Newton-Raphson yöntemi (Yaklaşık Karekök)

Newton-Raphson yöntemi ile kareköklü ifadenin yaklaşık değerini hesaplamak mümkündür. Karekök hesaplamalarında pratik olarak kullanılan Babil yöntemi olarak izah ettiğimiz yaklaşık değer metodu, esasında türevden ortaya çıkan durumun özel halidir. Newton, Babil yöntemini türev kullanarak geliştirmiş ve Josep Raphson (Bkz. Joseph Raphson) ise metodu daha basit ve kullanışlı bir forma dönüştürmüştür.

Karekök Hesaplama (Babil Yöntemi)

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini hesaplarken çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Bu yöntemlerden biri çok eski zamanlardan günümüze ulaşmış Babil Yöntemi (Babylonian method)dir. Bu yöntem bir sayının karekökünü yaklaşık olarak bulmada çok hızlı sonuç üreten bir yöntemdir. Hesap makinelerinde sıklıkla kullanılır. Babil Yöntemi, bir sayının karekökünü bulmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Bu yöntemde önce karekök için yaklaşık bir değer seçilir. Daha sonra yapılan işlemlerle bu değer giderek daha doğru hale getirilir. Babil Yöntemi olarak bilinen bu yöntem, daha sonraki zamanlarda Newton-Raphson tarafından genelleştirilmiştir. (Bkz. Newton Raphson Yöntemi)

 

Örneğin 10 sayısının karekökünü bulalım. 3 × 3 = 9 ve 4 × 4 = 16 olduğu için √10 sayısının 3 ile 4 arasında olduğu anlaşılır. İlk tahmin olarak 3 alınabilir. İlk adımda 10 sayısı 3’e bölünür: 10 / 3 = 3.3333 olur. Sonra bulunan değer ile ilk tahminin ortalaması alınır: (3 + 3.3333) / 2 = 3.1667 sonucu bulunur. Yeni tahmin artık 3.1667 olur. İkinci adımda: 10 / 3.1667 = 3.1579 elde edilir. Önceki bulunan değerle birlikte aritmetik ortalama alınır: (3.1667 + 3.1579) / 2 = 3.1623 olur. Üçüncü adımda: 10 / 3.1623 = 3.1623 olur. Tekrar ortalama alınır: (3.1623 + 3.1623) / 2 = 3.1623 elde edilir. Sonuç olarak: Her adımda sonuç gerçek karekök değerine biraz daha yaklaşır. Hata payı gittikçe azaltılarak istenen minimum değere gelinceye kadar işlem tekrar edilir. Birkaç tekrar sonunda yaklaşık sonuç elde edilir: 10 sayısının yaklaşık karekök değeri√10 ≈ 3.162277 olarak hesaplanır.

 

Babil yönteminin temel mantığı, tahmin ile bölme sonucunu dengeleyerek en doğru değere yaklaşmaya çalışmaktır. Tahmin büyük olduğunda bölme sonucu küçük çıkar, tahmin küçük olduğunda ise bölme sonucu büyük çıkar. Ortalama almak bu farkı azaltır ve daha doğru bir sonuç verir.

Başka bir örnek verelim: 

İflas Mekanizması: Kumar ve Bahis

İslam’da kumar ve bahis işleri; açık ve net biçimde yasaklanmıştır. Kumar; birilerinin  kazanıp diğerlerinin kaybetmesi esasına dayalı olarak ustaca kurgulanmış, Şeytan işi pislik bir oyundur. Kumar; kin, nefret, düşmanlık ve intikam duygularını körükleyen zararlı bir alışkanlık olup kesinlikle haram kılınmıştır. Kumar, kişinin akıl ve ruh sağlığını bozan, aile huzurunu yok eden, kazanma hırsıyla bencil ve menfaatçi insanlar yetiştiren bir hastalıktır. Kur’an-ı Kerim'de, kumarın haram olduğu şöyle aktarılır: “Ey iman edenler! İçki, kumar, dikili taşlar ve fal okları ancak şeytan işi birer pisliktir. Bunlardan kaçının ki kurtuluşa eresiniz. Şeytan, içki ve kumarla, aranıza düşmanlık ve kin sokmak; sizi Allah’ı anmaktan ve namazdan alıkoymak ister. Artık vazgeçtiniz değil mi?" (Maide Suresi, 90-91) Kumarın yasaklanmasının temel gerekçeleri arasında haksız kazanç elde etme, emek olmadan başkasının malını alma, toplumsal huzursuzluk oluşturma, boşa zaman harcama ve insanı bağımlılığa sürükleme gibi çeşitli unsurlar yer alır. Bu yönüyle kumar, sadece bireysel bir eğlence ve oyun değil, aynı zamanda ferdi ve toplumsal zarar doğuran, yıkıma yol açan bir davranış biçimidir. 

İslam ahlakına göre meşru kazanç; iş gücü, emek, üretim ve adil ticaret yoluyla elde edilmelidir. Kumar ise belirsizlik, haksız kazanç, aşırı risk ve şansa dayalı menfaat içerdiği için bazı devletlerde yasal kabul edilse bile dinen haramdır, meşru kabul edilmez. Bu nedenle İslam hukukunda kumardan elde edilen gelir helal sayılmaz ve kumar, bahis, şans oyunları gibi faaliyetlere yaklaşmamak müminler için elzemdir. Kumardan uzak durulmasındaki amaç, bireyin hem maddi hem de manevi olarak korunması, ahlaki olarak saygın bir yapının oluşturulması, toplumda güven ve adaletin sürdürülmesidir. İsmi ve cismi ne olursa olsun, gerçek hayatta oynanan ya da sanal dünyada, dijital platformlarda, telefon uygulamalarında veya bunlara benzer çeşitli araçlarla oynanan her türlü bahis, kumar ve iddia gibi oyunlar, yasal olsun ya da olmasın kumardır ve bunların her çeşidi de haramdır. Zira her yasal olan, her hak olan meşru değildir, helal değildir. Dolayısıyla kazananların kaybedenlerden haksız kazanç elde ettiği oyunların tamamı kumardır, haramdır. At yarışları, futbol, basketbol gibi oyunlara dayalı bahisler, her türlü iddialar, slot makineleri, kağıt oyunları, bütün şans oyunları, yılbaşı, özel gün ve haftalar vesilesiyle çekilen piyangolar, kazı kazan, sayısal loto ve şans topu gibi adı ne olursa olsun buna benzer tüm oyunlar kumardır, haramdır. Dijital mecralarda oynanan tüm bahisler, okey, tavla platformlarında kazanılan paralar ve ödüller kumardır, şeytan işi pisliklerdir. 

Bir hasret kelimesi "Hiraeth"

Okuduğum bir yazıda daha önceden hiç duymadığım bir kelime karşıma çıktı. "Hiraeth..." İnsanlar, sadece bu kelimeyi başka bir şey yazmadan sosyal medya "profil ve durum" sözlerinde yazıyormuş. Aynen böyle; üç nokta ile birlikte yazılmış halde, tek başına... Sanki bir şeylerle daha meramını anlatmaya devam edecek gibi ama "söylemeye gerek yok" veya "dermanım da yok" der gibi kısa ve öz. Anlamını bilmiyordum, bunu bir insan profiline neden yazar diye merak ettim. Sözlüklerden araştırdım biraz. Sözlüklerde "Geri dönemeyeceğiniz bir yer için bir ev/yurt hasreti, geçmişinizin kayıp yerleri için nostalji ve keder, sıla özlemi,gurbet hatırası hiç var olmamış veya hiç olmayacak bir şeyin özlemini çekmek" gibi açıklamalar yazıyor. Hiraeth; Galce'de bir kelimeymiş. Kelime açıklamasında; “hir” uzun anlamında bir sıfat ve eski bir kök olan “aeth” gidiş/ayrılış kelimelerinden türemiş bir isim. "Uzun ayrılık" gibi bir kelime manası var. Esasında geçmişe duyulan derin özlem ve köklere ya da artık var olmayan bir yere duyulan büyük hasret manasına geliyormuş. Daha farklı yerel bir anlamı var mı bilmiyorum ama bu haliyle bile bayağı dokunaklı bir kelime. Hiraeth, genellikle İngilizce’de sığ bir kelime olan "nostalji"ye veya Portekizce’de "saudade"ye çok benzetilmiş. 18. ve 19. yüzyıllarda(Wales) Galler’den birçok insanın, geçim sıkıntısı, ağır çalışma şartları, kültürel baskılar ve savaşlar gibi nedenlerle yurtlarını terk etmek zorunda kaldığı rivayet edilir. 18. ve 19. yüzyıllarda Galler’in kırsal bölgelerinde nüfus hızla artmış, topraklar giderek daha küçük parçalara bölünmüş ve bu durum birçok ailenin geçimini sağlayamaz hâle gelmesine yol açmış. Özellikle sanayi döneminde artan işsizlik ve zor yaşam koşulları, Galler halkını daha umutlu bir gelecek arayışıyla ABD, Kanada, Avustralya,.. gibi uzak diyarlara yönlendirmiş. İngiltere krallığının artan siyasi baskıları, özgürlüğüne düşkün Galler halkını yormuş ve böylece farklı ülkelere göç etmişler. O zamanlarda yalnızca ekonomik sebepler değil, dil ve kimlik üzerindeki baskılar da bu göç kararlarında etkili olmuş; böylece insanlar hem daha iyi bir hayat hem de kültürlerini özgürce yaşatabilecekleri bir ortam aramışlar. İşte bu aarayışın sembolü olmuş "Hiraeth".

 

İmsak tartışmalarının matematiği

Ramazan ayı; sabrın, paylaşmanın ve maneviyatın en yoğun şekilde hissedildiği mübarek bir zaman dilimidir. Bu ayda insan hem bedenini hem de ruhunu terbiye eder; ibadetle, dua ve güzel niyetlerle kendini yeniler. Oruç, insana irade gücü kazandırırken aynı zamanda zamanı daha bilinçli kullanmayı öğretir. Bu nedenle Ramazan-ı Şerif bir yenilenme vakti olup, ömrün kalan günlerine enerji yüklü olarak başlamak için büyük bir fırsattır. Oruç, bu ayın en önemli hususiyetidir. "(O sayılı günler), insanlar için bir hidayet rehberi, doğru yolun ve hak ile batılı birbirinden ayırmanın apaçık delilleri olarak Kur’an’ın kendisinde indirildiği Ramazan ayıdır. Öyle ise içinizden kim bu aya ulaşırsa, onu oruçla geçirsin. Kim de hasta veya yolcu olursa, tutamadığı günler sayısınca başka günlerde tutsun. Allah, size kolaylık diler, zorluk dilemez. Bu da sayıyı tamamlamanız ve hidayete ulaştırmasına karşılık Allah’ı yüceltmeniz ve şükretmeniz içindir." (Bakara Suresi, 185) ayeti kerimesi ile Allah, orucu müslümanlara emretmiştir. Orucun vakti ve mahiyeti de yine başka bir ayette "...Allah'ın sizin için takdir ettiğini dileyin. Tan yerinde, beyaz iplik siyah iplikten sizce ayırdedilinceye kadar, yiyin için, sonra orucu geceye kadar tamamlayın..." (Bakara Suresi, 187) şeklinde aktarılmıştır. Buradaki ayeti celilede müthiş bir teşbihle, "beyaz iplik-siyah iplik" biçiminde gece ile gündüz arasında vakit tayini yapılır. Bu ayetin nüzulundan sonra sahabelerden Adiy b. Hâtim'in (r.a) şöyle dediği rivayet edilir. “Bir siyah diğeri beyaz iki tane ip alıp, bunları yastığımın altına koydum. Sahurda bunlara bakıyor, birbirinden ayırdedilecek kadar tan yeri ağarınca yemeği içmeyi bırakıyordum. Sabah olunca, Resulullah (s.a.v)'a gidip yaptığım şeyi ona anlattım." Rasulullah (s.a.v) de şöyle buyurdu: "Senin yastığın ne kadar da büyükmüş! Ayette kastedilen, gündüzün beyazlığı ve gecenin siyahlığıdır. Bunları bir yastığın altına nasıl sığdırırsın'!" (Buhârî, Savm, 16) buyurmuştur.  Bu hadis-i şerifte Rasulullah (s.a.v) bir yanlış anlamayı düzeltmiş ve oruç için vaktin nasıl olacağını yani imsak zamanını tayin etmiştir. Oruca başlama vakti olan imsak, aynı zamanda sabah namazının kılınma vaktinin de başlangıcını teşkil edeceğinden bu vaktin belirlenmesi, oldukça mühim bir meseledir. Doğal olarak böyle önemli bir vakit, müslümanlar arasında ihtilaflara neden olmuş ve bu vesileyle üzerinde çeşitli ilmi çalışmalar yapılmıştır. Vakit hassasiyeti sebebiyle müslüman ilim adamları matematik ve astronomide ciddi ilerlemeler katetmişlerdir. 

Konuyu matematiksel hesaplamalar ve örneklerle günümüz uygulamaları eşliğinde biraz izah etmeye çalışalım.

Yazı içeriği kapsamlı bir araştırma yazısı olduğundan uzundur. PDF versiyonunu indirip okuyabilirsiniz.