Cosx=a ve Tanx=a Denklemleri ve Çözüm kümesi

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi yapılırken, birim çember üzerinden fonksiyonların aynı noktadaki açıların her ikisi birlikte alınır. Bölgelere göre değişen açılar aynı noktadaki değere eşit olduğundan genel çözüm kümesi istendiğinde, bütün bu açıları ifade edecek şekilde çözüm kümesi yazılır.

 

Ayrıca Bakınız:

 https://muallims.blogspot.com/2021/12/trigonometrik-denklemlerin-cozum-kumesi.html 

Sinx=a Denklemi ve Çözüm Kümesi

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi yapılırken, birim çember üzerindeki açıların trigonometrik fonksiyonlara göre aldığı değerler dikkate alınarak genel çözüm yapılır.Aşağıda verilen sinx denklemi için, sin fonksiyonu aynı değer için birinci ve ikinci bölgede iki farklı açıya sahiptir.Bu nedenle genel çözüm işleminde bu dikkate alınır.

Sinx=a tipindeki ve sinx=cosy tipindeki denklem çözümlerine bir örnek verebiliriz. Sin ve Cos denklemlerinde iki fonksiyon kendi aralarında dönüştürülerek yukarıda belirtildiği şekilde denklemin genel çözümü yapılır.

Ayrıca Bakınız:

 https://muallims.blogspot.com/2021/12/trigonometrik-denklemlerin-cozum-kumesi.html 

Ters Dönüşüm Formülleri ve İspatları

Ters dönüşüm formülleri çarpım şeklinde verilen trigonometrik formüllerinin toplam biçimine dönüştürülmesi için kullanılır. Burada yer alan formüller sinüs ve cosinüs için bulunmuş olan formüllerdir. Bu formüller bulunurken toplam ve fark formülleri kullanılarak ispat yapılır. Toplam ve fark formülleri alt alta yazılıp toplanıp/çıkarılarak ters dönüşüm formülleri elde edilir. Formüllerin ezberlenmesinden ziyade nerede nasıl kullanılacağının bilinmesi daha önemlidir. Örneğin ters dönüşüm formülleri, fonksiyonun grafik çiziminde periyot hesabı için çarpım biçiminde verilen bir soruda kullanılabilir. Çarpım biçiminde verilen trigonometrik ifade toplam biçimine dönüştürülerek ayrı ayrı periyotlar bulunur. Bulunan periyotların e.k.o.k hesaplanarak istenen fonksiyonun esas periyodu belirlenir.

Dönüşüm Formülleri ve İspatları

Dönüşüm formülleri trigonometride kullanılan, toplam durumundaki iki trigonometrik ifadeyi çarpım haline getirmeye yarar. Bu formüllerinin kullanım amacı, bazı özel durumlarda sadeleştirmeye imkan vermesi açısından işlem kolaylığı sağlamasıdır. Dönüşüm formüllerinin ispatları yapılırken toplam ve fark formüllerinden yararlanılır. Aşağıda da gösterildiği gibi dönüşüm formülleri; iki açının trigonometrik oranlarının toplamı biçiminde verilen ifadeleri, iki ifadenin çarpımı biçiminde yazmak için kullanılır. Bu formül sayesinde toplam biçiminde verilen ifadeler, çarpım şekline dönüştürülerek kendi aralarında sadeleştirme işlemleri yapılabilir.Bu formüllerin ezberlenmesi için toplam ve fark formüllerinin ezberlenmesi yeterli olacaktır. Formüllerin ezbere bilinmesinden ziyade, öğrenilmiş bir formülün  nerede nasıl kullanılacağının bilinmesi matematik problemlerinin çözümünde daha önemli bir yere sahiptir.

Burada yer alan dönüşüm formüllerinin, trigonometrik toplam ve fark formülleri yardımıyla nasıl ortaya çıktığını göstermeye çalışalım. Benzer şekilde tanjant ve cotanjant dönüşüm formülleri de ispatlanabilir. 

Bu formülleri kolay biçimde ezberlemek için zihin haritanızda kendinize uygun kodlamalar yapabilirsiniz. Örneğin sık kullanılan kodlamalardan birine göre; TAC - FFS tekerlemesi kullanılabilir. (TAC: Toplamsa Aynısı al Cosla bitir.  FFS: Farksa farklısını al Sinle bitir.)

>>>TAC:Toplamsa ifadenin aynısı alınır, cosla bitirilir. 

Örnek: cosx+cosy= 2. cos (x+y)/2 . cos (x-y)/2 

Örnekte de görüldüğü gibi toplam olduğu için ifadenin aynısı alınmış ve cos ile bitirilmiştir.Yani cos aynısı alındı ve cosla bitti. burada dikkat edilmesi gereken nokta her zaman x+y önce daha sonra x-y gelecektir. 

>>>FFS: Farksa farklısını al Sinle bitir.

Örnek: sinx-siny= 2. cos (x+y)/2 . sin (x-y)/2

Örnekte de görüldüğü gibi fark işlemi olduğu için ifadenin farklısı alınmış ve sin ile bitirilmiştir.Yani cos ve sin olarak farklısı alındı ve sinle bitti. Burada dikkat edilmesi gereken nokta her zaman x+y önce daha sonra x-y gelecektir. 

Bazı kitaplarda kullanılan trigonometri formülleri ezberleme için hazırlanmış zihin haritalarını anlamak ve bunu zihinsel süreçlerle bellemek daha zor olabilmektedir. Bu nedenle kendinize uygun kodlamayı kendiniz hazırlayarak öğrenmeli veya en azından formüllerin nasıl çıkarıldığını yani ispatlarını bilmelisiniz. Unutmayın ki ezberlediğiniz şey ne olursa olsun tekrar edilmediği müddetçe unutulmaya mahkumdur, fakat formülün nasıl çıkarıldığını bilirseniz kendi kendinize formülü rahatlıkla biraz zaman alarak tekrar bulabilirsiniz.

Yarım Açı Formülleri ve İspatı

Bazı durumlarda trigonometrik toplam fark formülleri kullanmak yerine, iki aynı açının toplamını ifade eden yarım açı formülünü kullanmak daha kolaylık sağlayacaktır. Burada elde edilen formüllerin tamamı daha önce anlatılan (Bkz. Toplam/Fark formülleri) trigonometri kuralları yardımıyla bulunmuş formüllerdir. Bu formüllerden yararlanarak katlı açı formülleri de oluşturulabilir.

Kotanjant formülünün bilinmesine veya ezberlenmesine gerek yoktur. Sadece tanjant formülünün bilinmesi kotanjant fonksiyonu için yeterli olacaktır. Bu formüllerden daha önemlisi toplam veya fark formülleridir. Bu formüllerin iyi bilinmesiyle bütün yarım açı formüllerine ulaşılabilir. Aşağıda konu ile ilgili bazı örneklerin çözümü yapılmıştır.

Toplam-Fark Formülleri ve İspatları

Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. Bu formüllerin iyi bilinmesi yarım açı, dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerinin çıkarılması için gerekli olacaktır. Aşağıda sinüs,cosinüs,tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri verilmiş ve bunların nasıl ortaya çıktığı ispatlanarak gösterilmiştir. Kotanjant formülünün ispatı ayrıca gösterilmemiştir. Bu formülün ispatı için tanjantın ispatı bulunduktan sonra çarpma işlemine göre tersi alındığında kotanjantın değeri bulunmuş olur. 

cos fonksiyonun toplam ve fark eşitliği bulunduktan sonra trigonometrik fonksiyonların birbirine dönüşümleri kullanılarak sinüs fonksiyonun da toplam ve fark formülü elde edilir. Bu iki formülden yararlanarak da tanjant fonksiyonu ile cotanjant fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri bulunur.  Tanjatın toplam formülü bulunurken finüs ve cosinüs fonksiyonlarının toplam fark formülleri yazıldıktan sonra birbirine oranlanır. sin(a+ b) ve cos (a+b) ifadelerinin eşiti yerlerine yazıldıktan sonra pay ve payda cosa.cosb ile bölünür. 

Başka bir ispat biçimi olarak aşağıdaki dik üçgenden, eş uzunluk parçaları kullanılarak toplam fark formülleri elde edilebilir.

Öğrencilerimizin sınavlara hazırlanırken sinüs,cosinüs ve özellikle tanjantın toplam ve fark formüllerini bilmesi yararlı olacaktır. Bu formüllerden sadece tanjantı ezberlemeniz durumunda bile pek çok soruyu çözebilirsiniz. Tanjantın formülünden bulduğunuz toplam veya fark açısından yola çıkarak tanjanta uygun bir üçgen çizerseniz trigonometrik oranlardan biri belli iken diğerinin bulunmasından yola çıkarak sizden istenen trigonometrik fonksiyonun değerini bu üçgen yardımıyla bulabilirsiniz.

Farklı bir yoldan,  bu formüllerin birim çember yardımıyla da ispatı mümkündür. Örnek olarak cosinüs fark formülünü birim çemberden şu şekilde ispatlayabiliriz.

Toplam ve fark formüllerinin ispatları cebirsel olarak gösterilebildiği gibi, geometrik olarak da gösterilebilir.Konu ile ilgili diğer yazımız için; (Bkz. Toplam/Fark Formüllerinin Geometrik İspatı) adresini inceleyebilirsiniz. 

Aşağıda yer alan örnekleri inceleyerek, formüllerin nasıl kullanıldığına dair bilgi sahibi olabilirsiniz.

Toplum İçinde Yaşamak

Ebû  Muse'l-Eş'arî'den  nakledildiğine  göre  Allah  Rasulü  (s.a.s.)  şöyle buyurdular: “Sizden biriniz bir mescide veya bir çarşıya ya da bir meclise elinde  oklarla  uğradığında,  onların  ucunu  tutsun."  Ebu  Musâ  dedi  ki:  " Allah'a yemin olsun ki, bu okları birbirimizin yüzlerine doğrultmadan bu dünyadan ayrılmadık." (Ahmed b. Hanbel, Müsned, IV/400)

 

Hadis-i Şerif, insanların toplum içinde birbirlerine zarar vermeden yaşamalarını hedefleyen Allah Rasûlü'nün,  bazılarımız için belki ayrıntı sayılabilecek bir  konudaki  uyarısını  içermektedir.  Hz.  Peygamber'in  yaşadığı dönemde  insanlar  savunma  amacıyla  veya  özel  bir  sebeple  çoğu  kez silahlarını  yanlarında  bulundurmakta,  çarşı  ve  mescid  gibi  insanların yoğun oldukları yerlere de bu şekilde çıkmaktaydılar. Günün şartlarına göre, kılıç, ok veya hançer gibi yanda taşınan bu silahların, açık olması veya uçlarının dışarıda bulunması halinde, sokakta  yürürken, mescidde namaz kılarken veya bir mecliste otururken yakındaki kişilere dokunarak zarar  vermesi  muhtemeldi.  Allah  Rasûlü,  belki  yaşanan  bazı  olaylar üzerine veya bir ön tedbir olarak bu uyarıyı yapmıştı. Yine bu endişeden hareketle o, "kılıcın, kınından çıkarılmış olduğu halde alınıp verilmesini yasaklamıştı".(Ebu  Davud,  Cihad,  67)  Onun,  "ana-baba  bir  kardeşi  bile olsa,  bir  din  kardeşine  demirle  işaret  eden  kimseye meleklerin  lânet edeceğini"  bildirmesi  de  (Müslim,  Birr,  35)  aynı  duyarlılığın  bir sonucuydu.  Buhari'de  yer  alan  bir  rivayette  bu  anlatım  daha  da netleşmekte  ve  "  hiç  kimse  kardeşine  silahla  işaret etmesin.  Çünkü  o bilmez ki, belki şeytan elini çekiverir de (kardeşini istemeden  vurabilir) ve böylece bir Cehennem çukuruna yuvarlanmış olur,"buyrulmaktadır. (Buhari,  Fiten,  7)  Muhtemelen,  bizdeki  "şeytan  doldurur"  sözünün kaynağı olan bu hadisle aynı bölümde yer alan, "bize silah çeken bizden değildir"  (Buhari,  Fiten,  7)  hadisi  bu  konuda  son  noktayı  koymakta  ve hiçbir  müminin,  bu  sıfatıyla  din  kardeşine  silah  çekemeyeceğini  ifade etmektedir.

Görüldüğü  üzere  sevgili  Peygamberimiz  bu  mesajlarıyla  14  asır öncesinden  sanki  bizlere  hitap  etmektedir.  Kaza  kurşunuyla  en yakınlarını  öldüren,  sevincini  ifade  için  kalabalıkta  veya  meskûn mahalde silahını ateşlemeyi marifet sayan, en mutlu günlerini kutlamak için  silahtan  başka  bir  şey  aklına  gelmeyen  insanların  doğurdukları tehlike  ve  yol  açtıkları  olumsuz  sonuçlar  bu  uyarıların  önemini  bir  kez daha  ortaya  koymaktadır.  Şaka  veya  korkutma  kastıyla  birisine  silah doğrultmanın,  ihmal  veya  dikkatsizlik  sonucu  tehlikeli  biçimde  silah taşımanın  sebep  olabileceği  kazalar  bile  büyük  acılara  ve  telafisi mümkün olmayan zararlara yol açarken, herhangi bir bahaneyle ortalığa yüzlerce  kurşun  sıkmanın  nelere  mal  olduğunu  hemen  her  gün yaşayarak  görüyoruz.  Çoğu  zaman  faili  bulunamadığı  için  "maganda kurşunu"  deyip  geçtiğimiz  ve  belki  de  kendileri  bile  hangi  cana kıydıklarının  farkında  olmayan  bu  sorumsuz  insanlar,  bugün  aramızda ellerini kollarını sallayarak dolaşsalar da, yarın  ilahî adaletten yakalarını asla kurtaramayacaklardır.

Yol üzerinde insanlara zarar verecek şeylerin kaldırılmasını bile imandan bir  şube  sayan  (Müslim,  İman,  14)  Allah  Rasulü'nün, başkalarına  zarar verip  vermemeyi  imanla  ilişkilendirmesi  son  derece  anlamlıdır.  Çünkü onun  tarifine  göre,  "müslüman,  başkalarının  elinden ve  dilinden  salim olduğu; mümin ise, insanların, canları ve malları konusunda kendisinden emin  olduğu  kimsedir".(Tirmizî,  İman,  12)  Onun  için,  mümin, başkalarına  zarar  vermek  bir  yana,  zarar  verme  potansiyeli  taşıyan  her hareketten  de  titizlikle  kaçınmak  zorundadır.  Toplum  içinde  yaşayan insanlar,  kendilerinden  önce  başkalarını  hesab  etme alışkanlığını kazanırlarsa  daha  rahat  bir  hayat  sürmenin  yolunu  da  bulmuş  olurlar. Çünkü,  önce  başkalarıyla  ilgili  hesabı  yapıp  onlara bir  zararlarının dokunmayacağını anladıklarında, kendi alanlarının sınırlarını daha kolay belirleyecek  ve  işlerini  gönül  huzuru  içinde  yapacaklardır.  Her  şeyin merkezine kendi çıkarlarını koyan insanlar etraflarına fazla bakmadıkları için,  bu  çıkarları  elde  ederlerken  kimlere  zarar  verdiklerini  ancak şikayetler  çoğalınca  anlarlar.  Bu  aşamadan  itibaren çatışmalar  ve düşmanlıklar başlayacağı için çoğu zaman iş işten geçmiş olur.

İslâm Dini,  her  şeyin  merkezine  kendisini  koyan  bencil  insan  yerine, başkalarını  da  hesaba  katarak,  onlarla  barış  ve  huzur  içinde  yaşayacak insan  modelini  hedeflemiş,  Allah  Rasûlü  de  söz  ve  tatbikâtıyla  bunun nasıl başarılacağını göstermiştir. Rivayetin son kısmında yer alan Ebû Muse'l-Eş'arî'ye ait söz acı bir itirafı dile getirmektedir. Hicretin 42. yılında ölen Ebû Musâ, Hz. Peygamber'in vefatından  sonra  ortaya  çıkan  siyasî  ve  sosyal  çalkantılara,  Cemel  ve Sıffîn  gibi  iç  savaşlara  yakınen  şahit  olmuş  ve  bunların  Müslüman toplum  üzerindeki  tahribatını  bizzat  görmüş  bir  sahabidir. Müslümanların,  birbirlerine  zarar  vermemek  için  oklarını,  kılıçlarını korumaya  almaları  konusunda  Hz.  Peygamber'in  hassasiyetini  yansıtan bu hadisi nakleden Ebû Mûsa, daha 30 yıl geçmeden, o okları ve kılıçları birbirlerine  karşı  kullanır  hale  gelen  Peygamber  ümmetinin  düştüğü durumu hayıflanarak anlatmaktadır. Hicretin 74. yılında vefat eden Hz. Ömer'in oğlu Abdullah  b.  Ömer de, kendisine, ihramlıyken sivrisineğin öldürülmesinin  hükmünü  soran  Iraklı  bir  adama,  "şuna  bakın, Nebi(s.a.s.)in torununu öldüren adamlar bana sivrisineğin öldürülmesini soruyor" diyerek, o acı günleri aynı hayıflanma duygusuyla yâd etmiştir. (Ahmed b. Hanbel, Müsned, 2/152; Buhari, Edeb, 18)

Sonuç olarak, toplum içinde yaşamak, mutlaka sorumluluk, yerine göre fedakârlık  gerektirir.  Fedakârlık  bir  yana,  sadece  sorumluluklarımızın farkında  olmak  bile  toplum  olarak  huzurlu  bir  hayat sürmemiz  için yeterli olacaktır.

İ. Hakkı Ünal,  40 Hadis 40 Yorum, DİB. Yay., Ankara 2011, ss. 118-122.