Katlama soruları genel özellikleri

Katlama sorularının çözümü yapılırken simetri ve açıortay kavramlarının iyi bilinmesi gerekmektedir. Katlama yapılan yöne bağlı olarak farklı durumlar ortaya çıkar. Bir üçgende bir köşeden başka bir köşeye doğru kaplama yapıldığında ortaya çıkan katlama izi bir kenarın orta dikmesi üzerinde olacaktır. 

Doğrunun doğruya göre simetrisi

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetrisi alınırken temel mantık her noktası için simetriyi alıp yeni doğrudan geçmesini sağlamaktır. Yani: Simetri alınacak doğruya dik olacak bir doğru çizilir ve ax +by +c=0 doğrusunun herhangi bir noktası bu dik doğru üzerinde kullanılır. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Yani matematiksel olarak genel formül: Bir doğru ax+by+c=0 ise ve simetri alınacak doğru da a₁x+b₁y+c₁=0 olarak verilirse, her nokta üzerinde a₁(x'−x)+b₁(y'−y)=0 şartı sağlanır. 

Bir d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusu, d₂: a₂x+b₂y+c₂=0 doğrusuna göre simetrisi alınabilir. Her nokta simetrik noktasıyla yer değiştirir ve bu simetri noktaları yeni doğrudan geçer. Bunun için öncelikle simetri alınacak d₁ doğrusunun üzerinden bir nokta seçilir. (örn. kolaylık olması için genellikle x=0 veya y=0 değerleri kullanılır.) Bu noktadan d₂'ye dik doğru çizilir. Çizilen dik doğrunun denklemi yazılıp, d₂ ile kesişiminden ortak çözüm yapılarak kesişim noktası bulunur. Simetri noktası, noktanın noktaya göre simetrisi kullanılarak hesaplanır. Aynı işlemler, d₁ doğrusu üzerinde ikinci bir nokta seçilerek yapılır. Böylece iki farklı nokta elde etmiş oluruz. Bu noktalar simetrisini bulacağımız yeni doğrunun üzerinde olan noktalardır. Bu yeni noktaları kullanarak simetrisini elde edeceğimiz yeni doğrunun eğimi hesaplanır. Sonra bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminden doğrunun denklemi yazılır. Böylece d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusunun simetrisi olan doğru bulunmuş olur.

ÖRNEK: d₁: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre tam simetri doğrusunu bulalım.

 

Çözüm:
d₁: 2x + 4y − 12 = 0 üzerindeki iki nokta: x = 0 → y = 3 → A(0,3), y = 0 → 2x − 12 = 0 → x = 6 → B(6,0) olarak seçelim. 
Dik doğruların kesişim noktaları: d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna A ve B noktalarından geçen iki farklı dik doğru çizelim. d2: x + 6y − 6 = 0 Doğrusunun eğimi, m = −1/6 → dik doğruların (bu doğruları k ve m diye isimlendirelim) eğimi 6 olarak bulunur. 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi: k: y − 3 = 6(x − 0) →k:  y = 6x + 3
B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi m: y − 0 = 6(x − 6) → y = 6x − 36 olur.

Şimdi bu noktalardan çizilen dik doğrularla  x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak ayrı ayrı bulalım.

 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktası ortak çözüm yapılarak bulalım.  

y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 → x + 6.(6x + 3) − 6 = 0 → 37x + 12 = 0 → x = −12/37 → y = 6.(−12/37)+3 = 39/37 → C(−12/37, 39/37) kesişim noktası bulunur.

B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru: y = 6x − 36 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktasını bulalım. 

x + 6(6x − 36) − 6 = 0 → x + 36x − 216 − 6 = 0 → 37x − 222 = 0 → x = 222/37 → y = 6.(222/37) − 36 = 1332/37 − 36 → y = 0 → (222/37, 0)= (6,0) bulunur. Yani iki doğrunun kesişim noktası ilk olarak seçtiğimiz B(6,0) noktasıdır.

