi: −2x + 5y + 17 = 0 doğrusudur.

 

Noktanın doğruya göre simetrisi

Bir K(r,s) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisini bulmak için önce doğrunun eğimi bulunur: m₁ = -a/b. Daha sonra A noktasından geçen ve bu doğruya dik olan bir doğru çizilir; bu doğrunun eğimi veya eğimler çarpımı -1 olacak şekilde m₂ = -1/m₁ olduğundan m₂ = b/a bulunur. Bu yeni doğrunun eğim ve K noktası kullanılarak denklemi yazılır: y - s = m₂(x - r). İki doğrunun denklem sistemi çözülerek kesişim noktası bulunur; bu kesişim noktası H olsun. H noktası K noktasının doğruya dik olarak indiği kesişim noktasıdır. Simetri noktası K' ise K noktasının H noktasına göre noktanın noktaya göre simetrisinden yani orta nokta olma kuralından yararlanarak hesaplanır. Böylece K noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi  K' bulunur.

 

Noktanın y=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın y = k yatay doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan dikey uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar yukarıda veya aşağıda olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası y koordinatında değişim gösterir, x koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (x, 2k - y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın y=k doğrusuna olan dikey uzaklığı: y - k kadardır. Simetri noktasında bu uzaklık diğer tarafa aynen alınır: k - (y - k) kadar birim olur.

Bir A(x, y) noktasının y=k doğrusu göre simetrisi; A'(x, 2k - y) olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası y koordinatı da 2*3 - 2 = 4 olarak bulunur ve x koordinatı değişmediği için sonuç A'(5, 4) olur.

Noktanın x=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın x = k dikey doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan yatay uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar uzakta olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası x koordinatında değişim gösterir, y koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (2k - x, y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın x=k doğrusuna olan yatay uzaklığı: x - k kadardır. Simetri noktası olan noktada, bu uzaklığı diğer tarafa aynen alır: k - (x - k) kadar birim olur.  

Bir A(x, y) noktasının x=k doğrusu göre simetrisi; A'(2k - x, y)  olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası x koordinatı da 2.3 - 5 = 1 olarak bulunur ve y koordinatı değişmediği için sonuç A'(1, 2) olur.

Noktanın y=x doğrusuna göre simetrisi

Koordinat düzleminde birinci açıortay y = x doğrusu, ikinci açıortay ise y = −x doğrusu olarak adlandırılır. Bir noktanın y = x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın x ve y koordinatlarını yer değiştirerek bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın koordinatlarının işaretlerini değiştirip yer değiştirerek bulunur.

Birinci açıortay (y = x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(b, a)
İkinci açıortay (y = −x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(−b, −a) olur. 

 

Örneğin; A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur. 

 

Noktanın y=x ve y=-x doğrularına göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:  

A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur.

 

B(−3,4) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi B'(4,−3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi B''(−4,3) olur. 

 

C(−2,−6) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi C'(−6,−2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi C''(6,2) olur.

 

D(3,−5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi D'(−5,3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi D''(5,−3) olur.

 

E(4,0) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi E'(0,4), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi E''(0,−4) olur.

 

F(0,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi F'(5,0), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi F''(−5,0) olur. 

 

Örnek: A(1, 5) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, y = −x doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, [BC] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 

 

Çözüm: A noktası: A(1, 5) olarak verilmiştir. A noktasının y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y yer değiştirir. Bu nedenle B noktası: B(5, 1) bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusuna göre simetrisi alınırken (x, y) noktası (−y, −x) olduğundan A noktasının y = −x doğrusuna göre simetrisi C noktası: C(−5, −1) olur. Daha sonra B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları bulunur: x koordinatı: (5 + (−5)) / 2 = 0 ve y koordinatı: (1 + (−1)) / 2 = 0 olur. B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları (0, 0) olduğundan orta noktanın koordinatları toplamı: 0 + 0 = 0 elde edilir.

Noktanın eksenlere göre simetrisi

Bir noktanın eksenlere göre simetrisi şu şekilde tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası verilsin. Bu noktanın x eksenine göre simetriği, x koordinatı aynı kalıp y koordinatının işaretinin değişmesiyle elde edilir. Buna göre simetriği A′(x, −y) olur. A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği ise y koordinatı aynı kalıp x koordinatının işaretinin değişmesiyle bulunur. Bu durumda simetriği A′(−x, y) olur. Özel bir durum olarak, A(x, y) noktasının orijine göre simetriği hem x hem de y koordinatlarının işaretinin değişmesiyle elde edilir ve A′(−x, −y) olur.  

Kısaca:x eksenine göre simetride; apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. y eksenine göre simetride; ordinat aynı kalır, x’in işareti değişir. Orijine göre simetride ise hem apsis hem ordinatın işareti değişir. Yani simetri alınan eksene göre, o eksene dik olan koordinatın işareti değişir. Örneğin; A’nın X eksenine göre simetrisi (-2,-8), Y eksenine göre simetrisi (2,8), Orijine göre simetrisi (2,-8) olur.

---

Noktanın eksenlere göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir: 
B(3,5) noktasının X eksenine göre simetrisi (3,-5), Y eksenine göre simetrisi (-3,5), Orijine göre simetrisi (-3,-5) olur.
C(-4,7) noktasının X eksenine göre simetrisi (-4,-7), Y eksenine göre simetrisi (4,7), Orijine göre simetrisi (4,-7) olur.
D(-6,-2) noktasının X eksenine göre simetrisi (-6,2), Y eksenine göre simetrisi (6,-2), Orijine göre simetrisi (6,2) olur.
E(5,-3) noktasının X eksenine göre simetrisi (5,3), Y eksenine göre simetrisi (-5,-3), Orijine göre simetrisi (-5,3) olur.
F(2,0) noktasının X eksenine göre simetrisi (2,0), Y eksenine göre simetrisi (-2,0), Orijine göre simetrisi (-2,0) olur.
G(0,6) noktasının X eksenine göre simetrisi (0,-6), Y eksenine göre simetrisi (0,6), Orijine göre simetrisi (0,-6) olur. 

 

Örnek: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B, Y eksenine göre simetrisi C noktaları ise BC uzunluğu kaçtır?

Çözüm: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B noktasıdır. X eksenine göre simetride x koordinatı değişmez, y koordinatının işareti değişir. Böylece B(3, -4) olur. A(3,4) noktasının Y eksenine göre simetrisi C noktasıdır. Y eksenine göre simetride y koordinatı değişmez, x koordinatının işareti değişir. Böylece C(-3, 4) olur.  Şimdi B(3,-4) ve C(-3,4) noktaları arasındaki uzaklığı, uzaklık formülü ile hesaplarsak: Uzaklık =√[(-6)² + 8²)]=√[(36 + 64)] =√100 =10 Böylece B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 br olur. 

Noktanın noktaya göre simetrisi

Bir noktanın bir noktaya göre simetrisi matematiksel olarak şöyle tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) olsun. A noktasının O noktasına göre simetriği A′(x′, y′) noktasıdır. Bu simetri tanımlamasını günlük dilde ifade edersek; bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, o noktanın simetri alınan noktanın tam karşı tarafına eşit uzaklıkta olarak geçmesi demektir.   

A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) verildiğinde O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktasıdır. Bu nedenle A ve A′ noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması, O noktasının koordinatlarına eşittir.  Buna göre orta nokta tanımından, A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması a’ya, ordinat koordinatlarının ortalaması ise b’ye eşittir. Buradan A′ noktasının koordinatları ortalama tanımından hesaplanır ve sonuç olarak; A(x, y) noktasının O(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a − x, 2b − y) olur. 

Örneğin A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′ noktası olsun. O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktası olduğuna göre A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması 1’e, ordinat koordinatlarının ortalaması 4’e eşit olmalıdır. Bu durumda A′ noktasının apsis değeri 2·1 − 3 = −1, ordinatı ise 2·4 − (−2) = 10 olur. Böylece A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′(−1, 10) noktası olur.

---

Noktanın noktaya göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:
A(2,5) noktasının B(4,3) noktasına göre simetrisi A'(6,1) olur.
C(-3,7) noktasının D(-1,2) noktasına göre simetrisi C'(-5,-3) olur.
E(-4,-6) noktasının F(-2,-2) noktasına göre simetrisi E'(-6,-10) olur.
G(3,-5) noktasının H(1,-1) noktasına göre simetrisi G'(5,-9) olur.
T(2,0) noktasının J(5,0) noktasına göre simetrisi T'(-1,0) olur.
K(0,4) noktasının L(0,1) noktasına göre simetrisi K'(0,7) olur.

 

Örnek: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetriği B, B noktasının (7, 2) noktasına göre simetriği C ise bu C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetrisi B noktasıdır. Orijine göre simetri için, noktanın x ve y koordinatlarının işaretleri değişir. Böylece B noktası (2, −1) olur. Şimdi B(2, −1) noktasının (7, 2) noktasına göre simetrisini, yani C noktasını bulmamız gerekiyor. Bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, simetri noktası ile verilen nokta arasında doğru üzerinde olur ve bu doğru üzerindeki noktaların aralarında eşit uzaklık vardır. B ve C noktalarının ortası, verilen 7, 2 noktasıdır. Buna göre orta nokta formülünü kullanırsak: Orta nokta = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) Burada orta nokta (7, 2), B noktası (2, −1), C noktası (a, b) olarak alınırsa;  apsisler için orta nokta hesabı (2 + a)/2 = 7 ve ordinatlar için orta nokta hesabı  (−1 + b)/2 = 2 olur.  Bu iki denklemden a ve b değerlerini bulalım: (2 + a)/2 = 7 → 2 + a = 14 → a = 12 ve diğer denklem yardımıyla  (−1 + b)/2 = 2 → −1 + b = 4 → b = 5 bulunur.  Böylece C noktası (12, 5) olur. C noktasının koordinatları toplamı ise 12 + 5 = 17 olur.

Düzlemde Dönüşüm Fonksiyonu ve Öteleme

Düzlemin noktalarını yine düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyona düzlemin bir dönüşümü adı verilir. Analitik düzlemde verilen herhangi bir nokta düzlemde bir dönüşüm fonksiyonu altında aynı ya da farklı başka bir noktaya eşlenebilir.

Dönüşümler öteleme, yansıma ve dönme başlıkları altında incelenebilir. Bu dönüşümlerin ayrıntılarına geçmeden önce dönüşüm fonksiyonuna biraz örnek vermek yerinde olacaktır.

Koordinatları bilinen üçgen alanı

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için, vektör bileşenlerin determinant kuralından yararlanılır. Determinantta SARRUS Kuralı olarak bilinen determinant hesabı, üçgenlerde köşe koordinatları bilindiği zaman veya köşe koordinatları bir şekilde bulunabildiği zaman, alan hesabında uygulanabilir. 

Elipsin Analitik incelenmesi

Düzlemde sabit iki farklı noktaya  uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan bu noktalara elipsin odakları denir. Herhangi bir noktanın, elipsin odaklarına uzaklıkları toplamı, elipsin asal eksen uzunluğu olarak tanımlanır. Elipsin odakları x ekseni üzerinde ise bu elips yatay elips olarak isimlendirilir. Eğer Elipsin odakları y ekseni üzerinde ise bu elips; düşey elips olarak isimlendirilir. 

Yatay elipsin bir köşesi olan y ekseni üzerindeki B noktasından odaklara birer doğru parçası çizilirse burada bir köşesi orijinde olan iki adet dik üçgen meydana gelir ve pisagor bağıntısı bu üçgenler için geçerli olur.

Gündelik Hayatta Hiperbol Biçimleri

Sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol adı verilir. Bu sabit noktalara da hiperbolün odak noktaları denir. Hiperbol eğrileri gündelik hayatta özellikle tasarım ve mimaride sıklıkla karşımıza çıkan matematik kavramlarından biridir. Hiperbolik eğriler son zamanlarda yenilenmiş tasarımlarda ve mimari çizgilerde sıklıkla karşımıza çıkmaktadır.

Hiperbolün Analitik İncelenmesi

Sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol adı verilir. Bu sabit noktalara da hiperbolün odak noktaları denir. Odakları birleştiren doğru parçasının tam orta noktasına hiperbolün merkezi denir. Hiperbolün odakları analitik düzlemde x ya da y ekseni üzerinde olabilir. Merkezi orijin olup odakları x ya da y ekseni üzerinde bulunan hiperbole merkezil hiperbol veya standart hiperbol adı verilir.

Doğrunun Eğiminde Türev

Verilen bir y=mx+n şeklindeki doğrunun eğimi bulunurken türevden yararlanılabilir. Denklemi verilen doğrunun birinci türevi alınırsa doğrunun eğimine ulaşılmış olur. İspatı yapılırken genel türev tanımından yararlanılarak sonuca ulaşılır. Altta doğrusal fonksiyonun eğimini bulurken kullanacağımız türev kuralının ispatı verilmiştir.

Elipsin alanı ve ispatı

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Elipsin alanı integral yardımıyla alan hesabı uygulamalarından yararlanarak bulunabilir. Bunun için elipsin denkleminden yola çıkarak eksenler arasında kalan bölgelerin sınırlandığı bölgelerin uç noktalarını bularak integralle alan ispatı yapılabilir. Elipsin çevre formülünün ispatında olduğu gibi alan ispatında da integral bilgisi gerekmektedir.

Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.

Elipsin çevresi ve ispatı

Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. 

Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.

Vektörün Normu (Uzunluğu)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz. A vektörünün uzunluğu (normu), ||A|| sembolü ile gösterilir."i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. 

O halde: (i, j, k) standart birim vektörler olmak üzere; A(a,b,c) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte üç boyutlu uzayda yazılırsa; A(a,b,c)=a.i+b.j+c.k şeklinde yazılır ve bu A vektörün normu; ||A|| ile gösterilir. Bir A vektörünün normu hesaplanırken, temel standart birim vektörü katsayıları olan (a,b,c) sayılarının karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

İki boyutlu uzayda, B(x,y) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte yazılırsa; B(x,y)=x.i+y.j şeklinde yazılır. ve bu vektörün normu temel birim katsayıları (x,y) karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

Teorem: Bir V iç çarpım uzayında, vektör normu için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Vektörün normu ile ilgili verilen özelliklerden iv) maddenin ispatı için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden yararlanmak gerekecektir. Cauchy Schwarz Eşitsizliği ile ilgili ayrıntılı yazıya ulaşmak için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız. (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti:Herhangi bir noktaya göre çemberde kuvvet alınırken bu nokta çemberin iç veya dış bölgesinde olmasına göre kuvvet alma fonksiyonunda bir farklılık olmaz. Kuvvet alma aslında bu noktanın yardımıyla oluşturulan üçgenler ile meydana gelen bir benzerlik uygulamasıdır.  

Bir noktanın koordinatları ile herhangi bir çembere göre kuvveti alındığında, Kuvvet alma fonksiyonu noktanın çembere göre durumunu belirtir. Yani verilen noktanın,  çemberin iç bölgesinde, çemberin dışında veya çemberin üzerinde  olup olmadığı tanımlanır. 

X noktasının kuvveti denildiğinde, o noktanın merkeze olan uzaklığı koordinatlarda olduğu gibi iki nokta arası uzaklık formülünden bulunur. Daha sonra bu uzaklığın yarıçap ile olan farkları pisagor bağıntısı gereği yazıldıktan sonra, eğer sonuç pozitif tanımlı ise (yani sonuç pozitif çıkar ise) nokta çemberin dış bölgesinde olur. Çünkü  noktanın çember merkezine uzaklığı, çemberin yarıçapından büyüktür. Bu sonuç negatif tanımlı olursa, noktanın çember merkezine olan uzaklığı, çember yarıçapından küçük olduğundan, nokta çember içerisinde kalır. Eğer sonuç 0 çıkarsa o zaman verilen nokta, tam olarak çember üzerindedir. Çünkü noktanın merkeze uzaklığı ile yarıçap uzunluğu birbirine eşittir. 

Bir çemberde herhangi bir noktanın çember denklemine göre kuvveti, aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Burada koordinatları verilen noktanın çembere göre kuvveti için gösterilen ispatı, daha iyi anlamak için bir örnek verelim. Örnekte rastgele bir noktanın çembere göre kuvveti alındığında, yani koordinatları çember denkleminde yerine yazıldığında, sonuç negatif çıkarsa bu noktanın çemberin iç bölgesinde olduğu anlaşılır. Aksi halde pozitif tanımlı olması durumunda, nokta çemberin dış bölgesindedir.

 

 

 

Kaynaklar: Geometri, Arif Şayakdokuyan, Mevsim Basım Yay., Ankara, 2012; Geometri, Turgut Erel, Bilnet Matbaacılık, İstanbul, 2014;  Çember ve Daire, Kartezyen Eğitim Yay. ,İstanbul, 2014.

Noktanın Doğruya Uzaklığı

Bir noktanın doğruya olan en kısa uzaklığı dik olan uzaklıktır. Bu uzaklık da aşağıda gösterildiği şekilde noktanın doğruya uzaklık formülü yardımıyla bulunur.