Asal çarpan Hesaplama Modülü (Python Kod)

Asal sayı, yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere iki pozitif böleni olan bir doğal sayıdır. Bir sayının asal sayı olabilmesi için 1’den büyük olması ve kendisinden başka hiçbir sayıya tam bölünmemesi gerekir. En küçük asal sayı 2’dir ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır. 1 asal sayı olarak kabul edilmez, çünkü yalnızca bir pozitif böleni vardır. Asal sayılar, matematikte sayıların yapı taşları olarak kabul edilir ve diğer doğal sayılar bu asal sayıların çarpımıyla elde edilebilir. Asal çarpan, bir sayının asal olan çarpanlarına denir. Örnek olarak 20 sayısının asal çarpanları 2 ve 5 tir. 1, 4, 10, ve 20 ise 20 sayısını tam olarak böldüğü halde asal çarpan değildir. 

Fibonacci sayısı, Fibonacci dizisinde yer alan bir sayıdır. Bu dizi, 1 ile başlar ve her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamı olarak elde edilir. Yani dizinin ilk terimi 1 sonraki terim 1’in toplamı olan 1, üçüncü terimi 1 ile 1’in toplamı olan 2, dördüncü terimi 1 ile 2’nin toplamı olan 3 şeklinde devam eder. Bu şekilde oluşan sayı dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... şeklindedir. Fibonacci sayıları hem matematikte hem de doğada sıkça karşımıza çıkar. Bitkilerin yaprak dizilimleri, çiçeklerin yapısı ve bazı hayvanların büyüme düzenleri gibi doğal örneklerde bu sayıların izine rastlanabilir. Ayrıca bilgisayar bilimleri ve algoritmalar gibi teknik alanlarda da kullanılır. 

Yukarıda anlatılan matematiksel tanımlara benzer şekilde, sayı özelliklerini görmek amacıyla bir program hazırlama gereği duyduk. Buna göre “Asal Çarpan Hesaplama Modülü” adlı Python uygulaması, öğrencilerin ve matematik meraklılarının bir sayının özelliklerini detaylı biçimde inceleyebilecekleri çok işlevli bir modül olarak tasarlanmıştır. Bu programın odak noktası, kullanıcı tarafından girilen pozitif bir tam sayının asal çarpanlarını ve daha birçok matematiksel niteliğini hesaplamak ve göstermek, böylece sayılarla ilgili kavrayışı derinleştirmektir. Programın işlevleri arasında şunlar yer alır: Verilen sayının asal olup olmadığını belirleme, Sayının asal çarpanlarını bulma, Sayının pozitif ve negatif tüm bölenlerini listeleme, Asal olmayan pozitif bölenleri ayırma, Tek ve çift pozitif bölenleri tespit etme, Pozitif bölenlerin toplamını hesaplama, Pozitif bölenlerin çarpımını bulma, Sayının Fibonacci dizisinde olup olmadığını kontrol etme, Sayının “mükemmel sayı” olup olmadığını belirleme, Sayının palindrom (tersiyle aynı) olup olmadığına bakma, Sayının karekök değerini hesaplama, Sayının asal çarpanlarının üs gösterimli biçimini hazırlama  

Teknik yapısı bakımından program, Python’un standart ve yaygın kütüphanelerini kullanır. Örneğin math kütüphanesi karekök işlemleri ve sayısal hesaplamalar için kullanılırken, tkinter kütüphanesi grafiksel kullanıcı arayüzünü (GUI) oluşturmak için devreye girer. Burada program kodlarını kullanarak gerekli arayüz iyileştirmelerini yapabilirsiniz. Arayüz penceresi kullanıcıdan bir sayı girişi alır ve “Hesapla” düğmesine basıldığında tüm bu özellikleri hesaplayıp ekranda uygun metin kutularında gösterir. Program ayrıca girilen sayının asal çarpanlarını üs gösterimiyle biçimlendirir. Bu, öğrencilerin asal çarpanlara ayırma işlemini hem sayı düzeyinde görmelerine hem de sembolik olarak kavramalarına yardımcı olur.  

Amaç açısından bu modülün temel hedefi, sayılarla ilgili birçok kavramı tek bir uygulamada kapsayarak, kullanıcıların asal çarpanlara ayırma, bölenler, mükemmel sayı, Fibonacci, palindrom gibi kavramları bir bütünlük içinde öğrenmesini sağlamaktır. Öğrencilerin soyut kavramları somut örneklerle görerek pekiştirmesini, sayısal düşünme becerilerini geliştirmesini destekler. Aynı zamanda öğretmenler için de derste anlatılan teoriyi uygulamaya dönüştürecek bir yardımcı rol üstlenir. Kullanım açısından uygulama oldukça kullanıcı dostudur. Kullanıcı, arayüzde bir sayı girer, “Hesapla” butonuna basar; program da anında sayının tüm yukarıda sayılan özelliklerini hesaplayıp ekranda gösterir. Hatalı ya da negatif giriş yapıldığında uygun uyarılar verilir. Böylece hem öğretmen tarafından ders materyali olarak hem de öğrencilerin bireysel alıştırmaları için kullanışlı bir araç haline gelir.  

Anlatılan sayı özelliklerini hesaplayan Python kodlu matematik programı, görseli aşağıda verilmiştir. Resmi büyütüp yazılımın özelliklerini inceleyebilirsiniz. Programın "exe" formatlı hali ve açık kaynak kodu da ekli dosyada ilave edilmiştir. Derslerinizde kullanabilirsiniz. Kadir PANCAR

Programın çalışan dosya formatını (EXE) indirmek için tıklayınız.

 

Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.


Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Allah'ın dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar, yani 28 gün olması da var. 

Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarında Nicomachus ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır. (1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 

2- Bütün mükemmel sayılar çifttir 

3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 

4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2^k-1.(2^k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 

5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır. 

Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır. Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını (23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212 (213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. Bulunan 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. 6. mükemmel sayı, 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından, mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi (1603) idi: 216 (217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218 (2191)=137438691328.

Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^p-1 . (2^p-1) sayısı mükemmel bir çift sayıyı verir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2 için 2¹(2.²−1) = 6
p = 3 için 2^3-1(2³−1) = 28
p = 5 için 2^5-1(2⁵−1) = 496
p = 7 için 2^7-1(2⁷−1) = 8128.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardır: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. 

Bu sayılar dışında başka mükemmel sayıların (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır.