Bir Cismin İzdüşüm özellikleri

Etiketler : analitik geometri dönüşüm geometrisi fraktal geometri izdüşüm koordinat sistemi matematik yansıma

İzdüşüm: Bir cismin, bir düzlem üzerine,ışınların etkiyle düşürülen görüntüsüne, o cismin izdüşümü, görüntünün elde edilebilmesi için uygulanan metoda ise izdüşüm metodu denir.Sinemada perdeye yansıyan film,güneşli bir günde yolda yürürken meydana gelen gölgemiz birer izdüşüm kabul edilir. İzdüşüm metodunun uygulamaları cisimlerin biçimlerinin teknik ve meslek resmi yönünden anlatılmasına hizmet eder. 

Günümüzde, cisimlerin anlatımı, teknik resim,perspektif ve fotoğraflarla birlikte en iyi şekilde tasarı geometri çizimleri ile yapılabilmektedir. Özellikle mühendislikte ve mimaride iz düşümün önemi çok büyüktür.Bir teknik elemanın insanların ihtiyaçlarında kullanmak istediği herhangi bir şeyi düşünüp yaptırabilmesi için, yapacak olan kişiye gerçek örneğini vermesi veya küçük ölçekte modelini (maketini) yapması gerekir. Bu anlatım çok masraflı ve zaman alıcı olacağından çizimle anlatımda kolaylık sağlayan, teknik resim kuralları uygulanarak iş resimleri çizilmektedir. 

Teknik resim, tanımlanması istenen cisimlerin geometrik yapılarını,konusunu, şekil ve boyutlarını tam veya bir ölçek altında belirtir. Bu tanımlama, üç boyutlu cisimlerin iki boyutlu düzlemler üzerine uygun bir metotla çizilmelerini ve ölçülendirilmelerini gerektirir. İki boyutlu düzlem üzerinde yapılacak çizimin gerçekleştirilmesi ancak iz düşüm metotlarının uygulanması ile mümkün olur.İzdüşüm (perspektif) genel olarak iki başlık altında incelenir. Konik perspektif, paralel ve kotlu izdüşüm. Bu başlıklar da kendi alt birimlere ayrılabilir. Bir merkezden çıkan ışınların açı oluşturarak, cismin çevre ve kenarlarından geçerek, düzlem üzerinde bir görüntü meydana getirmesiyle oluşur. İz düşüm düzlemine sonsuz uzaklıkta olmayan bir gözlem noktasından ışınlar gönderilerek, bir cismin iz düşüm düzlemi üzerindeki görüntüsünü bulma yoluna merkezi (konik) iz düşüm adı verilir. 

Konik iz düşüm metodunda, cismin boyutları ile iz düşümün boyutları birbirinden farklıdır. Görüntü büyüyüp küçüldüğünden teknik resimlerin çizilmesinde kullanılmaz.Meydana gelen görüntünün (iz düşümün) şekli ve büyüklüğü, o cismin şekline, duruşuna, iz düşüm merkezinin, cisim ve iz düşüm düzlemine uzaklığına bağlıdır. Merkezi (konik) iz düşüm, genellikle, dekor, afiş ve mimari çizimler için kullanılır. Merkezi iz düşümde ışınlar, şekillerde görüldüğü gibi, iz düşüm düzlemlerinden pek uzakta olmayan, bakış noktasında birleştiklerinden birbirlerine paralel değildirler. Cismin, iz düşüm düzlemi üzerindeki görüntüsünün, biçim ve büyüklüğü, cismin kendi biçim ve duruşuna ek olarak, aynı zamanda cismin ve bakış noktasının iz düşüm düzleminden olan uzaklığına da bağlıdır. 

Bakış noktası cisme sonsuz uzaklıkta ise bakış noktasından çıkan ışınlar birbirine paralel olarak gelir. Bu ışınlarla elde edilen iz düşüme paralel iz düşüm denir. İz düşüren ışınların cisme ve iz düşüm düzlemlerine geliş açılarına göre paralel iz düşüm metodu ikiye ayrılır. Bunlar; Paralel dik iz düşüm ve Paralel eğik iz düşüm. Eğer ışınlar düzleme 90°’lik bir açı altında geliyorsa, buna da paralel dik izdüşüm denir. Bu metotta iz düşüm ışınları birbirine paralel, iz düşüm düzlemine ise dik olarak gelir. Cismin duruşunun sabit olması halinde, düzlem ve cisim arasındaki mesafe değişse bile iz düşümde herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Gelen ışınlar birbirine paralel kabul edilebileceğinden cismin iz düşümünde kendisine göre bir büyüme veya küçülme meydana gelmez.

Işınlar, iz düşüm düzlemine herhangi bir açıyla da gelebilir. Eğer ışınlar düzleme 90° den farklı bir açıda gelirse görüntüye paralel eğik izdüşüm denir. Bu metotta ışınlar birbirine paralel, iz düşüm düzlemine eğiktir. Cismin bir yüzü iz düşüm düzlemine paralel olduğu halde, ışınlar 90°’den farklı bir açıyla iz düşüm düzlemine gelir. 

Kotlu İz Düşüm Cismin uzaydaki yeri (veya noktaların yerleri) iz düşüm düzleminden çok yüksek,daha alçak veya düzlemin çok altında olabilir. Bu durumda noktanın uzaydaki yeri bir izdüşümü ile tanımlanamaz Bir noktanın uzaydaki yeri sadece düzlem üzerindeki bir izdüşümü ile belirtilemez. Bu tip iz düşümlere en açık örnek olarak haritaları gösterebiliriz.Jeoloji (yeryüzü şekillerini inceleyen bilim dalı) haritaları tek görünüşlü olmalarına rağmen, farklı bir iz düşüm metoduna göre çizildikleri için üç boyutlu olarak okunabilmektedir.Böylelikle yükseklikler (dağlar, tepeler) ile deniz seviyeleri ince birer sınır çizgisi ile belirtilerek kotlandırılmış olur.

İzdüşüm Düzlemleri; Birbirine bitişik ve dik konumda alınan,üzerine izdüşümleri çizdiğimiz düzlemlere izdüşüm düzlemleri denir. İz düşüm düzlemi, metreyi birim olarak kabul eden milletlerde saydamsızdır ve bakış noktası cisimden sonra konur. İnç’i birim olarak kabul eden milletlerde saydamdır ve bakış noktası ile cisim arasına konur. İz düşüm düzlemi cisimden sonra konursa görüntü büyük; bakış noktası ile cisim arasına konursa görüntü küçük çıkar. Uzaydaki bir cisim, bir düzlem önünde tutulup bu cisme karşıdan bakılacak olursa, cismin düzlem üzerine bir görüntüsü düşer. Cisimlerin düzlem üzerine ışık ışınları yolu ile düşürülen bu görüntüsüne iz düşüm denir. 

İz düşüm ışınlarının çıktığı kabul edilen noktaya bakış noktası (odak noktası) denir. İz düşümler belirli kurallar, prensipler ve işlemler sonucunda meydana gelir. Bunların kâğıt üzerinde gösterilmesi ise iz düşüm yöntemleri aracılığıyla olur. İz düşüm çizimlerinde bakış noktasının ışık kaynağı yerine bir göz olduğu kabul edilmiştir. Buna göre kalem görüntüsünün düzlem üzerinde oluşabilmesi için ışık kaynağı veya bakış noktası, cisim ve düzlemin bulunması gerekir. Bakış noktası olarak kabul edilen yer cisimden uzaklaştıkça görüntü küçülür ve cisme yaklaştıkça görüntü büyür. Temel izdüşüm düzlemlerini bir arada bulunduran şekle diedri denir. Diedri üzerinde bulunan «alın» izdüşüm düzlemi önden bakış için, «profil» izdüşüm düzlemi yandan bakış için, «yatay» izdüşüm düzlemi ise üstten bakış için kullanılır. Diedrinin açılmış şekline «epür» denir. 

Bütün geometri elemanlarının esası, noktalar olduğuna göre, bunların uzaydaki yerlerini belirten iki ayrı düzlem, yani yatay ve alın (düşey) izdüşüm düzlemleri, birbirine dik olarak kabul edilir. Yatay izdüşüm düzlemi  (x) ekseni etrafında döndürülerek alın düzlemi ile çakıştırılırlar. Bu suretle elde edilen resme "Epür" denilir. 

Teknik resimlerdeki görünüşler, cisimlerin epürlerinden başka birşey değildirler. Çok çeşitli ve sonsuz sayıdaki parçalardan bir kısmı, iki izdüşümü ile tanınamaz veya tanıtılamaz. Epürlerde düzlemleri sınırlayan çizgilere her zaman ihtiyaç olmadığından,çizilmeyebilir veya sadece koordinat ekseni olan (+) şeklindeki epür çizilebilir. Önemli olan koordinatları verilen bir noktanın perspektifini ve daha önemlisi de epürünü çizmektir 

Dolayısıyla, izdüşümlerin daha anlamlı ve yeterli olmaları bakımından, mevcut yatay ve  alın (düşey) izdüşüm düzlemlerine ek olarak bunlara dik olan üçüncü bir profil izdüşüm düzlemi katılır. Bu şekilde cisimlere ait izdüşüm sayısı arttırılmış olur. Cisimden yatay, düşey ve profil düzlemlerine dik olarak ışınlar gönderilir ve cismin düzlemlerde adeta gölgesi oluşturulur. Bundan sonraki aşamada ise cisim, düzlemler arasından kaldırılır ve sadece düzlemlerdeki izdüşümleri kalır. Daha sonra yatay düzlemi aşağıya, profil düzlemi ise sağa doğru kıvrılır. İzdüşüm düzlemlerinin keşişmesiyle meydana gelen çizgilere de Katlama çizgileri veya kısaca Eksen denilir. 

Harita İzdüşüm; Yer elipsoidini harita düzlemi üzerinde matematiksel olarak gösterme yöntemine “harita izdüşümü” denir. Bu yöntem; uygun izdüşümler, eşdeğer izdüşümler ve perspektif izdüşümler gibi sistemleri kapsar. Genellikle izdüşüm sistemi harita çizecek olan kişinin amacına göre seçilir. Kullanılan izdüşüm sistemleri arasında en eskisi “Mercator izdüşüm sistemi”dir. Uzay şekillerinin izdüşümlerini çıkarmaktaki amaç, izdüşümlerin epüre dönüştürülmesiyle cisimlerin teknik resimlerini elde edebilmektir. 

Yeri küresel kabul edilen bu sistem , deniz haritalarının yapımında bugün de kullanılmaktadır. Bu izdüşüm sisteminin geliştirilmesiyle “Mollweide izdüşümü” bulunmuştur. Mollweide izdüşümünde boylam daireleri kutuplara doğru birbirine yaklaşır. Merkezi bir paralel boyunca yapılan konik bir açılımdan yararlanılan sistem “Lambert sistemi” olmuştur. Bunlardan başka Laborde, dik, stereografik ve çok yüzlü, Gauss gibi daha çeşitli izdüşüm sistemleri de kullanılmaktadır. 

Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kestiği A noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir. Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kümesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir seklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için seklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir. Buna göre bir şeklin bir düzlem üzerine izdüşümü bulunurken o şeklin düzleme paralel olan yapısı esas alınır. Yandaki şekilde bir çizginin bir düzleme izdüşümü gösterilmiştir. Görüldüğü üzere bu çizginin düzlemle paralel olan izdüşümü alınmıştır. Bu düzlemle yapılan açının sıfırlanması ve trigonometrik olarak izdüşümünün alınması olarak da yorumlanabilir. 

Kaynak: 

İnşaat Teknolojisi İzdüşüm Çizimleri, Ankara, 2012, MEGEP http://www.megep.meb.gov.tr

İzdüşüm nedir? Ders Notları, Ankara Üniversitesi, https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/146019/mod_resource/content/1/Hafta%208.pdf  

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi)