Prizma ve Piramitlerde Euler Bağıntısı

Tüm prizma ve piramitlerde köşe sayısı k, yüz sayısı y ve ayrıt sayısı a olmak üzere, k, y ve a arasında k + y – a = 2 bağıntısı vardır. (Euler Bağıntısı) Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır.Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir.

 

Çok yüzlülerde Euler Formülü 

Yeni Dünyada Lut kavmi Özentileri

“Ey insanlar! Sizi bir erkekle bir dişiden yarattık. Birbirinizi tanıyasınız diye sizi milletlere ve soylara ayırdık. Şüphesiz Allah katında en değerliniz, O’na karşı gelmekten en fazla sakınanlarınızdır.” (Hucurât sûresi, 13) 

Bugünlerde (2015-...) yazılı ve görsel medyada bir furya halinde Lut kavminin sapkınlığı eşcinsellik, lezbiyenlik, homoseksüellik,  trans kimlik, cinsiyetsizlik, pedofili,...gibi ne kadar çeşit sapıklık varsa; türlü türlü adlar altında normal bir davranış gibi gösterilmeye, basında yazılıp çizilmeye, ekranlarda sevimli gösterilmeye başlandı. Özellikle Batı dünyasında normal bir davranış olarak kabul edilen,  Lut kavminin sapıklığı, pek çok ülkede cinsel kimlik olarak yasal hale gelmiştir. Allah'ın erkek ve kadın olarak iki cinsiyetle yarattığı insan varlığı, fıtrattan uzaklaşarak normal olanın dışına çıkmaya cüret etmiştir. Bu sapık davranışlar, inançsız, şeytani toplumlarda kabul görmesine rağmen, Müslüman ülkelerde de yasal hale getirilmeye, toplum içinde yaygınlaştırılmaya, bazı maddi imkanlarla desteklenen gruplar tarafından bir amaç olarak benimsenerek  reklam ve yazılı-görsel medya desteği ile normalleştirilmeye başlanmıştır. Bu eşcinsellik, lutilik,...vs gibi benzer çeşitli adlara sahip eylem ve hareketler, dernekler, grup veya oluşumlar; bir tercih meselesi olup, insanın kendi hür iradesinin bir tezahürüdür. İnsan, kendi isteğiyle, bu şeytani yolu ve bu fiilleri tercih etmiştir. Bu sapkın eylemlerin, doğuştan bir özür hali olan, fıtri "hünsalık" (çift cinsiyet) kavramı ile uzaktan yakından ilgisinin olmadığını rahatlıkla söyleyebiliriz. Hünsalık, doğuştan gelen insanların iradesi dışında olmuş, çift cinsiyet sahibi olma hali, çift organla dünyaya gelme özelliği olup, nadir görülen bir vakadır.  Eşcinsellik/homoseksüellik veya her ne isimle anılıyorsa bu tür eğilimler ise bambaşka bir olgu olarak fıtrata aykırı iradeli bir davranıştır. 

Cinsiyet algısının oluşması için doğru kimlik kazandırabilmek, anne ve babaların çocuklarının eğitim sürecine bağlıdır.  Anne ve babalar, çocuk terbiyesinde gerekli önlemleri almak mecburiyetindedir. Aksi halde fıtri olmayan bir durumla karşılaşılması, bu tür sapkın davranışların yayılması ve toplumda normalmiş gibi algılanması sıradan hale gelecektir. Normalleştirilmeye çalışılan bu sapkınlık hali; en basit tanımla erkeğin erkekle, kadının kadınla olan birlikteliği olarak nitelendirilen bu davranışlar, tarihte ilk defa Lut kavmi ile toplum içinde bir azgınlık olarak ortaya çıkarak yayılmış,  sonraki zamanlarda diğer toplumlar arasında da zaman zaman gözlemlenmiştir.   Ankebut Suresinde bu fiil şu şekilde aktarılır: "Lut da, milletine şöyle demişti: "Doğrusu siz dünyalarda hiç kimsenin sizden önce yapmadığı bir hayasızlığı yapıyorsunuz." (Ankebut Suresi-28)

 

(Bkz. Pompei Sapıklığı)

 

Aynı durum tarihte Pompei halkı tarafından da yaşanmış, hatta Pompei halkının helak edilişi, ilerleyen zamanlara ibret olsun diye taşlaşmış insanlar olarak bırakılmıştır. Vezüv Yanardağı’nın eteklerinde kurulu olan Pompei, Roma’nın ‘‘zevk şehirleri’’ olarak Romalılar tarafından, türlü sapıklıklar için kullanılıyordu. Günümüzde turistik ziyaretlerde de net olarak görülebileceği üzere, Pompei halkından geriye küllerin altında kalarak taşlaşmış insan cesetleri kalmıştır. Tarih aynı Lut kavminin helakinde olduğu gibi insanlar ibret almadığı için tekerrür etmiştir.

Perspektif Çizimi Temel Elemanları

İzdüşüm: Bir nesnenin bir düzlem üzerine düşürülen görüntüsüne izdüşüm denir. Perspektif izdüşüm: Cisimlerin görünüşünü iki boyutlu düzlem üzerinde, insan gözünün gördüğü gibi üç boyutlu olarak çizebilme olanağını sağlayan izdüşüm yöntemlerine perspektif izdüşüm denir.

 

Bakış Noktası: Perspektifi çizebilecek nesneye gönderilecek bakış ışınlarının kaynaklandığı sabit noktaya (gözlemcinin gözünün bulunduğu noktaya) bakış noktası denir. Bakış Uzaklığı:Bakış noktasının perspektifi çizilecek nesneye olan uzaklığına bakış uzaklığı denir.

Bakış Yüksekliği:Bakış noktasının, yer düzleminden olan yüksekliğine bakış yüksekliği denir. Bakış yüksekliği ufuk yüksekliği olup gözlemcinin boyuna bağlı olarak yukarı, aşağı yönde hareket eder.

İzdüşüm (Resim) Düzlemi: Üzerinde perspektif izdüşüm görüntüsünün resmedileceği düşey düzleme izdüşüm düzlemi denir.

Ufuk Çizgisi: Ufuk çizgisinin görünmediği mekânlarda nesneye bakan kişinin gözlerinden geçtiği farz edilen yatay düzlemle, düşey izdüşüm düzleminin kesişme çizgisine ufuk çizgisi denir.

Kaybolan Nokta (Kaçan Nokta veya Kaçış Noktası): Bakış noktasından (gözden) uzaklaşarak sonsuza doğru giden ve gerçekte birbirlerine paralel oldukları halde resim düzlemine paralel olmadıkları için birbirlerine yaklaşarak birleşiyormuş gibi görünen doğruların kesişme noktasına kaybolan nokta denir.

Yer Düzlemi (Yer Çizgisi): izdüşüm düzleminin yer ile meydana getirdiği arakesite yer düzlemi denir.

Bir Nokta Perspektifi: Tek bir nokta baz alınarak yapılan çizimdir. İki Nokta Perspektif çiziminde ise iki tane kaybolan nokta baz lınarak çizim yapılır. 

Aşağıda çizilmiş örnekleri inceleyiniz.

Ön ve Üst Yüz Görünen Cisim

Ön ve üst yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Ön, Üst ve Sağ Yüzü Görünen Cisim

Ön, üst ve sağ yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Ön, Alt ve Sol Yüzü Görünen Cisim

Ön, alt ve sol yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Üst ve Yan Yüzleri Görünen Cisim

Üst ve yan yüzleri görünen dikdörtgenler prizmasının "iki nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

Alt ve Yan Yüzleri Görünen Cisim

Alt ve yan yüzleri görünen cisimlerin "iki nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

Ön ve Üst Yüzleri Görünen Cisim

Ön yüz ve üst yüzleri görünen cisimlerin  perspektif çizimi yukarıdaki gibi çizilebilir. Bu çizimde; Birinci adımda; çizilmiş olan dikdörtgenler prizmasının üst yüzüne karşılık gelen dikdörtgenin (mavi) köşelerini bakış noktasıile birleştirdik.(mavi çizgiler). Birleştirdiğimiz çizgilerin izdüşüm düzlemini kestiği noktalarıA ve B olarak harflendirdik. Prizmanın ön yüzüne karşılık gelen dikdörtgenin (kırmızı renkli kısım) köşelerini C noktası ile birleştirdik (şekilde siyah çizgilerle gösterildi.) A ve B noktalarından yer düzlemine iki dikme inildi. Bu dikmelerin siyah çizgileri kesen noktalarını K, L, M, N ile harflendirdik. KLMN noktalarını birleştirdiğimiz zaman ortaya çıkan dörtgen perspektifi çizilmiş olan dörtgenin arka yüzüdür.

Gündelik Hayattan Örnek Perspektif Çizimi

Kaynak Çizimler için ayrıntılı olarak; Nevzat Asma-Halit Bıyık, Geometri Kitabı, Esen Yayınları, Tuna Baskı, Ankara, 2012 kitabına bakabilirsiniz.

Aşağıdaki soruları ve bağlantıları inceleyerek konu hakkında bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Perspektif çizimi çeşitlerini incelemek için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/perspektif-cizimi.html

Daha ayrıntılı perspektif ve izdüşüm açıklaması için ve özellikle teknik resim bilgileri için, aşağıdaki bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/izdusumyer-elipsoidini-harita-duzlemi.html

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/geometrik-cisimlerin-simetrisi.html

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti:Herhangi bir noktaya göre çemberde kuvvet alınırken bu nokta çemberin iç veya dış bölgesinde olmasına göre kuvvet alma fonksiyonunda bir farklılık olmaz. Kuvvet alma aslında bu noktanın yardımıyla oluşturulan üçgenler ile meydana gelen bir benzerlik uygulamasıdır.  

Bir noktanın koordinatları ile herhangi bir çembere göre kuvveti alındığında, Kuvvet alma fonksiyonu noktanın çembere göre durumunu belirtir. Yani verilen noktanın,  çemberin iç bölgesinde, çemberin dışında veya çemberin üzerinde  olup olmadığı tanımlanır. 

X noktasının kuvveti denildiğinde, o noktanın merkeze olan uzaklığı koordinatlarda olduğu gibi iki nokta arası uzaklık formülünden bulunur. Daha sonra bu uzaklığın yarıçap ile olan farkları pisagor bağıntısı gereği yazıldıktan sonra, eğer sonuç pozitif tanımlı ise (yani sonuç pozitif çıkar ise) nokta çemberin dış bölgesinde olur. Çünkü  noktanın çember merkezine uzaklığı, çemberin yarıçapından büyüktür. Bu sonuç negatif tanımlı olursa, noktanın çember merkezine olan uzaklığı, çember yarıçapından küçük olduğundan, nokta çember içerisinde kalır. Eğer sonuç 0 çıkarsa o zaman verilen nokta, tam olarak çember üzerindedir. Çünkü noktanın merkeze uzaklığı ile yarıçap uzunluğu birbirine eşittir. 

Bir çemberde herhangi bir noktanın çember denklemine göre kuvveti, aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Burada koordinatları verilen noktanın çembere göre kuvveti için gösterilen ispatı, daha iyi anlamak için bir örnek verelim. Örnekte rastgele bir noktanın çembere göre kuvveti alındığında, yani koordinatları çember denkleminde yerine yazıldığında, sonuç negatif çıkarsa bu noktanın çemberin iç bölgesinde olduğu anlaşılır. Aksi halde pozitif tanımlı olması durumunda, nokta çemberin dış bölgesindedir.

