Fibonacci Dizisi ve Vahdeti Vücud Felsefesi

Matematik dersinde Fibonacci sayı dizisini incelerken, tasavvuf felsefesindeki Vahdet-i Vücûd anlayışıyla arasında benzerlik olabileceği fikri aklıma geldi. Bu konu üzerinde biraz araştırma yapınca bu benzerliğin makul olabileceğine ikna oldum. Şimdi bu konuyu matematik ve ilahiyat ekseninde değerlendirmek istiyorum. Önce her iki kavramın tanımlarını verip, ardından bu görüşleri ortaya koyan kişilerden Muhyiddin İbn Arabi ve matematikçi Leonardo Pisano Fibonacci"nin hayatlarına dair izlere bakacağız. Yazının sonunda da savundukları ve ortaya koydukları görüşlerin hangi yönlerden birbirine benzer olabileceğini göstermeye çalışacağım. En sonunda sonuç ve değerlendirme ile yazıyı bitireceğiz.

"Fibonacci sayı dizisi" ile "Vahdet-i Vücûd" anlayışı, ilk bakışta İslam tasavvufu ve matematik gibi  birbirinden oldukça farklı iki alana ait gibi görünse de aralarında güçlü bir benzerlik vardır. Biri matematik, diğeri tasavvuf felsefesine ait olmasına rağmen bu iki konu derinlemesine incelendiğinde, birbiriyle anlam, düzen ve bütünlük açısından önemli benzerlikler taşır. Bu benzerlikler özellikle sonsuzluk, ilk varlık, nizam ve düzen, bütün-parça arasındaki ilişkiler gibi temel bazı felsefi kavramlarda ortaya çıkar. Fibonacci dizisi, her sayının kendisinden önce gelen iki terimin toplamı olmasıyla oluşan, sonsuza kadar devam eden bir sayı dizisidir. 1 den başlayarak ardınca belli bir kural içinde düzenli sayılar gelir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Bu dizinin ardışık iki terimi birbiriyle oranlandığında bu sonucun matematikte "altın oran" adı verilen Fi sayısına (φ ≈ 1.618...) yaklaştığı görülür. Bu oran, yalnızca matematiksel bir yapı değil; doğada, insan vücudunda, yaprak diziliminden deniz kabuklarına, galaksi şekillerinden DNA spiral yapısına kadar birçok yerde gözlemlenen sabit bir oranı ve düzeni temsil eder. Altın oran hakkında daha farklı detaylı bilgiler için önceki yazımızı okuyabilirsiniz.

(Bkz. Altın Oran ve altın oranın görüldüğü yerler)

Vahdet-i Vücûd, İslam tasavvufunda derin bir düşünce sistemidir. Buna göre evrende hakiki anlamda var olan tek şey Allah’tır. Allah dışındaki tüm varlıklar—insanlar, doğa, yıldızlar, hayvanlar ve zaman—mutlak anlamda var değildir; yalnızca Allah’ın varlığından izler taşır, bütün mahlukat O’nun isim ve sıfatlarının yansımalarıdır. Çokluk gibi görünen her şeyin ardında, aslında bir ve tek olan "Varlık" vardır. Bu nedenle “varlıkların birliği” anlamına gelen vahdet-i vücud, görünen çokluğun ardında "gizli teklik" gerçeğini ifade eder. Burada anlatılan vahdet-i vücud, Batı felsefesindeki panteizmle karıştırılmamalıdır; çünkü vahdet-i vücudda mutlak varlık, hem her şeyin özünde hem de her şeyin ötesindedir. Panteizmde Tanrı, evrenle özdeşleşmiş olur ki bu da hatalı bir görüştür. Oysa vahdet-i vücud anlayışında, Hakikî varlık yalnızca Allah’tır, evren ve içindekiler ise O’nun varlığının bir tezahürüdür; mahlukatın kendiliklerinden bir varlıkları yoktur. Bu yaklaşıma göre, görünen âlem, Allah’ın isim ve sıfatlarının bir tecellisidir. Mevcudat, varlıklarını Allah’tan almış, birer tecelli simgesidir. Gerçek varlık sahibi yalnızca Allah olduğundan, mahlûkatın varlığı izafî ve gölgede kalan bir varlık mesafesindedir. Bu sebeple mutasavvıflar, "Lâ mevcûde illâ Hû" (O'ndan başka mevcut yoktur) ifadesini tasavvufta sıkça kullanırlar. Bu düşünceye göre Allah, evrende kendi varlığını farklı biçimlerde gösterir; buna “tecelli” veya “zuhur” denir. Doğadaki düzen, güzellik, denge ya da insanın içindeki sevgi, merhamet ve adalet gibi tüm düşünce ve duygular hep Allah’ın isim ve sıfatlarının yansımaları tecellileridir. Yani evrende neye bakarsak bakalım, aslında Allah’ın bir kudretine, bir ilmine tanıklık ederiz. Ancak bu, görünen şeylerin Allah’ın kendisi olduğu anlamına gelmez; onlar sadece O’ndan gelen tecelliler olduğundan aynadaki görüntünün yansıttığı nesneler gibidir. Diğer bütün varlıklar ise O’nun varlığının yansımaları, tecellileridir. Çokluk gibi görünen bu âlem aslında var olan birliğin farklı tezahürlerinden ibarettir. Her şey Allah'tan gelir ve sonunda O’na döner; varlıklar ancak O’nunla birlikte vardır. Nitekim Kuran-ı Kerimde: “...Biz şüphesiz Allah’a aidiz ve O’na döneceğiz..." (Bakara Suresi, 2/156) buyrulmuştur. Düşüncenin temeli bu ayetle ilişkilidir. 

Leonardo Pisano Fibonacci

Leonardo Pisano Fibonacci yaklaşık 1170 yılında İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş bir matematikçidir. Avrupa’da Pisalı Leonardo ya da Leonardo Bonacci olarak da tanınır. Babası Guglielmo Bonacci adlı bir tüccardır. Küçük yaşlarda annesini kaybetmiş babası ile beraber ticari seyehatlere çıkmıştır. Fibonacci, küçük yaşta Kuzey Afrika’da bulunmuş ve burada Hint-Arap sayı sistemiyle tanışmıştır. Yaşamı boyunca Akdeniz çevresindeki birçok ticari merkeze gitmiş, farklı hesap yöntemleri öğrenmiştir. Ölüm tarihi kesin olmamakla birlikte yaklaşık 1240-1250 yılları arasında Pisa’da öldüğü tahmin edilir. 

Fibonacci’nin en ünlü eseri 1202 yılında yayımlanan Liber Abaci adlı kitaptır. Bu kitap, Avrupa’da Hint-Arap rakam sisteminin (0 ile 9 arası rakamların oluşturduğu sembolik sayı sistemi) yayılmasına büyük katkı sağlamıştır. Kitapta Roma rakamlarının yerine geçebilecek yeni sistem, ticaret, muhasebe ve para birimi dönüşümleri gibi konularda kullanılmıştır. Ayrıca bu kitapta yer alan teorik bir tavşan problemi ile bilinen "Fibonacci dizisi" tanıtılmıştır. Bu dizi genellikle 0 veya 1 ile başlar ve sonrasındaki her sayı, kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde devam eder.  ve şu şekilde devam eder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Bu dizinin ardışık terimlerinin oranı giderek altın oran olarak bilinen yaklaşık bir sabite φ=1,61803.. değerine yaklaşır.

Liber Abaci, Leonardo'nun "dokuz Hint rakamı"nı tanıttığı bölümle başlar: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Bu rakamlar, günümüzde kullandığımız rakamlarla büyük benzerlik gösterir. Leonardo, bu rakamları kullanarak daha büyük sayıları temsil etmenin yollarını gösterir. Eserde ayrıca Roma rakamlarını Hint-Arap rakamlarına dönüştüren bir diyagram da bulunmaktadır. Makale, Leonardo'nun eserin başında yer alan otobiyografik bir metni de sunmaktadır. Bu metinde, babasının kamu görevlisi olarak görev yaptığı Bugia'da (günümüz Cezayir'inde) geçirdiği yıllarda Hint-Arap sayı sistemini öğrendiğini ve bu bilgiyi İtalya'ya taşıyarak halkına öğretmek için Liber Abaci'yi yazdığını belirtmektedir.

Fibonacci, ayrıca arazi ölçümleri, alan ve hacim hesapları, karelerle ilgili denklemler gibi konularda da çalışmalar yapmıştır. Sayılarla işlem yapılmasını kolaylaştıran Hint-Arap sisteminin Avrupa’ya tanıtılması sayesinde ticaret, muhasebe ve bilimsel hesaplamalar gelişmiştir. Fibonacci dizisi ve altın oran günümüzde matematik, doğa bilimleri, mimari ve sanat gibi pek çok alanda önemli yer tutmaktadır.

Kaynakça: 

Grimm, Richard E. The Autobiography of Leonardo Pisano. The Fibonacci Quarterly 11[1973](1):99-10.

Sigler, Laurence E. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer, 2002.

Altın Oranın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler

Altın oran, matematikte ve sanatta, bir bütünün parçaları arasındaki en uyumlu ve dengeli oran olarak kabul edilen özel bir sayısal orandır. Bu oran, eski Mısırlılar ve Yunanlar tarafından keşfedilmiş ve mimaride, sanatta sıkça kullanılmıştır. Altın oran, aynı zamanda Fibonacci dizisinin terimleri büyüdükçe birbirine yaklaşan yaklaşık değeri olarak da bilinir. 

