Belirli integralde alan hesabı

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.

Belirli integral

f(x) fonksiyonu bir [a,b] kapalı aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere F'(x)=f(x) olmak üzere f(x) grafiğinin a alt sınırı ile b üst sınırı arasında kalan alanını gösteren ifadeye "belirli integral" denir. 

Belirli integralde c integral sabiti yoktur. Belirli integralin sonucu bir nicelik ifade eder. İntegrali alınacak fonksiyonun önce belirsiz integralde işlenen integral alma kuralları yardımıyla integrali hesaplandıktan sonra alt ve üst sınırlar, integral sonucunda çıkan ifadede değişken yerine yazılarak sırasıyla birbirinden çıkarılır. Bu durumda elde edilen sonuç bir Reel sayı olur. Yani bulunan bu değer; kısaca fonksiyonun  grafiğinin o kapalı aralıktaki grafik ile eksen (x veya y) arasında kalan alanını verir. dx değişkenine göre integral alınmışsa x ekseni, dy 'e göre integral alınmış ise y ekseni baz alınarak alan hesabı yapılır.

f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ise bu aralıkta integrali alınabilir. fonksiyon; bu kapalı aralıkta süreksiz olsa bile [a,b] aralığında fonksiyonun grafiğinin altında kalan alan hesaplanacağı için yine bu aralıkta fonksiyon integrallenebilir.

İntegrali alınacak fonksiyonun çizildiği kapalı aralıkta alt ve üst sınırlar birbirine eşit ise [a,a], burada herhangi bir alandan söz edilemeyeceği için belirli integral değeri 0 olur.

Belirli integral toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılabilir. Sınırları uygun bir şekilde parçalı olarak yazılabilir. Belirli integral değeri (-1) ile çarpılırsa integralin alt ve üst sınırları yer değiştirir.

Belirli integralin türevi alınırsa bu durumda sonuç sıfır olur. Çünkü belirli integralde elde edilen değer bir sabit sayı olduğundan türevi alındığında sabit sayı(fonksiyonun) eğimi 0 olacağı için belirli integralin türev değeri de 0 bulunur. 

Parçalı biçimde verilen fonksiyonların bir kapalı aralıkta belirli integrali alınırken, parçalanma noktalarına göre (kritik nokta) fonksiyonlar ayrı ayrı belirlenir ve bu fonksiyonlara göre integral tekrar düzenlenip belirli integral hesaplanır.

Mutlak değerli fonksiyonlar da parçalı fonksiyon biçiminde yazıldıktan sonra kritik noktasına göre belirli integrali hesaplanır. Mutlak değerin kritik noktası bulunmadan integral alama işlemi yapılmaz. Kritik nokta bulunurken, mutlak değerin içindeki ifadenin kökleri bulunur.

Trigonometrik ifadelerin belirli integrali hesaplanırken, belirsiz integralde uygulanan integral alma işlemleri, trigonometrik özdeşlik ve formüller kullanılır. Daha sonra alt ve üst sınırlar değişken yerine yazılarak sonuç bulunur. Trigonometrik ifadelerde mutlak değerli bir ifade varsa mutlaka trigonometrik fonksiyonun bölgesindeki işarete bakılarak değerlendirme yapılır.

İntegralde basit kesirlere ayırma yöntemi

Rasyonel şekilde verilen bir fonksiyonun integrali alınırken bazen pay kısmında yer alan ifade payda kısmında yer alan ifadeye polinom bölmesi yapılarak integral basit kesirlere ayrılır ve ayrılan basit kesirler ayrı ayrı hesaplanarak integral alma işlemi tamamlanır.

Kısmi integrasyon metodu

Genellikle iki farklı fonksiyonun çarpımı şeklinde verilen fonksiyonların integralinde değişken değiştirme yöntemi işe yaramayacağından burada "kısmi integrasyon yöntemi" kullanılır. 

Logaritma (L), Terstrigonometrik fonksiyonlar (Arc), Polinom fonksiyon (P), Trigonometrik fonksiyon (T) ve üstel fonksiyon (Ü) sırasıyla hangisi önce geliyorsa (LAPTÜ) o fonksiyona u değişkeni verilip diferansiyeli alındıktan sonra kısmi integrasyon formülü kullanılarak integral alma işlemi yapılır.

 

 

 

Logaritma ve üstel fonkiyonun integrali

Üstel ve logaritma biçiminde verilen fonksiyonların integrali hesaplanırken, üstel ve logaritma fonksiyon özelliklerinden yararlanılır. Türevden yararlanarak üstel fonksiyon ve logaritmanın integral kuralları oluşturulabilir. (Bkz: Logaritma Türevi)

 

Bazı durumlarda integral alma işleminde değişken değiştirme yöntemi kullanılır. Değişken değiştirme yönteminde hangi parçaya u deneceği ve bunun diferansiyelinin alınması son derece önemlidir.  Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma kurallarında verilen integral formuna dönüştürülen logaritma fonksiyonun integrali, aşağıdaki formüller yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

 

 

 

lnx gibi bazı fonksiyonların integrali alınırken kısmi integrasyon metodundan yararlanılır. (Bkz: Kısmi İntegrasyon Metodu)

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Ters trigonometrik fonksiyon biçiminde verilen fonksiyonlarda dik üçgen çiziminden yararlanarak dönüşüm yapılabilir. Bu şekilde elde edilen belirsiz integral, integral alma kuralları yardımıyla hesaplanır.

 

İntegrali alınacak fonksiyonun paydasındaki ifadenin ters trigonometrik fonksiyonların integralindeki forma dönüşebilmesi için paydaya uygun sayılar eklenir ya da çıkarılır bunun sonucunda elde edilen integral istenen biçime dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır. 

 

Trigonometrik fonksiyonların integrali

Trigonometrik fonksiyonların integrali hesaplanırken öncelikle verilen integral değişken değiştirme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla uygun bir forma dönüştürülür daha sonra integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

 

Bazı trigonometrik integralde sadece değişken değiştirme işlemi sorunun çözümü için yetmeyebilir. Bu durumda integrali alınacak fonksiyon; trigonometrik özdeşlikler, yarım açı formülleri, toplam ve fark formülleri, dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri kullanılarak daha basit bir forma dönüştürülür sonra integral alma işlemi yapılır. Aşağıdaki örnekte verilen fonksiyonun integrali alınırken sinü fonksiyonun yarım açı formülü kullanılarak integral daha basit bir forma dönüştürülmüş daha sonra değişken değiştirme işlemi ile integral hesabı yapılmıştır.

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların çift kuvvetleri biçiminde verilen integrallerde derece trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düşürülerek integral basit forma indirgenir. Örneğin sin²x ve cos²x fonksiyonlarının integrali hesaplanırken, yarım açı formüllerinden yararlanarak fonksiyonun derecesi düşürülür. Sonra bilinen integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların tek kuvvetleri biçiminde verilen integraller, önce çift dereceli ve tek dereceli olacak biçimde iki çarpan halinde yazılır. Örneğin sin³x fonksiyonu sin²x ve sinx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan sin³x=sin²x.sinx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak sin²x=1-cos²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür. Benzer şekilde cos³x fonksiyonu cos²x ve cosx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan cos³x=cos²x.cosx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak cos²x=1-sin²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür.

 

 

 

Bazı trigonometrik fonksiyonların integralinde ters dönüşüm formüllerinden yararlanmak gerekebilir. Bu durumdafonksiyon öncelikle ters dönüşüm formülü kullanılarak uygun forma dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır.