The Geometer's Sketchpad

1980 yılında Eugene Klotz ve Doris Schattschneider tarafından geliştirilen daha sonra ülkelerinde ulusal bilim vakfı desteğiyle günümüze gelen The Geometer's Sketchpad yazılımı günümüzde en çok tercih edilen matematik/geometri yazılımlarından. Matematik ve Geometri kavramlarını uygulamalı animasyon sunumlar haline getirilebilen yazılımla matematik ve geometri öğretiminde görsel öğretim sağlanabiliyor.

Geometri yazılımları arasında ilgi çekebilen güzel ve kullanışlı bir yazılım. Resmi sitesinden inceleme yapabilirsiniz. http://www.dynamicgeometry.com/  programın  student versiyonu da dahil tüm sürümleri ücretli olarak sunulmaktadır. Örneklem için bakabilirsiniz. 

http://www.keycurriculum.com/products/sketchpad

The Geometer's Sketchpad Tanıtım Yazısı: 
The latest major version of The Geometer's Sketchpad is version 5, first released in November 2009. The latest minor update is 5.05, which is a free update for version 5 users. If you already use version 5, when you download the latest version it will continue to use your existing license. For more details on minor updates, consult the Release Notes.

Newton, Doğal Felsefenin Matematiksel İlkeleri

"Saltık, gerçek, ve matematiksel zaman, kendiliğinden, ve kendi doğasından, dışsal herhangi bir şey ile ilişki olmaksızın eşitlikle akar, ve bir başka adla süre olarak adlandırılır; göreli, görünürde, ve sıradan zaman ise sürenin devim aracılığıyla duyulur ve dışsal (ister doğru ister biçimdeş-olmayan olsun) bir ölçüsüdür ki, genellikle gerçek zamanın yerine kullanılır; örneğin bir saat, bir gün, bir ay, bir yıl gibi." 

"Saltık uzay, kendi doğasında, dışsal herhangi bir şey ile ilişki olmaksızın, her zaman benzer ve devimsiz kalır. Göreli uzay saltık uzayların devinebilir bir boyutu ya da ölçüsüdür ki, duyularımız onu çizimler açısından konumu yoluyla belirler, ve kabaca devimsiz uzay yerine alınır; örneğin yeryüzü açısından konumu yoluyla belirlenen bir yeraltı, atmosferik, ya da göksel uzayın boyutu böyledir. Saltık uzay ve göreli uzay böylece betide ve büyüklükte aynıdırlar; ama her zaman sayısal olarak aynı kalmazlar."

Newton, Doğal Felsefenin Matematiksel İlkeleri, İdea Yayınları Çev. Aziz Yardıml, Baskı 1997, Sayfa 207

Steiner - Lehmus Teoremi

İki iç açıortayı, uzunlukça eşit olan bir üçgen, ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar olmayan bir üçgenin iki dış açıortay uzunluğu eşit olabilir. (Steiner-LehmusTeoremi, dış açıortaylar için geçerli değildir)
 

Bu teoeremin ispatı yönünde bir çok teşebbüs başarısız kalmışsa da, 1840 yılından bu yana teoremin 60 kadar başarılı ispatı verilmiştir. 

Bir ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun. BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarını |AP|=|AQ|=|BC| olacak şekilde alalım. APQ ikizkenar üçgeninde [IA] açıortay doğrusu, aynı zamanda yükseklik ve kenarortay işlevi görür. Burada APQ üçgeni ikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve buna göre burada |IQ|=|IP| uzunlukları birbirine eşit olur. P ve Q noktalarından, [BE] ve [CF] açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q' olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan, buradaki üçgen alanları A(PEA)=A(BEC) eşit olur.

Bulunan A(PEA)=A(BEC) alanlar eşit olduğundan belirtilen alanları farklı üçgenlerin alanları toplamı olarak ifade ettiğimizde: 

A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) yazabiliriz. Benzer şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) alanları da birbirine eşittir. |BE|=|CF| olduğundan |PP'|=|QQ'| olmalıdır. Şunu biliyoruz; eşlik teoremlerinden IQA ≅ IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca yine eşlik teoreminden PIP' ≅ QIQ' olduğundan hareketle şunu söyleriz; s(QCI)=s(PBI) açıları eşit olmalıdır. Bu eşitlik de zaten s(CBA)=s(BCA) demektir. Bu da üçgenin taban açılarının eşitliği anlamına gelir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 

 

Teoremin bir başka ispatı da aşağıdaki gibi çelişki yöntemi ile verilebilir. Buna göre ABC üçgeni üzerinden iç açıortaylar oluşturacak şekilde dışında bir C' noktası alınarak, çelişki yöntemiyle teorem ispatlanır.

Kainatı Bilmemiz Matematikle Mümkündür

"Fıkhı yani ne yapacağımızı Arapçasız bilemeyiz ama nasıl yapacağımızı da Matematiksiz bilemeyiz. Oysa ne yapmak istediğimizi bilmemiz yeterli değildir, nasıl yapacağımızı da bilmemiz gerekir. Arapça da Matematik de zor öğrenilecek ilimler değildir ama çalışmak ister. İşte, müçtehit olacak kimse Arapçayı bilen kişi olacak ama Matematiği de bilen kişi olmalıdır. Matematikle tekniği, Arapça ile Fıkhı yani hukuku öğrenecektir. Eskiden yapılacak işler çok azdı, bilinecek şeyler çok azdı. İnsanın müçtehit olması için o zaman bilinen bütün ilimleri öğrenmesi gerekiyordu. Hâlbuki şimdi işler o kadar çoğalmıştır, bilinecek o kadar şeyler vardır ki, bir insan ömrü boyunca milyonda birini bile öğrenemez. Yapılacak tek şey herkesin kendisine lazım olanları öğrenmesidir. Peki, bize ne lazım olacağını nasıl bileceğiz? Bilemeyiz. Çünkü hayat tesadüflerle yürür. Nerede ne ile karşılaşacağınızı bilemediğiniz gibi, karşılaştığınız şeyin dahi ne olduğunu bilemezsiniz. Allah bunun için kolaylık sağlamıştır.

 

Bir şeyle karşılaştığınız zaman ne yapacağınızı size “Fıkıh” öğretir, orada o zaman öğretir; nasıl yapacağınızı da size “teknik” öğretir, orada öğretir. Bunun için yazılmış fıkıh ve teknik kitaplar ve projeler vardır. Onları okuyarak ne yapacağınızı ve nasıl yapacağınızı bilebilirsiniz. Yani siz her şeyi değil sadece size lazım olanları öğrenme imkânına sahipsiniz. İşte, sizi her şeyi öğrenmekten kurtaran, size nerede ne zaman ne öğreneceğinizi öğreten ilim Matematik ile Usul’dür. Usul ne yapmanız gerektiğini yani Fıkhı öğretir. Matematik de nasıl yapacağınızı yani tekniği öğretir. Nasıl öğretir? Öğretir çünkü Arapça bilen bütün Fıkıh kitaplarını okuyup anlayabilir.

Matematik bilen de bütün teknik kitapları okuyabilir ve projeleri anlayabilir. İşte bu iki ilim sizi her şeyi bilmekten kurtaracaktır. Arapçada neler öğreneceğimizi yazmıştık.

Bugün de Matematikte neleri öğreneceğimizi kısaca anlatacağız.

1) Birimleri öğreneceğiz. İnsan bir birimdir. Yumurta bir birimdir. Metre, kilo, sıcaklık derecesi birer birimdir.

2) Saymayı öğreneceğiz. Birimlerden bir yerde kaç tanesini bilmek saymaktır. Sepette 15 yumurta vardır diyebilmek saymaktır. Saymak paketlemektir.

3) İşlemleri bilmektir. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma, kök alma ve logaritmasını bilme işlemleri bilmedir. 5’in 3 ile üssü 125 eder, 5’i 3 defa birbirine çarpma demektir. 125’in üçe göre kökü yani 5’i bulmak kök almadır. 3’ü bulmak ise logaritmasını bulmaktır.