Bir doğru parçası olan |AB|, altın orana uygun şekilde iki parçaya ayrılmak istendiğinde, bu bölünme noktası |C| öyle seçilir ki küçük parçanın uzunluğu |AC|, büyük parçanın uzunluğu |CB|'ye oranı, büyük parçanın uzunluğu |CB|'nin tamamına yani |AB|'ye oranına eşit olur. Matematiksel olarak bu durum |CB| /|AC| veya |AB| / |CB| şeklide oranlanarak ifade edilir ve bu oran 1.61803...gibi sabit bir sayıya yaklaşır. Bu sayı (Fi) sayısı olarak tanımlanır ve Yunan alfabesinin Φ harfiyle gösterilir. Fi sayısı, matematikte altın oran olarak bilinen özel bir sayıdır. Fi sayısı, doğada, sanatta, mimaride ve matematikte uyum ve estetik için ideal oran olarak kabul edilir. Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894... şeklinde devam eder. 

 

(Altın oran hakkında daha ayrıntılı bilgi elde etmek için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Altın Oran)

 

Altın oranın görülebildiği bazı yerler:

1) Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir. Ayçiçeğinde tohumlar, altın açıya göre dizilmiştir ve bu sayede tohumlar birbirine en verimli şekilde yerleşir. Bu düzen, hem sağa hem sola doğru sarmal çizgiler oluşturur ve bu sarmalların sayıları ardışık Fibonacci sayılarıdır. Böylece ayçiçeği tohumlarının diziliminde doğrudan altın oran ve Fibonacci dizisi kendini gösterir.

Altın Oran (1,618033.... )

Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze estetik gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki oran olarak kullanılabilir. Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir. Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir: Altın oran, bir sayının kendisine 1 eklenmesiyle sayının karesine eşit olma durumudur. x²-x-1=0 denkleminin pozitif kökü altın oran olarak ifade edilir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden irrasyonel sayıdır.  

 

Altın oranın tam olarak ilk ne zaman kullanıldığına dair kesin bir bilgi yoktur. Matematik ve fizik çalışmalarında tarihin ilk dönemlerinden beri kullanıldığı gözlemlenmiştir. Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), "Elementler" adlı kitabında, bir doğruyu 1,6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, "bir doğruyu "önemli oranda bölmek" diye adlandırmıştır. Mısırlılar, çok daha eski zamanlarda farklı mimari tasarımlarda ve geometrik hesaplamalarda hem pi sayısını (π) hem de Fi (φ) oranını kullanmışlardır. Yunanlar, Parthenon'un tüm tasarımını, altın orana uygun biçimde planlamışlardır. 

 

Altın oran, ünlü Yunan heykeltıraş Phidias’ın eserlerinde sıkça kullandığı bir oran olduğu için, onun anısına Yunan alfabesindeki "Fi" harfi (φ) ile sembolleştirilmiştir. Bazı tarihçilere göre, altın oran Grek dünyasına ilk olarak Pisagor ve takipçileri tarafından tanıtılmıştır. Ancak Fi (φ) sayısını ilk olarak kimin tanımladığı kesin olarak bilinmemektedir. 1900’lü yıllarda Amerikalı matematikçi Mark Barr, bu oranı simgelemek için Phidias’a ithafen Yunan alfabesindeki “Fi” harfini kullanmaya başlamıştır. Bu sembol, zamanla matematiksel ve estetik çalışmalarda yaygın olarak kabul görmüştür. Bazı kaynaklarda "Fi" harfinin, Fibonacci'nin baş harfi olan “F” ile ilişkilendirilerek kullanıldığı iddia edilse de, bu bağlantı tarihsel olarak doğru değildir. Ayrıca, altın oranı ifade etmek için zaman zaman Yunanca’da "ölçü" anlamına gelen “το” (to) kelimesi de kullanılmıştır. Ancak günümüzde φ (Fi) sembolü, altın oranı temsil etmede evrensel olarak kabul görmüş durumdadır.

(Bkz. Altın oranın görüldüğü yerler) 

M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış olan Pisagor ve takipçileri, doğada, müzikte, matematikte ve özellikle geometrik şekillerdeki orantılar ve sayılar üzerine çalışmışlardır. Özellikle pentagram (beş köşeli yıldız) Pisagorcular için özel bir sembol olmuş ve bu şeklin içindeki uzun-kısa çizgilerin oranlarıyla altın oranı kullanmışlardır. Sözün doğruluğu kesin olmamakla birlikte Pisagor'un altın oranla ilgili şunu söylediği rivayet edilir: "Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir." 

Altın oran, matematiğin estetik üzerindeki etkisinin görüldüğü çok farklı alanlarda karşımıza çıkar. Altın oran, bir doğru parçasının belirli bir noktadan öyle bir şekilde bölünmesidir ki, küçük parçanın uzunluğunun büyük parçaya oranı, büyük parçanın tüm doğruya oranına eşit olur. Yani, bir doğruyu iki parçaya ayırdığınızda, küçük parçanın büyük parçaya oranı ile büyük parçanın tamamına olan oranı birbirine eşitse, bu doğru parçası altın orana göre bölünmüş demektir. Bu oran yaklaşık olarak 1,618 sayısına eşittir ve doğada, sanatta ve mimaride sıkça karşımıza çıkar. Bu özel oran, uyum ve estetiğin matematiksel karşılığı olarak kabul edilir. Altın orana göre bölünmüş bir doğru parçası, simetri ve denge açısından en kusursuz oranlardan biri olarak görülür.