 

Simetri noktaları: A noktasının simetrisi A' için E şeklinde isim verelim. E noktasının koordinatlarını bulalım. x = 2(−12/37) − 0 = −24/37 ordinat değerini de aynı şekilde hesaplayalım: y = 2.(39/37) − 3 = 78/37 − 111/37 = −33/37 → E(−24/37, −33/37)  olur.

Aynı işlemi diğer noktanın simetrisi için de uygulayalım.

B noktasının simetrisi B' için D şeklinde isim verelim. B' için koordinatları bulalım. x = 2(222/37) − 6 = 444/37 − 222/37 = 222/37  D(222/37, 0) = D(6, 0) olur. Esasında B noktası ile D noktası aynı yerde bulunur. Yani simetrik nokta doğrunun üzerinde olarak görülür.  (B=B'=D) Hesaplamalar kolay olsun diye paydaları bozmamak için B'=D(222/37, 0) olarak alıp işlemlere devam edelim.

 

Simetri doğrusunu bulalım: İki simetri noktası olduğundan E(−24/37, −33/37), D(222/37, 0) üzerinden geçen doğrunun denklemi: 
E ve D noktalarından geçen doğrunun eğimi: m = (0 − (−33/37)) / (222/37 − (−24/37)) = (33/37) / (246/37) = 33/246 = 11/82 olur.

Doğru denklemi: y − y₁ = m(x − x₁) → y + 33/37 = (11/82)(x + 24/37) denklem düzenlenirse; 
 −407x + 3034y + 2442 = 0 elde edilir. Sonuç olarak: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre simetrisi: −407x+3034y+2442=0 olur. 

Doğrunun simetrisi

Bir doğrunun orijine göre simetrisinde x ve y değişkenlerinin katsayılarının işaretleri değişir; yani (ax + by + c = 0) doğrusu orijine göre simetrisi alındığında (-ax - by + c = 0) olur.

Doğrunun x eksenine göre simetrisi alınırken sadece y’nin işareti değişir, Simetrisi: (ax - by + c = 0) olur. 

Doğrunun y eksenine göre simetrisi alınırken ise sadece x’in işareti değişir, Simetrisi: (-ax + by + c = 0) olur. 

Doğrunun y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y’nin katsayıları yer değiştirir; Simetrisi: (bx + ay + c = 0) olur. 

Doğrunun y = -x doğrusuna göre simetrisinde ise hem katsayıların işaretleri değişir hem de koordinatlar yer değiştirir; simetri doğrusu: (-bx - ay + c = 0) olur.

Bir doğrunun x = k doğrusuna göre simetrisi alınırken doğru denkleminde gördüğümüz x yerine (2k - x) yazılır. Benzer şekilde y = k doğrusuna göre simetri alınırken de y yerine (2k - y) yazılır. Bu şekilde simetri doğrusunun denklemi elde edilir. 

Daha genel olarak, bir doğrunun (k, m) noktasına göre simetrisinde x yerine (2k - x), y yerine (2m - y) yazılır. Böylece, simetri işlemi hangi eksen ya da doğruya göre yapılırsa, ona uygun olarak x ve y’nin yer değiştirmesi veya işaret değiştirmesi ile yeni doğrunun denklemi bulunmuş olur.

 

---

Herbirine ayrı ayrı örnekler vererek konuyu pekiştirelim:
Örnek: 2x+3y−5=0 doğrusunun Orijine göre simetrisi nedir?
Orijine göre simetri: katsayıların işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: −2x−3y−5=0 olur.

Örnek: 4x−5y+6=0 doğrusunun x eksenine göre simetrisi nedir?
x eksenine göre simetride y nin işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu 4x+5y+6=0 olur.

Örnek: 7x + 2y − 3 = 0 doğrusunun y eksenine göre simetrisi nedir?
Y eksenine göre simetride sadece x’in işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-7x + 2y - 3 = 0) olur.

Örnek: 3x + 4y − 7 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir. Buna göre simetri doğrusu: (4x + 3y - 7 = 0) olur.

Örnek: 5x − 6y + 2 = 0 doğrusunun y = -x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = -x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir ve işaretleri de değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-6x + 5y + 2 = 0) olur.

 

Örnek: 2x − y + 5 = 0 doğrusunun x = 3 doğrusuna göre simetrisi nedir?

x = 3 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz x yerine 2⋅3−x=6−x yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

 2(6−x)−y+5=0⇒12−2x−y+5=0⇒−2x−y+17=0 olur.

 

Örnek: x + 4y - 7 = 0 doğrusunun y = 4 doğrusuna göre simetrisi nedir?

y = 4 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz y yerine 2⋅4−y=8−y yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

x+4(8−y)−7=0⇒x+32−4y−7=0⇒x−4y+25=0 olur. 

 

Örnek: 2x-5y-1=0 doğrusunun K(2,-1) noktasına göe simetrisi nedir? 

2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi için x yerine 2.2 − x = 4 − x, y yerine 2(−1) − y = −2 − y yazılır. Buna göre: 2(4 − x) − 5(−2 − y) − 1 = 0 olur, buradan denklem düzenlenirse;  8 − 2x + 10 + 5y − 1 = 0 → −2x + 5y + 17 = 0 doğrusu elde edilir.  2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi: −2x + 5y + 17 = 0 doğrusudur.

 

Noktanın doğruya göre simetrisi

Bir K(r,s) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisini bulmak için önce doğrunun eğimi bulunur: m₁ = -a/b. Daha sonra A noktasından geçen ve bu doğruya dik olan bir doğru çizilir; bu doğrunun eğimi veya eğimler çarpımı -1 olacak şekilde m₂ = -1/m₁ olduğundan m₂ = b/a bulunur. Bu yeni doğrunun eğim ve K noktası kullanılarak denklemi yazılır: y - s = m₂(x - r). İki doğrunun denklem sistemi çözülerek kesişim noktası bulunur; bu kesişim noktası H olsun. H noktası K noktasının doğruya dik olarak indiği kesişim noktasıdır. Simetri noktası K' ise K noktasının H noktasına göre noktanın noktaya göre simetrisinden yani orta nokta olma kuralından yararlanarak hesaplanır. Böylece K noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi  K' bulunur.

 

Noktanın y=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın y = k yatay doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan dikey uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar yukarıda veya aşağıda olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası y koordinatında değişim gösterir, x koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (x, 2k - y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın y=k doğrusuna olan dikey uzaklığı: y - k kadardır. Simetri noktasında bu uzaklık diğer tarafa aynen alınır: k - (y - k) kadar birim olur.

Bir A(x, y) noktasının y=k doğrusu göre simetrisi; A'(x, 2k - y) olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası y koordinatı da 2*3 - 2 = 4 olarak bulunur ve x koordinatı değişmediği için sonuç A'(5, 4) olur.

Noktanın x=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın x = k dikey doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan yatay uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar uzakta olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası x koordinatında değişim gösterir, y koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (2k - x, y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın x=k doğrusuna olan yatay uzaklığı: x - k kadardır. Simetri noktası olan noktada, bu uzaklığı diğer tarafa aynen alır: k - (x - k) kadar birim olur.  

Bir A(x, y) noktasının x=k doğrusu göre simetrisi; A'(2k - x, y)  olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası x koordinatı da 2.3 - 5 = 1 olarak bulunur ve y koordinatı değişmediği için sonuç A'(1, 2) olur.

Noktanın y=x doğrusuna göre simetrisi

Koordinat düzleminde birinci açıortay y = x doğrusu, ikinci açıortay ise y = −x doğrusu olarak adlandırılır. Bir noktanın y = x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın x ve y koordinatlarını yer değiştirerek bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusu üzerine göre simetrisi, noktanın koordinatlarının işaretlerini değiştirip yer değiştirerek bulunur.

Birinci açıortay (y = x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(b, a)
İkinci açıortay (y = −x) doğrusu: Nokta A(a, b) → simetri noktası A'(−b, −a) olur. 

 

Örneğin; A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur. 

 

Noktanın y=x ve y=-x doğrularına göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:  

A(2,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi A'(5,2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi A''(−5,−2) olur.

 

B(−3,4) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi B'(4,−3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi B''(−4,3) olur. 

 

C(−2,−6) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi C'(−6,−2), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi C''(6,2) olur.

 

D(3,−5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi D'(−5,3), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi D''(5,−3) olur.

 

E(4,0) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi E'(0,4), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi E''(0,−4) olur.

 

F(0,5) noktasının birinci açıortay doğrusu y=x’ye göre simetrisi F'(5,0), ikinci açıortay doğrusu y=−x’ye göre simetrisi F''(−5,0) olur. 

 

Örnek: A(1, 5) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, y = −x doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, [BC] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 

 

Çözüm: A noktası: A(1, 5) olarak verilmiştir. A noktasının y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y yer değiştirir. Bu nedenle B noktası: B(5, 1) bulunur. Bir noktanın y = −x doğrusuna göre simetrisi alınırken (x, y) noktası (−y, −x) olduğundan A noktasının y = −x doğrusuna göre simetrisi C noktası: C(−5, −1) olur. Daha sonra B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları bulunur: x koordinatı: (5 + (−5)) / 2 = 0 ve y koordinatı: (1 + (−1)) / 2 = 0 olur. B(5, 1) ile C(−5, −1) noktalarının orta noktasının koordinatları (0, 0) olduğundan orta noktanın koordinatları toplamı: 0 + 0 = 0 elde edilir.

Noktanın eksenlere göre simetrisi

Bir noktanın eksenlere göre simetrisi şu şekilde tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası verilsin. Bu noktanın x eksenine göre simetriği, x koordinatı aynı kalıp y koordinatının işaretinin değişmesiyle elde edilir. Buna göre simetriği A′(x, −y) olur. A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği ise y koordinatı aynı kalıp x koordinatının işaretinin değişmesiyle bulunur. Bu durumda simetriği A′(−x, y) olur. Özel bir durum olarak, A(x, y) noktasının orijine göre simetriği hem x hem de y koordinatlarının işaretinin değişmesiyle elde edilir ve A′(−x, −y) olur.  

Kısaca:x eksenine göre simetride; apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. y eksenine göre simetride; ordinat aynı kalır, x’in işareti değişir. Orijine göre simetride ise hem apsis hem ordinatın işareti değişir. Yani simetri alınan eksene göre, o eksene dik olan koordinatın işareti değişir. Örneğin; A’nın X eksenine göre simetrisi (-2,-8), Y eksenine göre simetrisi (2,8), Orijine göre simetrisi (2,-8) olur.

---

Noktanın eksenlere göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir: 
B(3,5) noktasının X eksenine göre simetrisi (3,-5), Y eksenine göre simetrisi (-3,5), Orijine göre simetrisi (-3,-5) olur.
C(-4,7) noktasının X eksenine göre simetrisi (-4,-7), Y eksenine göre simetrisi (4,7), Orijine göre simetrisi (4,-7) olur.
D(-6,-2) noktasının X eksenine göre simetrisi (-6,2), Y eksenine göre simetrisi (6,-2), Orijine göre simetrisi (6,2) olur.
E(5,-3) noktasının X eksenine göre simetrisi (5,3), Y eksenine göre simetrisi (-5,-3), Orijine göre simetrisi (-5,3) olur.
F(2,0) noktasının X eksenine göre simetrisi (2,0), Y eksenine göre simetrisi (-2,0), Orijine göre simetrisi (-2,0) olur.
G(0,6) noktasının X eksenine göre simetrisi (0,-6), Y eksenine göre simetrisi (0,6), Orijine göre simetrisi (0,-6) olur. 

 

Örnek: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B, Y eksenine göre simetrisi C noktaları ise BC uzunluğu kaçtır?

Çözüm: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B noktasıdır. X eksenine göre simetride x koordinatı değişmez, y koordinatının işareti değişir. Böylece B(3, -4) olur. A(3,4) noktasının Y eksenine göre simetrisi C noktasıdır. Y eksenine göre simetride y koordinatı değişmez, x koordinatının işareti değişir. Böylece C(-3, 4) olur.  Şimdi B(3,-4) ve C(-3,4) noktaları arasındaki uzaklığı, uzaklık formülü ile hesaplarsak: Uzaklık =√[(-6)² + 8²)]=√[(36 + 64)] =√100 =10 Böylece B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 br olur. 

Noktanın noktaya göre simetrisi

Bir noktanın bir noktaya göre simetrisi matematiksel olarak şöyle tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) olsun. A noktasının O noktasına göre simetriği A′(x′, y′) noktasıdır. Bu simetri tanımlamasını günlük dilde ifade edersek; bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, o noktanın simetri alınan noktanın tam karşı tarafına eşit uzaklıkta olarak geçmesi demektir.   

A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) verildiğinde O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktasıdır. Bu nedenle A ve A′ noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması, O noktasının koordinatlarına eşittir.  Buna göre orta nokta tanımından, A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması a’ya, ordinat koordinatlarının ortalaması ise b’ye eşittir. Buradan A′ noktasının koordinatları ortalama tanımından hesaplanır ve sonuç olarak; A(x, y) noktasının O(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a − x, 2b − y) olur. 

Örneğin A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′ noktası olsun. O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktası olduğuna göre A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması 1’e, ordinat koordinatlarının ortalaması 4’e eşit olmalıdır. Bu durumda A′ noktasının apsis değeri 2·1 − 3 = −1, ordinatı ise 2·4 − (−2) = 10 olur. Böylece A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′(−1, 10) noktası olur.

---

Noktanın noktaya göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:
A(2,5) noktasının B(4,3) noktasına göre simetrisi A'(6,1) olur.
C(-3,7) noktasının D(-1,2) noktasına göre simetrisi C'(-5,-3) olur.
E(-4,-6) noktasının F(-2,-2) noktasına göre simetrisi E'(-6,-10) olur.
G(3,-5) noktasının H(1,-1) noktasına göre simetrisi G'(5,-9) olur.
T(2,0) noktasının J(5,0) noktasına göre simetrisi T'(-1,0) olur.
K(0,4) noktasının L(0,1) noktasına göre simetrisi K'(0,7) olur.

 

Örnek: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetriği B, B noktasının (7, 2) noktasına göre simetriği C ise bu C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetrisi B noktasıdır. Orijine göre simetri için, noktanın x ve y koordinatlarının işaretleri değişir. Böylece B noktası (2, −1) olur. Şimdi B(2, −1) noktasının (7, 2) noktasına göre simetrisini, yani C noktasını bulmamız gerekiyor. Bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, simetri noktası ile verilen nokta arasında doğru üzerinde olur ve bu doğru üzerindeki noktaların aralarında eşit uzaklık vardır. B ve C noktalarının ortası, verilen 7, 2 noktasıdır. Buna göre orta nokta formülünü kullanırsak: Orta nokta = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) Burada orta nokta (7, 2), B noktası (2, −1), C noktası (a, b) olarak alınırsa;  apsisler için orta nokta hesabı (2 + a)/2 = 7 ve ordinatlar için orta nokta hesabı  (−1 + b)/2 = 2 olur.  Bu iki denklemden a ve b değerlerini bulalım: (2 + a)/2 = 7 → 2 + a = 14 → a = 12 ve diğer denklem yardımıyla  (−1 + b)/2 = 2 → −1 + b = 4 → b = 5 bulunur.  Böylece C noktası (12, 5) olur. C noktasının koordinatları toplamı ise 12 + 5 = 17 olur.

Yansıma ve Özellikleri

Yansıma,homojen bir ortam içerisinde ışık ışınlarının yansıtıcı bir yüzeye çarparak yön ve doğrultu değiştirip geldiği ortama geri dönmesi olayına denir. Yansımanın genel örnekleri ışık, ses ve su dalgalarıdır. Düzlem aynalarda yansıma, saydam ortamda hareket eden ışığın herhangi bir yüzeye çarpıp geri dönmesi olayıdır. Yansıma olayında ışığın hızı, frekansı, rengi yani hiçbir özelliği değişmez. Yansımada cismin sadece hareket yönü değişir.

Yansıma tam yansıma, düzgün yansıma ve dağınık yansıma olmak üzere üçe ayrılır. Kürelerin görüntüsü hem yere hem de birbirlerine yansır. 

Düzgün ve Dağınık Yansıma: 

Düzgün Yansıma Işınların geldiği yüzey düzgün olursa, bu yüzeyin her noktasında normaller birbirine paraleldir. Şekildeki gibi gelen ışınların gelme açıları birbirine yansıma açıları da birbirine eşit olur.

Dağınık Yansıma Eğer yüzey düzgün değilse, yüzeyin bütün noktalarındaki normaller farklıdır. Yüzeye paralel gelen ışınların gelme açıları yansıma açılarına eşit olmaz. Bu yansımaya dağınık yansıma denir.

Yansıma Kanunları 

Gelen ışın, yansıyan ışın ve yüzeyin normali aynı düzlemde bulunur. Gelen ışının normalle yaptığı açı, yansıyan ışının normalle yaptığı açıya eşittir. Normal doğrultusunda gelen ışınlar, geldikleri doğrultuda geri yansırlar. Bir düzlem aynaya gelen ışınla yansıyan ışın arasındaki açının yarısı gelme açısına veya yansıma açısına eştir. 

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi) 

Geometrik cisimlerin Simetrisi

Sözlük anlamı olarak simetri: [Simetri, ilki, belirsiz bir mükemmelik veya güzeliği yansıtan, bir muntazamlık veya estetik olarak hoşa giden bir orantılılık ve denge duygusu olarak; İkincisi kesin ve iyi tanımlanmış biçemsel sistemin kurallarına (geometri, fizik vb.) göre gösterilebilen veya ispat edilebilen bir denge ve orantılılık kavramı veya "kendine benzeşme örneği"' olarak tanımlanır. Simetri sözü aynı zamanda düzen, estetik ve güzellik kavramlarını da çağrıştırmaktadır. Kainatta pek çok yerde simetrik düzene sahip pek çok ayrıntıyı görebiliriz. Doğa yasalarında, canlı formlarında, yer yüzü şekillerinde, bitkilerde, sonradan insan eliyle üretilmiş eşyalarda, bilim ve sanat gibi pek çok alanda simetriye sahip şekil ve kavramlarla karşılaşmak mümkündür. Simetri, esasında bir denge unsurudur. Simetri hakkında yazılmış bir makalede şu ifadeler dikkat çekicidir. 

"Sonuç olarak söyleyebiliriz ki, simetri bir denge meselesi olmakla, mevcut olmanın temel taşlarından, vazgeçilmez şartlarından biridir. Nereye göz atarsak, mutlaka simetriyle, simetrinin bir tezahür formuyla karşılaşırız. İster göklerde uçan kuşlar, ister deryalarda yüzen balıklar, isterse de ip üzerinde oyun çıkaran cambaz olsun; hepsinin statik-donuk veya dinamik-aktif denge-simetrisinin izlerini taşıdığına tanık oluruz. “Anladığım kadarıyla, fizikçilerin tüm apriori hükümlerinin kaynağı simetridir”. Bu sözler, simetri alanında uzun yıllar söz sahibi olmuş ve hayatta olmamasına rağmen yine de söz sahibi olmaya devam eden, ender rastlanan matematikçi-pedagog Hermann Weyl’e aittir...Son olarak tüm bu olayların merkezinde ve de kendisine layık olan yükseklikte yer alan insana geldiğimizde, demek lazım ki, onun da doğanın bir parçası olarak belli simetri özellikleri vardır elbette. Bunların bazılarını hayatta kazandığımız halde, büyük çoğunluğuna diğer canlılar gibi doğuştan sahip oluruz...Canlı varlıklar simetri özelliğine sahiptir; yaşamları boyu bu simetriyi, bir başka deyişle sahip oldukları bu düzeni korumaya çalışmaktadırlar...Sonuç olarak, simetri denilen şey, bildiğimiz-bilmediğimiz tüm nesneleri kapsayabilen potansiyel ve güce sahiptir.. 

(İsmihan Yusubov, Doğanın kalite mührü “simetri” üzerine, Sakarya Üniversitesi, 2007, https://bilimvegelecek.com.tr/index.php/2004/03/01/doganin-kalite-muhru-simetri-uzerine/)