4) Denklemleri oluşturmaktır. 5 ile 7’inin çarpımı ile 15’in toplamı 50 eder dediğimiz zaman burada bir denklem kurmuş oluruz.

5) Değişmeyi incelemektir. Kaç kilo yakıt yakarsam odamı bir gün akşama kadar 15 derece ısıtırım. Yani yakıtın tükenmesi ile odanın ısınması arasında ilişki vardır. Bir şeyin değişmesi, başka bir şeyi nasıl değiştirir? Bunu inceleyen bölüme analiz denir.

6) İhtimaliyat. 100 hastanın başı ağrıyor. İlaç olarak aspirin veriyoruz. İyileşiyorlar ama hepsi değil de %70’i iyileşiyor. Onları taburcu ediyoruz. 30 hastayı ise hastanede tedavi için yatırmamız lazım. O halde olasılık hesaplarını bilmezsek kaç yatağa ihtiyacımız olduğunu bilemeyiz.

7) Seriler ve diziler. Bir çemberin çapa bölümü hiçbir zaman bir ondalık sayı ile ifade edilemez. Tamı tamına bulmamız mümkün değildir. Ama istediğimiz kadar yaklaşabiliriz. Bu tür sayılar çoktur. Sinüs, kosinüs bu tür serilerdir. Bunun da ilmi vardır.

8) Bilgisayar matematiği “var” veya “yok”a dayanır. Sıfır ve 1’i elektrikli makinelere öğretir, ondan sonra istediklerimizi yaptırabiliriz. Bunu bilgisayar matematiği ile yapabilmekteyiz yahut mantık matematiği ile yapmaktayız. Demek ki Fıkıhta ulum-ı semaniye (sekiz ilim) olduğu gibi Matematikte de ulum-ı semaniye vardır. Aslında bunlar analogdur. Biri niteliği inceler, diğeri niceliği inceler.

Bizim müçtehit adaylarına bu 16 ilmi öğreteceğiz. İnsanlık bu ilimleri en az beş bin yıl çalışarak elde etti. Bunları kendi kendimize öğrenemeyiz. Büyüklerimiz bize öğretti, biz de gençlere öğreteceğiz. Bu ilimler müçtehit için gereklidir ama yeterli değildir."

Reşat Nuri Erol -06/03/2013

http://www.milligazete.com.tr/koseyazisi/Neden_MATEMATIK/14003#.UTdUeda-2So

Godfrey Hardy, Bir Matematikçinin Savunması

Matematik yalnızca bir araç mıdır? "Gerçek Matematik" nedir? Üretkenlik dönemini geride bıraktığını ve artık matematik "yapmak" yerine onun hakkında yazmaktan başka çaresi olmadığını alçakgönüllülük ve hüzünle ifade eden İngiliz matematikçi Hardy, bu kitabıyla, belki de üretkenliğin en sıcak ürünlerinden birini sunuyor! 

Godfrey Hardy, Bir Matematikçinin Savunması, Baskı 1994, Sayfa 115, Çevirmen Nermin Arık,  TÜBİTAK YAYINLARI 

1935-40’lı yıllardaki Cambridge ve Oxford üniversitelerinin yoğun entelektüel atmosferini canlı bir biçimde aktarmaktadır. Ayrıca, doğal bir matematik dehası olan ama çok yetersiz bir matematik eğitimi görmüş olan Ramanujan adlı Hintli bir kâtibin Hardy tarafından keşfinin ve bu iki farklı insanın kısa ancak verimli işbirliğinin öyküsü de anlatılmaktadır. Yazar Hardy kitabında; matematikte, yaşın çok önemli olduğunu, bir matematikçinin en önemli yıllarının 40 yaşına kadar olduğunu, 50 yaşın üzerindeki matematikçilerin matematiğe katkıda bulunamadığını hatırlatmaktadır. Yaşının ilerlemesiyle üretkenliğinin azaldığını kabullenen ve bu nedenle matematik yapmak yerine matematik hakkında yazmak gibi ikinci sınıf bir iş yapmaya kalkıştığını belirtmiş, böylece matematiği savunurken kendi matematiğinden daha kalıcı ve değerli bir yapıt ortaya çıkarmıştır. Hardy bu kitabında, gençlere de seslenerek hırslı olmalarını ve bunun kendileri için bir görev olduğunu belirtmiştir. Hırsın bir tutku olduğunu, yerine göre farklı şekillerde olabileceğini, gerçekleştirilmiş olan her türlü büyük işin ardında itici bir gücün var olduğunu anlatmaktadır.  Bir araştırma için gerekli olan başlıca güdüler; merak ve başarıdır. Bu güdüler matematik kadar şanslı olamaz. Çünkü etkili teknikler, incelikler, kalıcı olanlar yine matematiktedir.Yazar matematikçilerle “diğer” insanların beyin işlevlerinin farklı olduğu, matematik yeteneğinin en özel yeteneklerden biri olduğu savını desteklemektedir.
Matematikçi için en güzel işlerden birisi kendi konusunu, deneyimlerini ve matematikle uğraşmaktan aldığı hazzı ve bu hazzı matematikle uğraşmayanlara aktarmaya çalışmak için çabalamaktır. Matematiğin savunmasını yaparken yararları ne olursa olsun övgüyle bahsedilemez. Çünkü binlerce tarzda buluşlar ortaya konmuştur. Yazar matematiği savunurken biraz da konuyu okuyanları etkilemek için matematiğin günlük hayatta daha çok tanınan mühendislik ve fizik gibi alanlardaki uygulamalarından örnekler vermiştir. Bir matematikçi için geleceğin ona haksızlık yapmasından korkmasına gerek yoktur. Matematikçilerle, fizikçilerin bakış açıları arasında, genelde sanıldığından çok daha az fark bulunduğunu, en önemlisinin matematikçilerin gerçek ile çok daha fazla ilişkisinin olduğunu söylemektedir. 

Matematik hangi bölümlerde yararlıdır? Okul matematiğinin tümü aritmetik, cebir gibidir. Bundan başka okul matematiğinden daha ileri ve geliştirilmiş olan üniversite matematiğinin genişçe bir bölümü; elektrik gibi fiziksel ve ağır bazı yönleri yararlıdır. Buradan şunu çıkarabiliriz; üst düzey bir mühendis veya vasat bir fizikçi için gerekli olan matematik yararlıdır. İnsanların yaşamları, günlük işleri, toplumun örgütlenmesi üzerinde muazzam etkisi olan matematik dışında sıradan kişilerce kullanılan matematik önemsenmeye değmez. Oysa kitapta yazar, matematiğin özünü, güzelliğini ve derinliğini aldığı sanattan, edebiyattan, satrançtan örneklerde vererek yalın fakat işlek bir dille anlatmayı başarıyor. Matematiğin savaş üzerindeki etkilerini de düşünmek durumundayız. Gerçek matematikçilerle ilgili olarak rahatlatıcı bir sonuca kolaylıkla varabiliriz. Gerçek matematiğin savaş üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Öte yandan önemsiz matematiğin savaşta pek çok uygulama alanı vardır. Balistik uzmanlar; uçak tasarımcıları, matematiksiz yapamazlar. Buradan matematiğin yararlı olup olmadığı ya da hangi yönlerinin faydalı olduğu sorusu akla gelmektedir. Eğer yararlı bilgi, şimdi veya yakın bir gelecekte insanlığın maddi refahına bir katkısı olan bilgi ise, bu konuda entelektüel doyumun bir yeri olacaksa yüksek matematiğin bir bölümü yararsızdır. Bir matematikçi için, uyguladığı matematik bir sakinleştirici olabilir, o bütün sanat ve bilim arasında yalın ve ırak olandır. Matematiğin içeriği, derin düşünceye dalmak değil, üretken olmakla ilgilidir. Gerçekte matematikte daha popüler olan çok az konu vardır. Çoğu kişinin güzel bir melodiden zevk aldığı gibi birçok kişi de matematikten bir ölçüde hoşlanır. Matematiğe ilgi duyanların sayısı müzikle ilgilenenlerden fazladır. Müzik kitlelerin duygularını harekete geçirebilir. Hâlbuki satranç oyunu, briç, günlük gazetelerdeki bulmacalar bütün bu kitlelerin matematiğe olan ilgi ve takdirinin bir ifadesidir. Tıpkı bir ressam veya şair gibi bir matematikçi de kalıplar üretir. Matematikçinin kalıpları diğerlerinin kullandığı kalıplardan daha kalıcıdır. Bunun nedeni de düşüncelerden oluşmuş olmasıdır. Matematikçinin kalıpları da bir ressam veya şairin kalıpları gibi güzel olmak zorundadır.
Düşünceler ise renkler ve sözcükler gibi uyum içindededir. Bir bilim ve sanat dalındaki gelişme, insanların maddi olarak refahını artırıyorsa, buna yararlı diyebiliriz. Bunun için tıp, fizyoloji ve mühendislik evler ve köprülerin yapımına katkıda bulunarak insanların hayat standartlarını yükselttiği için yararlıdır. Matematiğin bu anlamda çok yararları vardır. Bir matematikçinin en güzel işlerinden birisi, kendi konusunu, deneyimlerini ve matematikle uğraşmaktan aldığı hazzı matematikçi olmayanlara aktarmaya çabalamaktır.

İtalyan mektebi ve Küreler Musikisi

İtalyan mektebi mensuplarına göre kâinat bir ahenkler bütünüdür. Dünya sistemi “kâinatın ocağı” ismi verilen mukaddes merkezî ateş etrafında dönen “10” adet semavî cisimden ibarettir. “Dünya da güneş etrafında hareket eden cansız cisimlerden biridir. Bu cansız cisimler muntazam kanunlar dairesinde hareket ederler, hareketlerinin neticesinde dolaştıkları esir dahilinde bir ses meydana gelir. Bu sese küreler musikisi denir. Bu sesler çok yüksektir. Biz bunu, yaratılışımızın zarifliği sebebiyle alamayız.” (Kranz, 34). Tabiatın evrensel aktif ilkesi Tanrıdır, ancak Pythagoras’a göre Tanrı, tabiatın bütün varlıklarında yayılmış olan ruhtur, insan ruhları da ondan elde edilmiştir (E. Barbe, 1986, 46).

Ruh kendiliğinden hareket eden bir sayıdır. Sayı ile, Pythagor zekayı anlıyor. Beden dağıldığı zaman ruh, yeniden Tanrı’ya döner eğer o temizse; temiz değilse, layık oluşuna göre ya bir vücudu canlandıracaktır ya da bir hayvan vücuduna yeniden dönecektir. Birtakım yalanlarla tenasuhu (ruh göçünü) savunan Pythagoras bir müddet kaybolduktan sonra benzi uçuk ve çirkin bir halde ortaya çıkıyor; cehennemden geldiğini, orada bazı şeyler gördüğünü, cisimlere girip çıktığını kendini dinleyen cahil halka anlatır (E. Barbe, 1986, 47). Aynı görüşü günümüzde savunanlar var. Ancak İslâm dini tenasuhu kesin olarak kabul etmez. İslâm’a göre her insanın beden ve ruhu sadece kendine aittir.

Pythagorascıların bilim alanındaki en büyük başarıları astronomide olmuştur. Antik Yunan dünyasında ilk defa bunlar, dünyayı evrenin merkezi olmaktan çıkarmışlar, onu küre şeklinde düşünmüşlerdir. Yerin, evrenin ortasında görünmeyen merkezî ateş etrafında döndüğünü söylemişlerdir. Böylece merkezde yanan ateşin yerine, güneşi koyarsak Kopernikus’un sistemine büsbütün yaklaşmış oldular. Pythagorascı anlayış, Platonculukta ve Descartes felsefesinde olduğu gibi, matematik ilmini dünyaya uygulayan tüm felsefelerde görülür.Bir sayı mistikliğine yol açtığı söylenebilir. Pythagorascılar mistik ve idealist oldukları için soyut kavramlar getirmiştirler.

 

 

Kaynakça:Felsefe Tarihi, Prof. Dr. Murtaza Korlaelçi, Prof. Dr. Celal Türer, Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim Merkezi, 2012, s.73

Pisagor ve İtalya Mektebi

Pisagor ve İtalya Mektebi M.Ö 580-500  Sisam  adasında  doğmuş  olan  Pythagoras, Küçük Asya ve Yunanistan’dan başlayarak eski kıtanın birçok ülkelerini gezmiştir. Fenikeliler,  Keldaniler,  Yahudiler,  İranlılar,  Hintliler,  Araplar  uğradığı  yerler arasındadır.  Mısır’da  eğitim  görürken  batınî  felsefeyi  öğrenmeye  çalışmış,  bu seyahatleriyle  zengin  bir  bilgi  hazinesi  elde  etmiştir.  Pythagoras  tam  olgunluk çağındayken  Polykrates’in  baskısından  kendini  kurtarmak  için  Güney  İtalya’daki Kroton  şehrine  göçtü  ve  orada  bir  topluluk  (tarikat)  kurdu.  Bunun  için  kurduğu mektebe  İtalyan  mektebi  de  denilir.  Sokrates  öncesi  en  uzun  yaşayan  mektep  de budur  (Gökberk,  1974,  37).  Bir  nevî  manastır  olan  bu  mektep  ikiyüz  sene  sonra Büyük İskender tarafından kapatıldı. Buraya  alınan  talebeler  beş  yıl  süreyle  sükunetle  durmaya  ve  sadece dinlenmeye  mecburdular.  Onlar,  Pythagoras’ı  görme  şerefine  ancak  bu  beş  yıllık hazırlık  eğitiminden  sonra  ulaşırlardı.  “Topluluğa kabul  edilerek  onun  kutsallık sınırına ortak edilenler, din ve ahlâkı tatmin edici ciddî bir hayat sürmeyi taahhüt ediyordu. (...) Ilımlılık, sadelik, zorlukla ülfet, beden ve ruhun sağlığı, tanrılara, ana babaya,  dostlara  ve  kanuna  karşı  kayıtsız  şartsız  bağlılık  ve  vefa  geniş  bir  şekilde nefse  hakimiyet  ve  boyun  eğme,  Pythagorascı  hayatın  temel  erdemleri  sayılırdı.” (Vorlander, 1927, 32). Pythagorascıların  dinî  cemaatlerinin  aynı  zamanda  siyasî  bir  yönü  de  vardı. Bunlar  birçok  İtalya  şehirlerinde  iktidarı  ele  geçirmişlerdir.  Halk  Pythagorascılara karşı ayaklanarak merkezlerini basmış ve 40 kadar Pythagorascıyı da öldürmüştür. Orfik  inançların  tesirinde  kalan  Pythagorascılar  tenasuha  (ruh  göçü/ reenkarnasyon)  inanırlar.  Tenasuh  nazariyesi,  bedenin  ölmesinden  sonra,  ruhun çeşitli varlıklar içinde, yeniden bu dünyaya geldiğini kabul eder. İnsanın bu dünyada yaşadığı hayatın değerine göre, ölümden sonra ruh, yeni bir varlık içinde, yeniden ortaya  çıkar.  Eğer  insan  bu  dünyada  suç  işlemiş,  aşağılık  bir  hayat  sürmüş  ise, ölümden sonra onun ruhu, aşağı bir hayvan, hatta bir bitki şeklinde ortaya çıkabilir.

Bu  nedenle  Pythagorascılar  et  ve  bazı  sebzeleri  (özellikle  baklagilleri)  yemekten kaçınır, kanlı kurbanlar kesmezlerdi. Hayvanlardan elde edilmiş hiçbir malzemeyi kullanmazlardı  (Birand,  1964,  16).  Onların  et  yememelerinin  sebebi  yakınlarının birine ait ruhun bu hayvan kalıbında yer alabileceği idi (Gökberk, 1974, 38). Cinayeti yasaklayan Pythagoras, insanları kolay ve rahat bir hayata alıştırmayı amaçlıyordu. Bunun  için  de  insanlar,  daima  kolaylıkla  bulabilecekleri  yiyeceklere  alışmalı, pişirmeye  mecbur  kalmamalıdır.  Sadece  su  içmekle  yetinmek,  vücudun  sıhhati  ve ruhun cevelanı için daha uygundu.

Pythagorascılar,  genellikle,  matematik,  astronomi  ve  tıp  ilimleriyle uğraşıyorlardı. Günümüz dünyası, geometri alanında halen, Pythagoras’ın dik üçgen bağıntısını  kullanmaktadır.  Bu  bağıntıya  göre  bir  dik  üçgende,  iki  dik  kenarın karelerinin  toplamı,  hipotenüsün  karesine  eşittir  (Russell,  108).  Pythagorascılar irrasyonel sayıları bulmuşlar ve telli musîkî aletleriyle de uğraşmışlardır. Pythagorascıların arche’si  sayıdır,  dolayısıyla  soyut  bir  kavram  antik  Yunan düşüncesinde  bir  kez  daha  arche  olmuştur.  Her  şeyin  özünde  bulunan  sayıdır. Dünyada  bulunan,  fizik  veya  metafizik  tüm  gerçekliklerle  ilk  on  sayı  arasında nispetler  vardır.  Her  sayı  belli  bir  şekle  karşılıktır.  Kare,  dikdörtgen  ve  pramit sayılardan  söz  ediyorlardı.  Alemin  özünü  sayılarda bulan  Pythagorascılara  göre, olguların  özünü  kavrayabilmek  için  ilkin  onların  temelindeki  matematik  esasların kavranması  gerekirdi.  Dolayısıyla  onlara  göre  bilgi,  matematik  düşünceden  ibaret görünüyordu (Birand, 1964, 17). Pythagoras’a göre tabiattaki her şey sayı yasaları çerçevesinde cereyan eder, ve sayılar tek ve çifttir. Tek sayılar bir başlangıca, bir ortaya ve bir sona sahip oldukları için tamdırlar. Bu sayılar temel olarak, olgunluk ilkesi tekliğe sahiptirler. Çift sayılar eksiktirler  ve  onlar  bölünmenin,  noksanlığın  ilkesi  olan  ikiciliğe  dayanırlar. Pythagorascıların  kendisiyle  yemin  ettikleri  dört  sayı  (tétractys),  birlik  (monade), ikilik  (dyade),  üçlük  (triade)  ve  dörtlük  (tétrad)  ten  oluşuyordu.  Bunların toplamından onluk (décade) meydana gelir. Onluk, birleşik sayıların en mükemmeli kabul  edilirdi.  Dört  sayı  nazariyesi,  astronomi,  psikoloji  ve  ahlâk  olaylarına  eşit olarak uygulanırdı (E. Barbe, 1986, 45-46). Pythagorascılara göre sayıların niteliği, insana vukuf kazandırır, her bilinmeyen ve her şüpheli şey hakkında insana yol gösterir, insanı aydınlatır. Eğer sayı ve onun mahiyeti  olmasaydı  eşyanın  kendisinden  veya  onların  nispetlerinden  kimseye  en cûzî  yön  bile  malum  olmazdı  (Vorlander,  34).  Bu  mektebe  göre  sayılar  bütün varlıkların ilkeleridir. Belli bir sayı belli bir niteliği ile adalettir, başka bir sayı ruhtur, başka  bir  sayı  akıldır  (Gökberk,  1974,  38-39).  “1” sayısı,  basitliği  sebebiyle  aklı gösterir. “4” sayısı, eşitin eşitle çarpımı olduğu için adaleti gösterir (Challaye, 1948,18). 5 evlenmeyi (zira 3+2=5 dir. İlk erkek sayının  ilk dişi sayı  ile birleşmesidir), 6 nefsi,  7  aklı,  sıhhati  veya  ışığı,  8  muhabbeti  veya  ihtiyat  ve  tedbiri  temsil  eder (Vorlander, 37).

Kaynak: Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim Yayınları Felsefe Tarihi, Murtaza Korlaelçi, 2012