Matematik ve Müzik

Yıllar önce üniversitede matematik eğitimi alırken müzik bölümünde yüksek lisans yapmakta olan bir öğrenci gelerek biz matematik sınıfı öğrencilerine bir anket çalışması düzenlemişti. Ankette yer alan sorular eşliğinde matematikçilerin müzikle olan ilgileri, müzik ve farklı seslere verdiği tepkiler ölçülerek bu konu hakkında bir çalışma yapılmıştı. Daha sonra ki yıllarda biraz araştırmalarım sayesinde "matematik ve müzik ilişkisi alanında" yurt içinde ve yurt dışında pek çok çalışmanın da yapıldığı gerçeğine ulaştım. Gerçekten de müzik ve matematik birbirini pek çok açıdan etkileyen birbirinden ayrı ve farklıymış gibi görünen iki bilim dalıydı. Bu konuda yurt içinde yapılan çalışmalardan biri olan ECE KARŞAL'ın makalesini istifadenize sunuyorum.

"Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler. Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır. Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır. Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir. 

Ian Stewart, Dünya'yı Değiştiren 17 Denklem

Matematikçi Ian Stewart "Bilinmeyenin İzinde: Dünya'yı Değiştiren 17 Denklem" başlıklı kitabını yayımladı ve insanlığın tarihinde keşfedilen 17 matematiksel denklemi, bilimsel yoğunluğundan kurtararak, herkes tarafından anlaşılabilir bir hale soktu. Prof. Dr. Ian Stewart'a bu kitabını neden yazmaya karar verdiği sorulduğunda şöyle yanıt veriyor:
"Denklemler kesinlikle sıkıcı olabilir ve çok karmaşık görünebilirler. Ancak bunun sebebi genellikle sıkıcı ve karmaşık bir şekilde sunulmalarındandır. Benim okullarımızdaki matematik öğretmenlerine göre bir avantajım var: Size toplamayı kendi başınıza nasıl yapacağınızı göstermeye çalışmıyorum. Denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmeden de onların güzelliğini ve önemini takdir edebilirsiniz. Benim niyetim onları kültürel ve insani bir hale sokmak ve onları tarihimizdeki maskelerinden arındırmaktır. Denklemler, kültürümüzün önemli bir parçasıdır. Bu denklemlerin arkasındaki hikayeler, onları keşfedenler, onların yaşadıkları dönemler ve benzerleri oldukça etkileyicidir."

Paperback: 360 pages Publisher: Basic Books; First Trade Paper Edition edition (October 8, 2013) Language: English 

 

Kitap içersinden ayrıntılı olarak derlenmiş parçalara göz atmak isterseniz, blogumuzda yer alan (Bkz. Dünyayı Değiştiren 17-denklem) yazımızı okuyunuz.

Wolfram Alpha Android Uygulaması

Wolfram Alpha (Wolfram|Alpha olarak da yazılır), Matematiksel hesaplar yapan bilim insanlarının tercihlerinden biri olan Mathematica yazılımının geliştiricisi Stephen Wolfram'ın sahibi olduğu Wolfram Research tarafından geliştirilen bir bilgi motorudur. Wolfram Alpha, çevrimiçi bir hizmet olarak var olan sistematik bilgilere herkesin doğrudan erişebilmesini sağlar ve sistematik bilgileri hesaplanabilir kılar. Mart 2009'da Stephen Wolfram tarafından internet camiasına duyurulan bilgi motoru, 15 Mayıs 2009'da halk kullanımına açılmıştır.Wolfram Alpha, Mathematica yazılımının üreticileri tarafından geliştirilmiş özel bir arama motorudur.  WolframAlpha.com, teknolojinin insanlığa sunduğu en yararlı araçlardandır. Arama motorları ile içli dışlı olduğumuz bu zamanlarda Wolfram Alpha'yı bu kadar özel ve kullanışlı kılan nedir? Wolfram Alpha arama motoru, tamamen mantıksal ve matematiksel ifadeleri anlayabilen ve kendisine yöneltilen sorulara mantıklı cevaplar verebilen, matematik, fizik, kimya, finans, müzik, mühendislik, sağlık gibi bir çok bilim dalındaki yöneltilen soruları anlamdırabilen ve anlamlı cevaplar verebilen, bu alanlarla ilgili konularda derin bilgi  alt yapısına sahip arama motorudur.

https://www.wolframalpha.com/

Wolfram Alpha'ya bir ülke ismi, şehir, bir tarih, bir hesaplama ya da tarihsel bir olay yazıldığı zaman kesin cevaplar ayrıntılı bir şekilde alabilir. Örnek olarak Wolfram Alpha üzerinde “Ankara” kelimesini verip arama gerçekleştirildiğinde, Ankara hakkında; nüfus bilgileri, Istanbul’un haritadaki yeri, koordinatları, yerel tarih ve saati gibi ayrıntılar verilmektedir. Bunun yanı sıra Wolfram Alpha arama sonuçları sayfasında, sağ kısımda Vikipedi üzerindeki Ankara makalesine görsel bağlantı da eklenmiş oluyor. Aynı şekilde iki farklı ülke de çeşitli yönleriyle ansiklopedik olarak karşılaştırılabilmekte Wofram Alpha Neler Yapabiliyor. Bu arama  motoru soru sistematiğine dayanan bir alt yapı ile çalışmaktadır. Bir kaç örnek ile neler yapabilceğini görelim.Arama motoruna "what are you doing ?" (ne yapıyorsun?) diye sorgulama yaptığımızda, " I am doing computation for the world" (Dünya için hesaplama yapıyorum) diye bir cevap alabilirsiniz."who I am ?" (ben kimim) diye sorduğunuzda ip adresinizi ve ip adresine dayalı olarak dünya üzerinde hangi paralel ve meridyende bulunduğunuzu gösterebiliyor.İki şeyi kıyaslamak istediğimzde de güzel sonuçlar verebiliyor. "istanbul ankara" diye sorguladığımızda İstanbul ve Ankara üzerine o anki hava tahminlerinden tutun, yüz ölçümleri, nüfuslarını, saat farklarına kadar ayrıntılı sonuçlara ulaşabiliyorsunuz.Yiyeceğiniz besinlerin kalori değerlerini anında öğrenebilirsiniz örneğin.

Wofram Alpha'nın Matematik Becerisi Öğrencileri en çok sevindirecek tarafı ise matematik becerisinin mükemmel olması. Matematikle ilgili herşeyi sorup cevabını alabileceğiniz bir bilgisayar alt yapısıyla karşı karşıyayız. Bir çok soru için çözüm yollarını da vermektedir.

Şimdi size matematik sorularınızın çözmünde Wolfram Alpha'yı nasıl kullanacağınızla ilgili örnekler vereceğim.

Önermeler mantığı [(p ⇒ p) ∨ (p ∧ q)] ⇔ 0

Kümlerdeki işlemleri Venn diyagramı ile göstrmek için S'∩(A∪B).

Karekök hesaplatmak; √2 için "sqrt 2"

Küpkök hesaplatmak; ∛2 için "cbrt 2"

Taban aritmetiği işlemleri "(28₁₆).(30 ₅)"

Taban çevirme "23₄ sayısını ikilik tabana çevirme"

5. dereceden kök için "fifth root of 59049"

Kesirli işlem yaptırmak; 1/4 * (4 - 1/2)   [ çarpma için "*" sembolünü kullanınız]

Üslü İşlemler İçin 8  üssü 6 için  8^6

Yüzdesini bulmak ; 80 nin %15 i için "15% of 80"

Kar hesaplatmak; 80 liralık malı %15 kar ile satarsak "80+ 15%"

Bir sayıyı çarpanlarına ayırmak; 70560 ın asal çarpanları için "factor 70560"

Cebirsel bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak; x²-4x+3 nın çarpanları için "factor x^2-4x+3"

Ebob hesaplatmak ; ebob(22,121,1100) için "gcd( 22,121,1100 )"

Ekok hesaplatmak; ekok(30,60,80) için  " lcm(30,60,80)"

Maksimum değer bulmak; x.(1-x).e^x ifadesinin maximumum alacağı değer " max{ x.(1-x).e^x }"

Minimum değer bulmak; x+y=5 olmak üzere x²+y nin minimum alacağı değer " min{ x²+y | x+y=5 }"

Sayı dizilerinde sonraki terimi bulmak için 5, 14, 23, 32, 41, ...

Logaritmik denklem çözdürmek için 4^log(3,x) +x^log(3,4)=1/32

Denklemlerin köklerini bulmak; x²-4x²+6x=24 için "x^3 - 4x^2 + 6x = 24"

Denklem sistemlerinin çözümü; x+y=10, x-y=4  için "x+y=10, x-y=4"

2. yada 3. dereceden denklem grafikleri;  x³-6x²+4x+12 nin grafiği için "plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12"
İntegral hesaplamak için "int x^5 dx" veya "integrals containing cos(u)"
Belirli integral hesaplamak için "integrate sin x dx from x=0 to pi"
Türev hesaplamak için, "derivative of x^4 sin x"
Limit hesaplamak için, "lim (sin x - x)/x^3 as x->0"

Wolfram Alpha şimdi akıllı telefonlarda bir android uygulması olarak da karşımıza çıkmaktadır. Ücretli versiyon olarak google store'da bu uygulamaya erişim sağlayabilirsiniz. Uygulamayı telefonunuza google olay üzerinden indirebilirsiniz. 

Kadir Gecesinin Fazileti

Kadir Gecesi, üç ayların sonuncusu olan Ramazan-ı Şerif ayının (genel kabul edilen anlayışa göre) yirmi yedinci gecesine rastladığı düşünülür. Kur'an-ı Kerim'de Kadir Gecesinin önemi şu şekilde dile getirilmiştir.

''Biz Onu (Kur'an-ı Kerim'i) Kadir Gecesinde indirdik. Kadir Gecesi'nin ne olduğunu sen bilirmisin? Kadir Gecesi, bin aydan daha hayırlıdır.O gecede,Rablerinin izniyle melekler ve Ruh (Cebrail a.s) her iş için iner dururlar. O gece esenlik,gün ağarıncaya kadar sürer.'' (Kadir Suresi 1-5)

 

Mübarek gün ve geceler, dini hayatın canlanmasını ve inananların yeni bir güç kazanmalarını sağlar. Çünkü bu gün ve gecelerde Müslümanlar daha fazla ibadet edip geçmiş günahlarına tevbe ederler. Mübarek günlerin gündüzlerini oruç tutarak, gecelerini ise namaz kılarak, Ku'ran-ı Kerim okuyarak ve dua ederek geçirirler.

BAKARA SURESİ'nden Yahudilere:

İsrailoğullarının Müslümanları yaşadıkları topraklardan kovabilmek maksadıyla her yıl bir bahane ile başlattıkları savaş ve zulüm görüntüleri, aslında Yahudilerin geçmişten günümüze kadar değişmeden sürdürdükleri karakterlerinin bir göstergesidir. Müslümanların acizliklerinden, çaresizliklerinden, suskunluklarından, tepkisizliklerinden ve dünyaya meyl etmiş olmalarının verdiği rehavetten yararlanarak her yıl özellikle Ramazan ayında zulümlerini bir bahane ile başlatıp sürdürmeleri üzerine Kuran'ı Kerim'den bugünleri anlatırcasına bizleri düşündüren ayetleri paylaşalım:

Tancalı İbn Battuta ve Seyehatnâmesi

"Ortaçağın en büyük seyyahı ve Rıhletü İbn Battûta diye bilinen seyahatnâmenin sahibi. Uzun adı; Ebû Abdullah Muhammed b. Abdullah b. Muhammed b. İbrahim Levâtî Tancî. 17 Recep 703/25 Şubat 1304’te Fas’ın Tanca şehrinde doğdu; 770/1368’de Tâmesna-Merrâkeş kadısı iken vefat etti. Ailesi, Berberî asıllı Levâte kabilesinden olup Berka’dan Tanca’ya göçenlerdendir. Edebiyat, fıkıh gibi dönemin popüler ilimlerinde sivrilmediği için sadece üç çağdaşı ondan bahseder. Ancak seyahatnâmesi sayesinde dünya tarihinin en çok tanınan gezginlerinden olmuştur. 

a) İbn Battûta’ya Temas Eden Tarihî Kaynaklar 

Kendi çağdaşları arasında sadece Lisânüddîn İbnü’l-Hatîb, İbn Hacer ve İbn Haldûn ondan bahseder. Abdülhayy Hasenî ve Makkarî de Rıhle’den alıntılarda bulunan tarihçilerdendir. Fas’ta, Sa’dîler döneminde Osmanlı başşehrine sefir olarak (1589-1591) gönderilen Temgrûtî eserinde bazı doğu şehirlerini anlatırken İbn Battûta’ya atıfta bulunmuş, ünlü sözlükçü Zebîdî, ansiklopedik sözlüğü Tâcü’l-Arûs’da seyyahımızı tanıtırken “Tı” harfinin Battûta şeklinde şeddeli okunması gerektiğini bildirmiş ve Beylûnî’nin çıkardığı muhtasara değinmiştir. Muhammed b. Fethullah b. Mahmud Beylûnî (ö: 1085/1674), gerek Avrupa’da gerekse İslâm dünyasında Rıhle’nin tanınmasında önemli bir duraktır; onun sunduğu Münteka, yani özetin Doğu kütüphanelerinde çeşitli nüshalarına ulaşılmış, Avrupa’da ilk İbn Battûta çevirilerine de onun özetiyle başlanmıştır. Dolayısıyla Defrémery-Sanguinetti neşrinden önce Rıhle’nin Doğu İslâm âleminde hiç bilinmediğini savunmak abartılı bir iddiadır. 

 

Fotokopisi Faslı diplomasi tarihi uzmanı A. Tâzî tarafından neşredilen bir mektubundan da anlaşıldığı üzere meşhur biyografi uzmanı edebiyatçı İbnü’l-Hatîb aslında İbn Battûta’yı çok iyi tanımaktadır; ancak ya onu ciddiye almadığından yahut kıskanç davrandığından dolayı ünlü eseri İhâta’da ona pek yer ayırmamış, birkaç cümlecik malûmatı da hocası Ebu’l-Berekât Bilfîkî’den naklederek vermiştir. İbn Hacer Askalânî de İhâta’yı kaynak göstererek bir-iki cümleyle geçiştirmiş İbn Haldun ise gerçekleşmesi imkânsız görülen olayları hemen inkâr etmenin yanlışlığı konusunda Vezir İbn Vudrâr Haşemî’nin uyarısını naklederken İbn Battûta’dan bahsetmiştir. Bu kaynaklardaki kısa değinilerden anlaşılacağı üzere İbn Battûta, dinî ilimlerde biraz ilerlemiş lâkin herhangi bir alanda derinleşememiş bir genç olarak başlar seyahatlerine. Yıllar sonra Merinî hükümdarı Ebû İnân Fâris döneminde (749-759/1348-1354) yurduna döndüğünde gezdiği uzak ülkelerden, gördüğü garip olaylardan bahsedince sözleri alayla karşılanmış ve pek çok şeyi uydurduğu sanılmıştır. Örneğin Ebu’l-Berekât Bilfîkî, Gırnata’da görüştüğü gezginin her şeyi çok abarttığını savunmuştur. Kuşkusuz; bilge siyasetçi Vezir İbn Vudrâr olmasaydı İbn Haldun da alaycılar kervanına katılacaktı. Seyyahın yola çıkarken derin bir kültüre sahip olmadığı savunulsa bile, gerek seyahat esnasında aldığı icâzetler ve her sahada öğrendiği yeni bilgiler; gerekse önceki yazarların anlattıklarını güncelleştirme çabası bize şunu göstermektedir ki; yurduna döndüğünde artık deneyimli bir bilgin ve seçkin bir danışman olarak Merinî sultanının meclisinde yerini almıştır. Elimize ulaşamasa da İbn Sûde bize İbn Battûta’nın el-Vasît fî Ahbâri Men Halle Timentıt başlığıyla ikinci bir kitabı olduğunu bildirmektedir.

Çembere Teğet Çizmek

Teğet: Bir çembere veya bir eğriye tek bir noktadan geçecek eşkilde çizilen doğruya denir. Teğet doğrusu ile eğrinin veya çemberin kesim noktası sadece bir tanedir. Teğet doğrusu ile çemberin denklemleri birbirine eşitlenip, ortaya çıkan denklemin diskriminant değerine bakıldığında bu değerin sıfıra eşit olduğu görülür.Bir eğriin birinci türevi alındığında verilen nokta için teğetin eğimi bulunabilir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan teğet çizmek için önce bir çember çizilir. Daha sonra çemberin üzerinde olmayacak şekilde çemberin dış bölgesinde yer alan noktalardan herhangi birisi işaretlenir buna uygun olarak çemberin üzerinde alınan iki farklı noktayı bu nokta ile birleştirdiğimizde çembere teğet çizilmiş olur. 

Videoda bir çembere nasıl teğet çizileceği gösterilmiştir. Çizim için aşağıdaki bağlantıyı inceleyebilirsiniz.

"Çemberde teğet özellikleri" yazısına ulaşmak isterseniz, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2018/06/cemberde-teget-ozellikleri.html

"Çemberde kiriş özellikleri" yazısına ulaşmak isterseniz, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2018/06/cemberde-kiris-ozellikleri.html

"Çemberde kuvvet fonksiyonu özellikleri" yazısına ulaşmak isterseniz, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2013/04/cemberde-kuvvet-fonksiyonu.html

Göz Yanılması

Göz yanılması, gözün gördüğü görüntü ile beynin bu görüntüyü yorumlama biçimi arasında oluşan farktan kaynaklanan bir durumdur. Aslında göz yalnızca ışığı ve görüntüyü algılar, ancak bu bilgiyi anlamlandıran beyindir. Beyin, gördüklerini hızlıca yorumlayabilmek için geçmiş deneyimlere ve alışkanlıklara dayanarak kestirmeler yapar. Bu kestirmeler çoğu zaman işe yarasa da bazı durumlarda hatalı sonuçlara yol açar ve kişi gerçekte olmayan hareketler, farklı uzunluklar ya da değişik renk tonları görüyormuş gibi hisseder.

Göz yanılmalarının ortaya çıkmasında renk ve kontrast farkları, perspektif etkisi ve tekrarlayan desenler önemli rol oynar. Örneğin aynı uzunlukta olan iki çizgi farklı uzunlukta algılanabilir ya da sabit bir görsel hareket ediyormuş gibi görünebilir. Bu durum aslında gözün değil, beynin bir yanılgısıdır. Beyin çevreden gelen bilgileri yorumlarken bazen yanıltıcı ipuçlarına aldanır ve gerçeklikten farklı bir algı oluşturur.

Gözün her gördüğüne inanılmaz; çünkü çevremizden gelen görüntüler doğrudan gerçeğin kendisi değil, beynimizin oluşturduğu bir yorumdur. Bu nedenle bazen bir nesne olduğundan daha büyük ya da küçük görünebilir, düz bir yüzey eğimliymiş gibi algılanabilir ya da hareketsiz bir görüntü hareket ediyormuş hissi verebilir. Günlük hayatta fark etmesek de aslında sürekli bu tür küçük algı oyunlarıyla karşılaşırız ve beynimiz çoğu zaman bunları otomatik olarak düzeltir. Ayrıca dikkat, beklenti ve içinde bulunulan ortam da gördüklerimizi etkiler. Karanlık bir ortamda belirsiz şekilleri farklı nesnelere benzetmemiz ya da uzaktan gördüğümüz birini tanıdık birine benzetmemiz bu durumun örneklerindendir. Yani sadece göz değil, zihnimiz de gördüklerimizi şekillendirir ve bazen bizi yanıltır. Bu yüzden her gördüğümüzü sorgulamak ve farklı açılardan değerlendirmek, daha doğru bir algı oluşturmamıza yardımcı olur. 

İnsan hem gördüklerini sorgulamalı hem de hislerini dinlemelidir. Yani doğruyu bulmak için göz ve kalp birlikte çalışmalıdır; biri gerçekliği gösterir, diğeri anlam katar.

Matematiksel olarak ispatlayabileceğimiz bir göz yanılmasını burada örnek olarak göstermek istiyorum. Dikkatlice incelendiğinde bile farkedilemeyecek kadar ustaca hazırlanmış bu gösteriyi sizinle paylaşıyorum.

Bir kalıp çikolatanın göz yanılsaması, neden bir parça fazla?

Soru: Bir kalıp çikolatanın şekilde videoda gösterildiği gibi kesilmesiyle ortaya çıkan yeni şekilde bir parça çikolata fazlalık olarak sona kalmaktadır. Sizce bu neden kaynaklanıyor?

Videodaki durum aslında gerçek bir çikolata fazlalığı değil, geometrik bir göz yanılmasıdır. Çikolata kesilip parçalar yeniden düzenlendiğinde ortaya çıkan şekil ilk bakışta öncekiyle aynıymış gibi görünür, ancak gerçekte alanları tam olarak eşit değildir. Parçaların kenarları kusursuz şekilde birbirine uymadığı için yerleştirme sırasında çok ince boşluklar oluşur ya da bazı kısımlar fark edilmeyecek kadar üst üste biner. Bu küçük farklar tek başına fark edilmez, fakat hepsi bir araya geldiğinde bir parça çikolata kadar alan farkı oluşuyormuş gibi görünür.

İnsan gözü bu tür küçük geometrik hataları kolayca algılayamaz ve genel şekle odaklandığı için çizgileri düz ve uyumlu kabul eder. Oysa gerçekte kenarlar çok hafif eğimli ya da uyumsuzdur ve bu da alanın gizli şekilde değişmesine neden olur. Sonuç olarak ortada gerçekten oluşan yeni bir çikolata parçası yoktur; sadece parçaların yer değiştirmesiyle oluşan küçük alan farkları göz tarafından yanlış yorumlanır ve bu da fazladan parça varmış izlenimi meydana getirir.