ÖSYM Katı Cisimler Çıkmış Sorular

ÖSYM Katı Cisimler Çıkmış Sorular: Müfredat değişikliğinden dolayı bazı kısımlar, mevcut müfredatta (2025)  kaldırılmıştır. Bu nedenle bu PDF soyasında uzay geometri ve katı cisimler konularından mevcut müfredatta bulunan kazanımlarla ilgili sorular yer almaktadır. 2009 yılından öncesi sınavlarda çıkmış sorular bu pdf dosyasında yoktur.

2009 tarihinden sonraki  ÖSYM sınavlarında çıkmış Katı Cisimler ( Prizma, Piramit, Silindir, Koni, Küre) sorularını PDF olarak indirmek için tıklayınız.

 

ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

İntegralle hacim hesabı

Bir geometrik forma sahip olan geometrik cisimlerin (prizma, piramit, silindir, koni,küre) hacimleri katı cisimlerin alan formülleri yardımıyla bulunabilir. (Bkz. Katı cisimlerin hacimleri) Düzgün bir geometrik formu olmayan cisimlerin veya bir fonksiyonun bir eğri/eksen etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimleri integral yardımıyla hesaplanır.

Küre yüzeyinde katı açı kavramı

Steradyan: kürenin merkezini tepe olarak alan ve küre yüzeyinde bu kürenin yarıçapına eşit bir kare kadar alan ayıran uzay açısına eşittir. Boyutsuz bir büyüklük olup, 1995 yılından itibaren türetilmiş steradyan (sr) birim olarak tanımlanmıştır. Steradyen eskiden bir SI tamamlayıcı birimi iken bu kategori, 1995 yılında Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) içeriğinden kaldırılarak, steradian SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilmiştir. Steradyan (Katı açı), genelde Omega (Ω) sembolü ile gösterilir. Standart kısaltması "sr" olarak verilmiştir. 

Katı Cisimlerin Alan ve Hacim Formülleri

Birbirine paralel olacak şekilde seçilen iki çokgenin karşılıklı olarak köşe noktalarını birleştiren doğruların arasında kalan kapalı geometrik şekle katı cisim denir. Bu katı cisimler tabanında bulunan geometrik şekle göre isimlendirilir. Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan katı cisimlere düzgün katı cisim adı verilir. 

Prizma ve Piramitlerde Euler Bağıntısı

Tüm prizma ve piramitlerde köşe sayısı k, yüz sayısı y ve ayrıt sayısı a olmak üzere, k, y ve a arasında k + y – a = 2 bağıntısı vardır. (Euler Bağıntısı) Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır.Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir.

 

Çok yüzlülerde Euler Formülü 

Platon Katı Cisimleri

Platon Cisimleri: Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platonik Cisimler de denir.Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekiz yüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yoktur. Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.Düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.

"Gizem ve güzellik, daha bir çok matematiksel olguda olduğu gibi insanların ilgisin çokyüzüler üzerine çekmiştir. Bu uğurda kimileri çokyüzlüleri kullanarak yaşamı, doğayı açıklamaya, kimileri sanatlarıyla bütünleştirdi. Matematikçilerse her zaman olduğu gibi sadece araştırdılar ve çokgensel düzlem parçalarıyla sınırlandırılmış cisimlere çokyüzlü, bu düzlem parçalarına yüz, yüzlerin arakesitlerine ayrıt, üç ya da daha çok ayrıtın birleştiği noktaya ise köşe dediler.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur.

Çok Yüzlüler ve Çeşitleri

Yüzey parçaları ile sınırlanan kapalı uzay parçasına çokyüzeyli katı cisim; çokyüzeyli katı cismin sınırına da çokyüzeyli denir. Her çokyüzlü aynı zamanda çokyüzeylidir. Bir çokyüzeyliyi oluşturan her bir yüzey parçasına bu çokyüzeylinin yüzü, herhangi iki yüzün ara kesitine bu çokyüzeylinin ayrıtı, ikiden fazla yüzün ara kesitine bu çokyüzeylinin tepe noktası denir.

Çokyüzeyliler, yüzleri düzlemsel bölge olanlar ve olmayanlar olarak iki şekilde sınıflandırılır.

Çokyüzeyli katı cismin bütün yüzeyleri düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü katı cisim, eğer çokyüzeylinin bütün yüzey parçaları düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü denir.

Tekyüzey parçası ile sınırlanan kapalı uzay parçasına tekyüzeyli katı cisim, tekyüzeyli katı cismin sınırına da tekyüzeyli denir.

Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları ve İspatları

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.Bir küre merkezinden belli bir uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir.  Elektriğin kullanıma girmesine 2100 yıl, penisilinin icadına 2150 yıl, bilgisayar haberleşme ağlarının yayılmasına ise yaklaşık 2200 yıl vardır. Roma-Kartaca savaşları hala sürmektedir. Nitekim bu savaşlarda taraf tutmak zorunda olan Sicilya krallığı ölümcül bir yanlış yapıp Kartaca’nın tarafını tutar. Roma donanmasının uzun süren kuşatmasından sonra Sicilya düşer ve o karışıklıkta bir asker Arşimet’i öldürür. Vasiyeti üzerine mezar taşına silindir içine sokulmuş bir küre çizilir. Çünkü Arşimet’in en çok gurur duyduğunu söylediği gelişmesi budur.

 

Bir kürenin hacminin, içine tam olarak sığacağı silindirin hacmine oranı Arşimet üçte iki olarak bulur ve silindirin hacmi bilindiği için kürenin Hacmi tam olarak hesaplanmış olur. Arşimet’in mezarı daha sonra kaybolur. Yaklaşık üçyüz yıl kadar sonra Sicilya’da konsil yardımcılığı görevi sırasında Çiçero üzerinde bir silindir ve küre şekli bulunan bir mezar taşı bulur ... Bugün bu mezar taşı yine kayıp. Meraklı bir turistin Arşimet’in mezarından bir hatıra almak isteyip işin biraz aşırısına kaçtığı sanılıyor. Arşimet’in bunca gurur ve coşku duyduğu bu hacim hesabi gıpta edilecek sadeliktedir ve mutlaka çağdaşlarına “ben niye akil edemedim?” dedirtmiştir. Bu konunun matematiksel içeriği dışında bizi ilgilendiren bir başka yönü de bu hesapları içeren Arşimet’in Metotlar adli eserinin iki bin yıl ortadan kaybolduktan sonra bu yüzyılın başında İstanbul’da ortaya çıkmasıdır. (Sinan Sertöz-Arşimet Küreleri-Bilkent Üniversitesi) 

Koni Alan ve Hacmi

Bir düzlem içindeki dairenin her noktasını, düzlem dışındaki bir noktaya birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği geometrik şekle koni adı verilir. Yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen koniye dik dairesel koni denir. Dik üçgenin bir dik kenarı etrafında 360 derecelik açıyla döndürülmesiyle elde edilen koniye, dik dairesel koni veya kısaca dönel koni denir.

Koniler, tabanlarına göre; tabanı daire ise dairesel koni, tabanı elips ise eliptik koni gibi isimler alırlar. Dairesel bir dik koninin taban merkezini tepe noktasına birleştiren doğru parçasına, bu koninin ekseni veya yüksekliği denir. 

Taban çevresinin herhangi bir noktasını tepeye birleştiren doğru parçasına koninin ana doğrusu veya apotemi adı verilir. Taban çevresinin her noktasını tepeye birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği yüzey, koninin yanal yüzeyi adını alır. 

Yanal yüzeyin alanı, taban çevresi ile apoteminin çarpımının yarısına eşittir. Taban yarıçapının uzunluğu r, ana doğrusu-apotemi uzunluğu a ise yanal yüzey alanı= π.a.r formülü ile bulunur. Bir dairesel dik koninin hacmi piramid hacmi gibi bulunur. Bu nedenle tabanda bulunan dairenin alanı bulunduktan sonra, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri alınarak hacmi elde edilir.

Kesik koni hacmi bulunurken formülü hiç kullanmadan sadece benzerlik bilgileri yardımıyla da kesik koni hacmi hesaplanabilir.

Döndürme sorularında oluşacak şeklin taban yarıçapı ve yüksekliğinin iyi tespit edilmesi gerekir. Bu nedenle dönme eksenine göre yarıçap ve yükseklik belirlenir. Dönme açısı 360 dereceden daha az ise hacim sorularındatüm hacim 360 dereceye karşılık geleceğinden orantı yardımıyla istenen açıya karşılık gelen cismin hacmi bulunur. Örneğin 120 derecelik  bir dönme yapıldığında hacim 120/360 oranında olacaktır.

Piramitin Alanı ve Hacmi

Tabanı herhangi bir çokgen olan ve bu çokgenin tüm noktaları çokgen düzleminin dışındaki bir noktaya birleştirildiğinde oluşan şekil piramittir. Piramitler tabanlarına göre adlandırılırlar. Üçgen piramit, kare piramit, altıgen piramit.
Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen piramitlere de düzgün piramit adı verilir. Taban şekli kare olan piramitlere düzgün kare piramit denir. Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Bir dik piramitte eğer tabandaki şekil bir düzgün çokgen (bütün kenar ve açılar eş) ise; dönme simetri açısı 360/(kenar sayısı) formülü ile bulunur. Dik piramidin hacmi, eş tabana ve eş yüksekliğe sahip prizmanın hacminin üçte birine eşittir. Bir piramiti tabana paralel bir düzlemle kestiğimizde, taban ile düzlem arasında kalan kısmına kesik piramit denir.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde aşağıdaki ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Bir kesik piramitte kesit alanının yüzey alanını bulmak için iki üçgenin benzerliğinden yararlanarak gerekli uzunluklar bulunu ve bundan sonra alanı hesaplanır.

Piramidin hacmi tabanının alanı ile yükseklik uzunluğunun çarpımının üçte biridir. Bir dik piramidin hacmi eş tabanlı ve eş yüksekliği olan bir prizmanın hacminin 1/3 üne eşittir.Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir. Altıgen piramitte yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
Piramidin hacmi tabanda yer alan şekle göre değişiklik gösterir. Bu nedenle tabanda yer alan şekil ne ise öncelikle onun alanı bulunur daha sonra yükseklik bulunarak prizma hacmi hesaplanıyor gibi taban alanı ile yükseklik çarpılır ve 1/3 ü alınarak piramitin hacmi bulunur.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde yukarıda ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramite düzgün dörtyüzlü denir. Bu piramitin yüzey alanı eşkenar üçgenin alanın dört ile çarpılmasıyla bulunur.Düzgün dörtyüzlüde Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu düşünürsek piramitlerin yüksekliği; bir piramitin yüksekliğinin iki katı kadar olur.

Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır. 

Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir. Bir çokyüzlüde, iki yüzün kesiştiği yerde oluşan açıya iki düzlemli açı denir.Bütün iki düzlemli açıları 180° den küçük olan çokyüzlüye dışbükey çokyüzlü denir; örnek olarak küp verilebilir. iki düzlemli açılardan en az biri 180° den büyük olan çokyüzlüye içbükey çokyüzlü denir. Bu da en az bir köşe noktasının katının içine doğru olduğu anlamına gelir. Bütün yüzleri özdeş düzgün çokgenlerden oluşan çokyüzlüye düzgün çokyüzlü denir. Köşelerdeki açılar eşittir. Beş tane düzgün çokyüzlü vardır. Bunlar, Yunan filozof Platon’un adıyla anılır ve Platonik cisimler olarak adlandırılır.

Bir düzgün dörtyüzlü her biri eşkenar üçgensel bölge olan dört tane yüze sahiptir. Bir küpün altı tane karesel bölge yüzü vardır.Bir düzgün sekizyüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan sekiz tane yüze sahiptir. Bir düzgün on iki yüzlü, her biri düzgün beşgensel bölge olan on iki tane yüze sahiptir. Bir düzgün yirmi yüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan yirmi tane yüze sahiptir. Yüzleri çeşitli düzgün çokgensel bölgelerden oluşan çokyüzlüye yarı düzgün çokyüzlü denir. Bir otuz iki yüzlü, 20 üç- gensel bölge ve 12 beşgensel bölge olmak üzere toplam 32 yüzden oluşan bir yarı düzgün çokyüzlüdür.

Bir çok yüzlü için;köşe sayısı ile yüzey sayısının toplamından kenar(ayrıt) sayısı çıkarıldığında daima sabir bir değer olan 2 sayısı elde edilir. Bu formüle Euler çokyüzeyli formülü denir. Bu formül ünlü matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından bulunmuştur.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2

Geometrik Cisimlerin birim küp kodlaması

Birim küp: bütün kenar uzunlukları 1 br olan küpe birim küp adı verilir. Birim küpler yardımıyla çeşitli yapılar ve cisimler yapılabilir. Geometrik cisimler, izometrik kağıt üzerinde noktaların ardışık sıralarla birleştirilmesi sonucu meydana gelen birim küpler yardımıyla oluşturulan cisimlerdir. İzometrik kağıt; noktalı kağıt olarak da bilinir. Bir noktanın çevresinde bulunan altı noktaya da uzaklıkları eşittir. Bu uzaklıkları nokta ile göstererek üzerinde çeşitli üç boyutlu cisimlerin çizimi kolay hale getirilir.