Çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonların grafiği ise orijine göre simetrik olur. Bir aralıkta tanımlı fonksiyon için tanım kümesinden seçilen aynı elemanın negatif ve pozitif değerleri için fonksiyon altındaki görüntüler de aynı oluyorsa bu fonksiyona çift fonksiyon denir. (tüm elemanlar için bu kural sağlanmalıdır.)
Çift ve tek fonksiyonları anlamanın en kolay yolu grafiklerini çizip simetri kuralına bakmak olacaktır. Tek ya da çift fonksiyon birbirinin zıttı iki kavram gibi düşünülmemelidir. Bazen bir fonksiyon ne tek ne de çift olur. Aşağıdaki tanım ve örnekleri incelemeniz konuyu anlamanız açısından yeterli olacaktır. Özellikle tanımın iyi bilinmesi bu tür soruların çözümünde size kolaylık sağlayacaktır.
Verilen bir fonksiyon illaki tek ya da çift fonksiyon olmak zorunda değildir. Yani tek olmayan fonksiyona çift fonksiyondur diyemeyiz.
Çarpma, temel matematik işlemlerinden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir. Aslında özel olarak bir toplama işlemidir. Çapma işlemi belli adetteki sayıların toplanmasının adıdır. Abaküs üzerinden toplama işlemleri yapılabildiği gibi çarpma işlemi de mental aritmetik metotlarıyla yapılabilir.
Farklı bir çarpma yöntemi olarak Çinliler tarafından sıklıkla kullanılan tablo yöntemini anlatmak istiyorum. Bunun için çarpılacak sayılar satır ve sütun halinde kolonlara yazılır. Daha sonra satırdaki rakam ile sütundaki rakam tek tek çarpılarak altında yer alan kutucuğa birler ve onlar basamağı ayrı olacak şekilde iki bölmeli olarak yazılır. Bu şekilde bütün çarpma yapıldıktan sonra çaprazlama olarak bütün çarpım sonuçları altta gelecek şekilde toplanarak elde edilen sayılar bir kenara yazılır. Bu sayılar içerisinde 10 tabanını geçenler varsa bunlar elde olarak bir sonraki rakama devredilir. Bu şekilde çarpma işlemi bitirilmiş olur.
Örnek: Tablo üzerinden de gösterildiği gibi45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümünü bulalım.
Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme birler ve onlar basamağı ayrı olacak biçimde yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı (10) 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene sırasıyla yerleştirilir. Daha sonra çapraz kolonlar birbiriyle toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılır ve 1 rakamı elde olarak hemen solundaki çapraz kolona devreder. Toplamaların tamamı bu şekilde tamamlandıktan sonra en dıştan başlanarak soldan sağa rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucu 11520 sayısını verir.
Japon ve Çin dünyasında sıklıkla kullanılan bir başka çarpma yöntemini daha şu şekilde paylaşmak istiyorum. “Chinese Stick Multiplication” adıyla bilinen ve çubuklar yardımıyla
yapılan Çin/Japan çarpma tekniği geleneksel çarpma yöntemlerine etkili
bir alternatif yöntem sunar.Yöntemin temelleri oldukça basittir ve
günümüzde kullandığımız çarpma algoritmalarına benzer şekilde çalışır.
Ancak en büyük avantajı, çarpma işlemini görselleştirme imkânı
sunmasıdır. Özellikle ilkokul kademesinde eğlencelidir. Eskiden Çin,
Japon coğrafyasında tahta çubuklar, kemik parçaları, bambu dalları gibi
araçlar yardımıyla bu çarpma işlemi yapılmıştır. Çarpma işleminin
görselliği ve eğlenceli özelliği sayesinde özellikle öğrenme sürecinde
oldukça etkili bir araç olduğu gözlemlenmiştir. Bu yöntem, ilköğretim
düzeyinde çocuklara çarpma kavramını daha iyi kavratmak amacıyla halen
belli bölgelerde öğretilmektedir. Ayrıca, yöntemin öğrenme üzerindeki
olumlu etkileri yapılan araştırmalarla desteklenmiştir.
Bu çarpma yönteminde her sayı için bir düz çizgi çizilir. Yalnız basamaklarına göre uygun biçimde aralarında boşluk bırakmadan kaç rakamı varsa o sayıda yan yana düz çizgi çizilir. Daha sonra ikinci sayı için de aynı şekilde diğer çizgileri kesecek bir şekilde ters yönde düz çizgiler basamaklarda yer alan rakamların adedine göre çizilir. Bütün bu çizme işlemi bittikten sonra altta gelen çizgilerdeki tüm kesişim noktalarının tamamının adedi toplanarak çarpma işleminin sonucu bulunur. Eğer sayılar iki ya da daha fazla basamaktan oluşan kesişim noktası verirse bunların sadece birler basamağı yazılır. Diğer basamakları elde olarak bir sonrakine devredilir. Bu şekilde sağdan sola doğru çarpma işlemi yapılarak elde edilen noktaların sayısına göre işlem bitirilmiş olur.
Örnek: 98*67=6566 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım.
Örnek: 321*123=39483 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım. İşlemde eldeli toplamanın nasıl yapıldığını görelim. Aşağıdaki görselde her bir basamak, renkli bir çubukla gösterilerek metodun daha kolay kavranması amaçlanmıştır.
Örnek: 102*23=2346 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım. İşlemde
basamakların hehangi birinde 0 olduğunda buna ait olan çizgi kırmızı ile çizilir fakat işlemin sonucunda toplama işleminde bu sonuçlar toplanmadan diğer noktalar sayılar işlemin sonucu hesaplanır. Aşağıdaki görselde her bir
basamak, renkli bir çubukla gösterilerek metodun daha kolay kavranması
amaçlanmıştır.
“Chinese Stick Multiplication” çarpma metodu, özellikle küçük çocuklara çarpma işleminin temellerini öğretmek
açısından oldukça değerlidir. Ancak büyük basamaklı sayılarla uğraşırken bu yöntem çizgi çizmenin zorluğu nedeniyle pek
kullanışlı değildir. İşlemin farklı örnekleri için orjinal youtube videosunu aşağıdaki adresten izleyebilirsiniz.
“Chinese Stick Multiplication”
Büyük basamaklı sayılarda çarpma işlemi yapılırken Rus Matematikçi Anatoly Karatsuba tarafından bulunan ve büyük basamaklı sayıların
çarpımını hesaplamada daha kullanışlı olan bir çarpım algoritması tercih edilir. Karatsuba Algoritması'nda amaç; çarpılacak sayıları alt gruplara bölerek daha az
sayıda işlem yaparak sonuca en kısa yoldan ulaşmaktır.
“Chinese Stick Multiplication” Youtube Video Adresi https://www.youtube.com/watch?v=AiOKSpGs758
“Chinese Stick Multiplication” Youtube Video Adresi https://youtu.be/scCfeJhJ2TA?si=uLwXNDsBLtMcGv9S