 

 

 

Kaynaklar: Geometri, Arif Şayakdokuyan, Mevsim Basım Yay., Ankara, 2012; Geometri, Turgut Erel, Bilnet Matbaacılık, İstanbul, 2014;  Çember ve Daire, Kartezyen Eğitim Yay. ,İstanbul, 2014.

Asal Sayılar ve Bölen Durumları

Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere iki tam sayı böleni bulunan pozitif tam sayılardır. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11... gibi sayılar asal sayılardır. En küçük asal sayı 2’dir ve aynı zamanda 2 çift asal sayıdır; diğer tüm asal sayılar tektir. Asal sayıların sayısı sonsuzdur, bu yüzden en büyük asal sayı yoktur.

1’den 100’e kadar olan asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Her 1’den büyük tam sayı ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu asal sayılara “asal çarpanlar” denir. Örneğin 12 sayısı 2² .3 şeklinde, 21 sayısı ise 3¹.7¹ biçiminde asal çarpanlarına ayrılabilir. Bu özellik, sayıların temel yapı taşlarının asal sayılar olduğunu gösterir.

Asal sayılar, Antik Yunan matematikçileri tarafından incelenmiştir. Öklid, ünlü eseri Elementler’de asal sayılarla ilgili temel sonuçları ortaya koymuştur. Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu göstermiştir. Pisagor ve takipçileri sayıları daha çok felsefi açıdan incelerken, asal sayıları “saf” ve “bölünemez” yapılar olarak görmüşlerdir. Eratosthenes ise asal sayıları bulmak için “Eratosthenes Kalburu” adı verilen yöntemi geliştirmiştir. Bu yöntem, belirli bir sınıra kadar asal sayıları sistematik şekilde bulmayı sağlamıştır. Antik Mısır, Antik Çin ve Hindistan’da asal sayılar, daha çok pratik hesaplamalar ve sayıların özelliklerini anlama amacıyla incelenmiş, özellikle bölünebilme ve çarpanlara ayırma konularında önemli katkılar sağlanmıştır.

 

Asal sayılar ile Pascal Üçgeni arasında ilginç bir ilişki vardır; Pascal üçgeninde her satır, bir önceki satırdaki sayıların toplanmasıyla oluşur ve bu sayılar aslında binom katsayılarıdır. Eğer satır numarası bir asal sayıysa (örneğin 2, 3, 5, 7 gibi), o satırdaki uçlardaki 1’ler hariç tüm sayılar o asal sayıya tam bölünür. Mesela 5. satırdaki binom katsayıları: 1, 5, 10, 10, 5, 1 olup buradaki 5, 10, 10, 5 sayılarının hepsi 5’e bölünür. Bu durum sadece asal sayılar için geçerlidir. Eğer satır numarası asal değilse (örneğin 6), aynı özellik görülmez. Bu yüzden Pascal üçgeni, asal sayıları test etmek veya anlamak için matematikte kullanılan ilginç yapılardan biridir. 

İki sayının yalnızca 1 ortak böleni varsa bu sayılar “aralarında asal” olarak adlandırılır. Asal sayılar günümüzde özellikle şifreleme sistemlerinde önemli bir rol oynar; örneğin RSA yöntemi, büyük asal sayılar kullanarak dijital verilerin güvenliğini sağlar.

Asal sayılar ve bölen ilişkisi hakkında ilginç bir çalışma, bir öğretmenimiz tarafından yapılmıştır. Matematik öğretmeni Mehmet Arslan Hocamızın kendi el yazısı ile oluşturduğu, asal sayı ve bölen sayıları için örnek problemlerin ve özelliklerin oluşturduğu karalamaları,  sizinle paylaşıyoruz. Güzel el yazısı ve kısa özeti için kendisine teşekkürü bir borç biliriz. Yazımız gayet okunaklı olduğu için ayrıca bir açıklamaya gerek duymadan bu şekliyle istifade etmenizi umuyoruz.