Doğrusal Denklem Sistemleri (Matrislerle Çözüm)

Daha önceki konumuzda doğrusal denklem sistemlerinin çözümünü elemanter satır ve sütun işlemleri yardımıyla yapmıştık. (Bkz. Dogrusal Denklem Sistemleri) Buradaki sayfamızda verilen herhangi bir doğrusal denklemin gerekli şartları sağlamasıyla genişletilmiş katsayılar matrisinin tersi ile  denklem sisteminin genel çözümünü yapacağız.

 (x1 , x2 , . . . , xn ) sıralı n-lisinin lineer denklem sistemin bir çözümü olması için gerek ve yeter şart, bu sayıların oluşturduğu X matrisinin AX = B matris denklemini sağlamasıdır. A matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Sistemin ilaveli (genişletilmiş) matrisinin katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitleri matrisinin yan yana getirilmesiyle elde edildiğine dikkât ediniz. 

Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisi bir kare matristir. Böyle bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve yeter şart, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sütun sayısının sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla olması, yani hiç sıfır satırı bulunmamasıdır ki, bu, sistemin katsayılar matrisinin indirgenmiş biçiminin birim matris olmasına denktir. Bu durum katsayılar matrisinin tersinin var olmasına da denktir ve çözümün bulunmasında ters matristen yararlanılabilir. 

Doğrusal Denklem Sistemleri

ax+by+cz+.......= r  tipindeki a,b,c,....sayıları reel sayı olmak üzere bu şekilde yazılabilen denklemlere doğrusal (lineer) denklemler denir. Bu denklemlerin iki ya da daha fazlasının bir araya gelmesi ile oluşturulan denklem sistemine de lineer denklem sistemi adı verilir.

Basit düzeyde verilen lineer denklemlerin çözümleri yapılırken genellikle dört işlem kurallarından yararlanılarak çözüme gidilir. Yani verilen denklemler kendi aralarında uygun katsayılarla çarpıldıktan sonra taraf tarafa toplanır veya çıkarılarak istenen sonuç elde edilir.

İleri düzeyde hazırlanmış lineer denklem sistemlerinin çözümleri yapılırken lineer cebirden yararlanılarak matris kavramı ile çözüme gidilir. Bu tip denklemlerin çözümünde öncelikle denklemin genişletilmiş katsayılar matrisi yazılır daha sonra elemanter satır ve sütun işlemleri yoluyla her bir bilinmeyen bulunarak denklem sisteminin çözüm kümesi elde edilir.

Elemanter satır ve sütun işlemleri; 

1) İki denklemin yerlerini değiştirmek R1==>R2

2) Herhangi bir denklemi bir reel sayı ile çarpmak 2R1==>R1

3) Verilen denklemlerden birini bir reel sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek 3R1+R2==>R2

                                    şeklinde üç temel esasa dayanır. Bu işlemlerde satır üzerinden yapılırsa satır yerine R1,R2, R3..ile, sütun üzerinden yapılırsa da sütun yerine L1, L2, L3.. yazılarak çözüm yapılır. 

Kendiniz yaparken bu satır ve sütun ifadelerini yazmak zorunda değilsiniz sadece ne yapmanız gerektiğini bilmelisiniz. Ayrıca yaptığınız işlemlerin yukarıda yazılan üç maddelik elemanter satır/sütun işlemlerine uygun olmasına dikkat etmelisiniz.

Şimdi burada yazılanları örnekleyecek bir doğrusal denklem sistemi verip bunu matrisler yardımıyla ifade edelim ve örnek bir denklem sistemi çözümünü elemanter satır işlemleri ile yapalım.